AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm tích luỹaccumulation function

accumulation functionVietnamese: hàm tích luỹ

Hàm tích luỹ (accumulation function) là hàm tính lượng thay đổi cộng dồn bằng tích phân của tốc độ thay đổi từ mốc cố định đến điểm đang xét.An accumulation function gives the net change in a quantity as the integral of its rate of change from a fixed starting point to the point in question.

Trực giác: Giống lượng nước trong bể kể từ lúc bắt đầu đo: vòi chảy mạnh hay yếu là tốc độ $f$ , nước chảy ra thì lượng nước giảm.Intuition: Think of the amount of water in a tank from the moment you start measuring: how strongly the tap flows is the rate $f$ , and when water flows out, the amount in the tank decreases.

Công thức chínhKey formula

F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm tích luỹ cho biết lượng thay đổi cộng dồn của một đại lượng, tính từ mốc cố định $a$ đến $x$ . Gọi $f$ là tốc độ thay đổi, ta có $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ . Chỉ cận trên $x$ là biến của $F$ ; biến lấy tích phân đặt là $t$ . Tại mốc, $F(a)=0$ vì chưa tích luỹ gì. Khi $x>a$ , $F(x)$ là diện tích có dấu giữa đồ thị $f$ và trục hoành.

Với $f$ liên tục, $F'(x)=f(x)$ . Nên $F$ đồng biến nơi $f>0$ và nghịch biến nơi $f<0$ . $F$ đạt cực trị nơi $f$ đổi dấu. Nếu $f$ có đạo hàm thì $F''=f'$ , cho biết tính lồi lõm của $F$ .

An accumulation function gives the net accumulated change in a quantity from a fixed starting point $a$ to $x$ . If $f$ is the rate of change, then $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ . Only the upper limit $x$ is the variable of $F$ ; the variable of integration is written as $t$ . At the starting point, $F(a)=0$ because nothing has accumulated yet. When $x>a$ , $F(x)$ is the signed area between the graph of $f$ and the $x$ -axis.

If $f$ is continuous, $F'(x)=f(x)$ . So $F$ is increasing where $f>0$ and decreasing where $f<0$ , and $F$ has a relative extremum where $f$ changes sign. If $f$ is differentiable, then $F''=f'$ , which tells you the concavity of $F$ .

Ký hiệuNotation

• $A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$
• $A'(x)=f(x)$
• $A(a)=0$
•hoặc dạng $F(x)=F(a)+\int_a^x F'(t)\,dt$ khi có giá trị ban đầu.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

F(x)=\htmlClass{fp-3}{\int_{\htmlClass{fp-0}{a}}^{\htmlClass{fp-1}{x}} \htmlClass{fp-2}{f(t)\,dt}}

Dùng khi đề cho tốc độ thay đổi $f$ và hỏi lượng tích luỹ đến $x$ , như quãng đường, thể tích hay diện tích có dấu.Use this when a problem gives the rate of change $f$ and asks for the amount accumulated up to $x$ , such as distance, volume, or signed area.

Trong đóWhere

F(x)

lượng tích luỹ ròng của

f

từ

a

đến

x

f(t)

hàm dưới dấu tích phân, cho biết tốc độ thay đổi tại

t

a

cận dưới cố định, là điểm bắt đầu tích luỹ

x

cận trên biến thiên, là biến của hàm

F

t

biến chạy bên trong tích phân

F'(x)=\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt=f(x)

Dùng để tìm $F'(x)$ mà không cần nguyên hàm; nếu cận trên là $g(x)$ , nhân thêm $g'(x)$ .Use this to find $F'(x)$ without an antiderivative; if the upper limit is $g(x)$ , multiply by $g'(x)$ as well.

Trong đóWhere

F'(x)

tốc độ thay đổi của lượng tích luỹ tại

x

f(x)

hàm dưới dấu tích phân, tính tại cận trên

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

$F$ đồng biến khi $f>0$ , không phải khi $f$ đồng biến.

Vì $F'=f$ , dấu của $f$ quyết định chiều biến thiên của $F$ . Cực trị của $F$ nằm ở chỗ $f$ đổi dấu, không phải ở đỉnh đồ thị $f$ .

Có số hạng cộng ngoài tích phân thì giá trị tại mốc $a$ không bằng 0.

Với $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ thì $F(a)=0$ . Nhưng $G(x)=5+\int_a^x f(t)\,dt$ có $G(a)=5$ , và mọi giá trị sau đó đều cộng thêm 5.

Muốn tính $F'(x)$ thì không cần tìm nguyên hàm hay tính tích phân.

Khi cận trên là $x$ và $f$ liên tục, $F'(x)=f(x)$ . Nếu đề hỏi $F'(3)$ , chỉ cần đọc $f(3)$ từ biểu thức hoặc đồ thị.

$F$ is increasing where $f>0$ , not where $f$ is increasing.

Because $F'=f$ , the sign of $f$ determines whether $F$ increases or decreases. Extrema of $F$ occur where $f$ changes sign, not at peaks of the graph of $f$ .

An added constant outside the integral means the value at $a$ is not 0.

For $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ , $F(a)=0$ . But $G(x)=5+\int_a^x f(t)\,dt$ has $G(a)=5$ , and every later value is shifted up by 5.

To find $F'(x)$ , you do not need to find an antiderivative or evaluate the integral.

When the upper limit is $x$ and $f$ is continuous, $F'(x)=f(x)$ . If a problem asks for $F'(3)$ , just read $f(3)$ from the formula or the graph.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi tìm cực trị của $F$ , phải nêu $f$ đổi dấu ở đâu.

Viết: " $F'=f$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=c$ , nên $F$ đạt cực đại tại $c$ ". Chỉ ghi "đồ thị $f$ có đỉnh" thì thiếu lập luận. Tìm giá trị lớn nhất trên $[a,b]$ : so sánh $F$ tại các điểm cực trị và hai đầu mút.

Tính $F(b)$ từ đồ thị $f$ bằng cách cộng diện tích có dấu, bắt đầu từ cận dưới $a$ .

Chia hình thành tam giác, hình chữ nhật, nửa hình tròn. Phần trên trục hoành mang dấu dương, phần dưới mang dấu âm. Ghi từng phần ra giấy để được điểm phương pháp.

When finding extrema of $F$ , state where $f$ changes sign.

Write: " $F'=f$ changes from positive to negative at $x=c$ , so $F$ has a relative maximum at $c$ ." Saying only "the graph of $f$ has a peak" is an incomplete justification. To find the absolute maximum on $[a,b]$ , compare $F$ at the critical points and at both endpoints.

Compute $F(b)$ from the graph of $f$ by adding signed areas, starting from the lower limit $a$ .

Split the region into triangles, rectangles, and semicircles. Regions above the $x$ -axis count as positive and regions below count as negative. Write out each piece to earn the method points.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

cuối thế kỷ 17 (thời Newton và Leibniz hình thành giải tích)ArchimedesIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Hàm tích luỹ đi cùng phép tính tích phân, được Newton và Leibniz hệ thống hoá cuối thế kỷ 17 để tính tổng thay đổi từ tốc độ biến thiên liên tục.

The accumulation function goes hand in hand with integral calculus, which Newton and Leibniz developed systematically in the late 17th century to find total change from a continuously varying rate.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "tích luỹ" (accumulate) vốn là từ của đời sống thường ngày, nghĩa là có thêm dần một lượng nào đó. Ta tích luỹ kinh nghiệm, tích luỹ của cải, và ngay cả những thứ không mong muốn như chấn thương hay đồ đạc cũ. Khi vào toán học, từ này giữ nguyên ý "gom thêm từng chút", nhưng nghĩa được mở rộng. Lượng gom vào có thể dương hoặc âm, nên kết quả là một tổng thay đổi ròng chứ không nhất thiết là một đại lượng chỉ tăng. Vì vậy, gọi hàm xác định bằng tích phân với cận trên biến thiên là "hàm tích luỹ" là đặt tên theo đúng hành động của nó. Với mỗi giá trị $x$ , hàm cho biết lượng đã được gom lại tính đến $x$ . Nguồn không cho biết ai là người đầu tiên dùng đúng cụm từ này.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích và hàm tích lũyTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiễn giải hành vi hàm tích lũy qua diện tíchTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termHàm tích lũy và tích phân xác định trong bài toán thực tếỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích và hàm tích lũyTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiễn giải hành vi hàm tích lũy qua diện tíchTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termHàm tích lũy và tích phân xác định trong bài toán thực tếỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttích phân xác địnhdefinite integral

Dẫn tớiLeads tođịnh lý cơ bản của giải tíchfundamental theorem of calculus định lý biến thiên ròngnet change theorem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

nguyên hàmantiderivative

Khác nhau ở đâuHow they differHàm tích luỹ có cận dưới cố định nên giá trị tại cận đó luôn bằng 0. Nguyên hàm chung chung thì còn hằng số

C

tuỳ ý.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt

rồi hỏi

F(a)

hay các cực trị của

F

: học sinh quên rằng

F(a)=0

và đi tìm hằng số

C

không cần thiết.