AP Calculus BCAP Calculus AB

định lý biến thiên ròngnet change theorem

net change theoremVietnamese: định lý biến thiên ròng

Còn gọi:Also called: net change

Định lý biến thiên ròng (net change theorem) là kết quả cho thấy tích phân tốc độ biến thiên trên một đoạn bằng giá trị cuối trừ giá trị đầu.The net change theorem states that the integral of a rate of change over an interval equals the final value minus the initial value.

Trực giác: Nước vào bể nhanh chậm khác nhau, có lúc bị hút ra. Cộng dồn nước vào trừ nước ra thì được lượng nước cuối trừ lượng nước đầu.Intuition: Water flows into a tank at varying rates, and at times it is pumped out. Adding up the water in and subtracting the water out gives the final amount of water minus the initial amount.

Công thức chínhKey formula

Q(b)=Q(a)+\int_a^b Q'(t)\,dt

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Gọi $Q(t)$ là lượng của một đại lượng tại thời điểm $t$ , và $Q'(t)$ là tốc độ biến thiên của nó. Nếu $Q'$ liên tục trên $[a,b]$ thì $\int_a^b Q'(t)\,dt=Q(b)-Q(a)$ , tức giá trị cuối trừ giá trị đầu.

Ví dụ: nếu $Q'(t)=2$ trên $[0,5]$ thì lượng tăng thêm $\int_0^5 2\,dt=10$ . Chữ "ròng" nghĩa là phần giảm mang dấu âm và bù trừ phần tăng. Đây là phần 2 của định lý cơ bản của giải tích, trong đó $Q$ là một nguyên hàm của $Q'$ .

The net change theorem applies when $Q(t)$ is the amount of a quantity at time $t$ and $Q'(t)$ is its rate of change. If $Q'$ is continuous on $[a,b]$ , then $\int_a^b Q'(t)\,dt=Q(b)-Q(a)$ , which is the final value minus the initial value.

For example, if $Q'(t)=2$ on $[0,5]$ , the amount increases by $\int_0^5 2\,dt=10$ . The word "net" means that decreases count as negative and offset the increases. The theorem is part 2 of the Fundamental Theorem of Calculus, with $Q$ as an antiderivative of $Q'$ .

Ký hiệuNotation

• $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$
•trong ngữ cảnh: $Q(b) = Q(a) + \int_a^b Q'(t)\,dt$

Đơn vịUnitsCùng đơn vị với đại lượng $Q$, bằng đơn vị của $Q'$ nhân đơn vị của biến độc lập (ví dụ gallon/phút nhân phút ra gallon).

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{Q(b)}=\htmlClass{fp-1}{Q(a)}+\htmlClass{fp-3}{\int_a^b \htmlClass{fp-2}{Q'(t)}\,dt}

Dùng khi đề cho tốc độ biến thiên và giá trị ban đầu, rồi hỏi giá trị của đại lượng ở thời điểm sau.Use this when a problem gives the rate of change and the initial value, then asks for the value of the quantity at a later time.

Trong đóWhere

Q(t)

đại lượng đang xét tại thời điểm

t

(khả vi, với

Q'

liên tục trên

[a,b]

)

Q'(t)

tốc độ biến thiên tức thời của

Q

theo

t

a,\ b

mốc đầu và mốc cuối của khoảng thời gian khảo sát

t

biến lấy tích phân, thường là thời gian

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tích phân của $Q'$ chỉ cho lượng thay đổi, không phải giá trị tại $b$ .

Muốn biết lượng có tại $t=b$ , phải cộng thêm lượng ban đầu: $Q(b)=Q(a)+\int_a^b Q'(t)\,dt$ . Chỉ tính tích phân thì mới trả lời được câu "tăng thêm bao nhiêu".

Tích phân của vận tốc $v(t)$ cho độ dời, không phải quãng đường.

Đoạn đi ngược chiều mang dấu âm nên trừ bớt đoạn đi tới. Muốn quãng đường, tính $\int_a^b |v(t)|\,dt$ : giải $v(t)=0$ rồi tách tích phân tại các nghiệm.

Đề cho sẵn hàm lượng thì lấy hiệu hai giá trị, đừng tích phân nó.

Nếu $W(t)$ là lượng nước thì lượng thay đổi từ $a$ đến $b$ là $W(b)-W(a)$ . Tích phân $W$ thêm lần nữa làm đơn vị sai (gallon nhân giờ).

The integral of $Q'$ gives only the change in the quantity, not its value at $t=b$ .

To find the amount at $t=b$ , you must add the initial amount: $Q(b)=Q(a)+\int_a^b Q'(t)\,dt$ . The integral alone answers only "how much did it increase?"

The integral of velocity $v(t)$ gives displacement, not total distance traveled.

Motion in the negative direction counts as negative and cancels part of the forward motion. For total distance, compute $\int_a^b |v(t)|\,dt$ by solving $v(t)=0$ and splitting the integral at the solutions.

If the problem gives the amount function itself, subtract its values instead of integrating it.

If $W(t)$ is the amount of water, the change from $a$ to $b$ is $W(b)-W(a)$ . Integrating $W$ again gives the wrong units (gallon-hours).

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết $Q(b)=Q(a)+\int_a^b Q'(t)\,dt$ với số liệu cụ thể trước khi bấm máy.

Giám khảo chấm cả hàm dưới dấu tích phân lẫn hai cận, không chỉ con số cuối. Đáp số thập phân lấy ít nhất ba chữ số sau dấu phẩy.

Ghi đơn vị và ý nghĩa thực tế của đáp số.

Ví dụ: "Lượng nước trong bể tăng $12{,}4$ gallon từ $t=0$ đến $t=5$ giờ". Câu hỏi giải thích thường chấm riêng đơn vị và bối cảnh.

Write $Q(b)=Q(a)+\int_a^b Q'(t)\,dt$ with the given values before using your calculator.

Graders award credit for the integrand and both limits, not just the final number. Report decimal answers to at least three decimal places.

State the units and the real-world meaning of your answer.

For example: "The amount of water in the tank increases by $12.4$ gallons from $t=0$ to $t=5$ hours." Free-response questions that ask for an interpretation often score units and context separately.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhám phá tích lũy biến thiênTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termVị trí, vận tốc & gia tốc qua tích phânỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhám phá tích lũy biến thiênTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cơ bản của giải tích & tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termVị trí, vận tốc & gia tốc qua tích phânỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttích phân xác địnhdefinite integral

Dẫn tớiLeads tođộ dờidisplacement tổng quãng đường đi đượctotal distance traveled

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tổng quãng đường đi đượctotal distance traveled

Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý biến thiên ròng cho ra lượng thay đổi có dấu, ví dụ độ dời

\int_a^b v(t)\,dt

. Tổng quãng đường lấy tích phân của giá trị tuyệt đối

\int_a^b |v(t)|\,dt

nên không bao giờ âm.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

v(t)

đổi dấu và hỏi vật "đi được bao xa" hay "cách vị trí ban đầu bao xa"; thí sinh quên chia đoạn theo các nghiệm của

v(t)=0

hoặc quên lấy giá trị tuyệt đối.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 7, 437, 441.