AP Calculus BCAP Calculus AB

tổng quãng đường đi đượctotal distance traveled

total distance traveledVietnamese: tổng quãng đường đi được

Còn gọi:Also called: total distance

Tổng quãng đường đi được (total distance traveled) là độ dài toàn bộ đường vật đã đi, bằng tích phân giá trị tuyệt đối của vận tốc.Total distance traveled is the full length of the path an object covers, equal to the integral of the absolute value of its velocity.

Trực giác: Công tơ mét của xe luôn chạy tiến lên dù xe đi tới hay lùi, còn vị trí so với nhà thì có lúc tăng lúc giảm.Intuition: A car's odometer keeps increasing whether the car drives forward or in reverse, while its position relative to home sometimes increases and sometimes decreases.

Công thức chínhKey formula

D=\int_a^b |v(t)|\,dt

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tổng quãng đường đi được là độ dài thật sự vật đã đi, dù đi tới hay đi lùi. Với $v(t)$ là vận tốc tại thời điểm $t$ , quãng đường từ $t=a$ đến $t=b$ là $\int_a^b|v(t)|\,dt$ .

Ví dụ: $v(t)=t-2$ trên $[0,4]$ . Độ dịch chuyển (vị trí cuối trừ vị trí đầu) là $\int_0^4(t-2)\,dt=0$ . Quãng đường là $2+2=4$ . Hai số này chỉ bằng nhau khi $v(t)\ge 0$ trên cả đoạn. Muốn tính tay, hãy tách đoạn tại chỗ $v$ đổi dấu, đổi dấu phần âm rồi cộng lại. Nếu đề chỉ cho bảng giá trị, hãy ước lượng bằng tổng Riemann của $|v|$ .

Total distance traveled is the actual length of path an object covers, whether it moves forward or backward. If $v(t)$ is the velocity at time $t$ , the distance traveled from $t=a$ to $t=b$ is $\int_a^b|v(t)|\,dt$ .

Example: let $v(t)=t-2$ on $[0,4]$ . The displacement (final position minus initial position) is $\int_0^4(t-2)\,dt=0$ , while the distance traveled is $2+2=4$ . The two values are equal only when $v(t)\ge 0$ on the whole interval. To compute by hand, split the interval where $v$ changes sign, flip the sign of the negative parts, and add the pieces. If only a table of values is given, estimate the integral with a Riemann sum of $|v|$ .

Ký hiệuNotation

• $D=\int_a^b |v(t)|\,dt$
•độ dịch chuyển là $\int_a^b v(t)\,dt$

Đơn vịUnitsĐơn vị độ dài (m, km, ft), bằng đơn vị vận tốc nhân đơn vị thời gian

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

D=\htmlClass{fp-2}{\int_a^b \htmlClass{fp-1}{\htmlClass{fp-0}{|v(t)|}\,dt}}

Dùng khi đề hỏi vật đã đi tổng cộng bao xa trên $[a,b]$ , bất kể hướng; độ dịch chuyển thì dùng $\int_a^b v\,dt$ .Use this when the question asks how far the object traveled in total on $[a,b]$ , regardless of direction; for displacement, use $\int_a^b v\,dt$ .

Trong đóWhere

D

tổng quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ

a

đến

b

— m hoặc ft

v(t)

vận tốc tại thời điểm

t

, mang dấu: dương khi đi theo chiều dương, âm khi đi ngược lại — m/s hoặc ft/s

|v(t)|

tốc độ tại thời điểm

t

, luôn không âm — m/s hoặc ft/s

a,\ b

thời điểm bắt đầu và thời điểm kết thúc, với

a<b

— s

t

biến thời gian — s

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tích phân của vận tốc là độ dịch chuyển, chưa chắc là quãng đường.

Phần đi lùi mang dấu âm nên triệt tiêu phần đi tới. Vật đi tới rồi về chỗ cũ có độ dịch chuyển bằng 0 nhưng quãng đường dương.

Chỉ tách tích phân tại chỗ $v$ thực sự đổi dấu, không phải mọi nghiệm của $v(t)=0$ .

Nghiệm ngoài $[a,b]$ , hoặc chỗ $v$ chạm trục rồi giữ nguyên dấu, thì không cần tách. Với mỗi nghiệm trong đoạn, hãy kiểm tra dấu của $v$ ở hai phía.

Quãng đường không phải tích phân của gia tốc hay của vị trí.

Đề cho gia tốc thì lấy nguyên hàm, dùng vận tốc ban đầu để tìm hằng số, ra $v(t)$ . Rồi mới tính $\int|v|$ .

The integral of velocity gives displacement, not necessarily distance traveled.

Backward motion contributes a negative value that cancels forward motion. An object that moves forward and returns to its starting point has zero displacement but positive distance traveled.

Split the integral only where $v$ actually changes sign, not at every zero of $v(t)$ .

Zeros outside $[a,b]$ , or points where $v$ touches the axis without changing sign, do not require a split. For each zero in the interval, check the sign of $v$ on both sides.

Distance traveled is not the integral of acceleration or of position.

If acceleration is given, find an antiderivative and use the initial velocity to determine the constant, which gives $v(t)$ . Only then compute $\int|v|$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trong câu tự luận AP, viết dòng thiết lập $\int_a^b|v(t)|\,dt$ trước khi bấm máy.

Điểm thường được chấm ở dòng thiết lập, nên chỉ ghi số mà số sai là mất điểm. Với câu cho dùng máy tính, nhập thẳng $|v(t)|$ và ghi ba chữ số thập phân.

Kiểm tra nhanh: quãng đường luôn lớn hơn hoặc bằng $\left|\int_a^b v(t)\,dt\right|$ .

Ra nhỏ hơn con số này, hoặc ra số âm, là đã sai dấu. Đề hỏi cả độ dịch chuyển lẫn quãng đường thì đọc kỹ từ khoá "total distance traveled" trước khi chọn công thức.

On free-response questions, write the setup $\int_a^b|v(t)|\,dt$ before using your calculator.

Points are usually awarded for the setup, so a bare number that turns out to be wrong earns nothing. On calculator-active questions, enter $|v(t)|$ directly and report three decimal places.

Check your answer: distance traveled is always greater than or equal to $\left|\int_a^b v(t)\,dt\right|$ .

A result smaller than this value, or a negative result, signals a sign error. If a question asks for both displacement and distance, read for the key phrase "total distance traveled" before choosing a formula.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

OresmeThomas BradwardineWilliam HeytesburyRichard SwinesheadJohn DumbletonIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Oresme dùng diện tích dưới đồ thị tốc độ để biểu diễn tổng quãng đường của chuyển động không đều; cuối thế kỷ 17 Newton, Leibniz xây dựng giải tích.

Oresme used the area under a speed graph to represent the total distance of non-uniform motion; in the late 17th century, Newton and Leibniz developed calculus.

Vì sao mang đúng cái tên này? Cụm từ "tổng quãng đường" mang đúng nghĩa của một phép cộng, và cách hiểu này có gốc từ chính Oresme. Ông phân biệt "cường độ chuyển động" (intensity of motion) với "lượng chuyển động" (quantity of motion). Với chuyển động, cường độ là tốc độ tức thời (instantaneous speed), còn lượng chuyển động chính là tổng quãng đường đi được. Theo ông, cộng các "đường cường độ" lại với nhau thì được diện tích của hình tạo thành, và diện tích ấy cho biết lượng thay đổi toàn phần. Ngày nay ta gọi phép cộng này là tích phân (integration). Kí hiệu $\int$ là chữ S kéo dài, viết tắt từ chữ Latin "Summa" (tổng). Do đó ta viết được rằng tổng của tốc độ tại từng thời điểm, nhân với $dt$ , bằng quãng đường. Hệ thức này là nội dung của Định lý cơ bản của giải tích (Fundamental Theorem of Calculus): diện tích dưới đồ thị vận tốc bằng quãng đường đã đi.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐộ dài cung đường cong trơn và quãng đường đi đượcỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termVị trí, vận tốc & gia tốc qua tích phânỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termVị trí, vận tốc & gia tốc qua tích phânỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm số giá trị tuyệt đốiabsolute value function

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral

Liên quanRelatedvận tốcvelocity tốc độspeed

So vớiCompaređộ dờidisplacement

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

độ dờidisplacement

Khác nhau ở đâuHow they differTổng quãng đường là

\int_a^b |v(t)|\,dt

, luôn không âm và đo toàn bộ chặng đã đi. Độ dời là

\int_a^b v(t)\,dt

, có dấu và chỉ đo sự thay đổi vị trí giữa đầu và cuối.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho vật đổi chiều (vận tốc đổi dấu) rồi hỏi "how far did the particle travel" thì phải dùng quãng đường; hỏi "change in position" thì dùng độ dời.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 256, 265, 406.