AP Calculus BCAP Calculus AB

tốc độ biến thiênrate of change

rate of changeVietnamese: tốc độ biến thiên

Tốc độ biến thiên (rate of change) là đại lượng cho biết một đại lượng thay đổi nhanh hay chậm bao nhiêu so với một đại lượng khác, thường là thời gian.The rate of change measures how quickly or slowly one quantity changes relative to another, usually time.

Trực giác: Đồng hồ xe máy cho biết tốc độ ngay lúc này (tức thời). Lấy tổng quãng đường chia tổng thời gian cả chuyến thì được tốc độ trung bình.Intuition: A motorcycle's speedometer shows your speed right now (instantaneous). Dividing the total distance by the total time of the whole trip gives your average speed.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tốc độ biến thiên của $y=f(x)$ theo $x$ cho biết $y$ thay đổi nhanh hay chậm so với $x$ . Dấu cho biết hướng: $-10^\circ\text{C}/\text{km}$ nghĩa là cứ lên cao $1$ km thì nhiệt độ giảm $10^\circ\text{C}$ . Hàm bậc nhất $y=mx+b$ có tốc độ không đổi, bằng $m$ .

Với hàm khác, có hai loại tốc độ. Tốc độ trung bình trên $[a,b]$ là hệ số góc của cát tuyến, tức đường thẳng nối hai điểm của đồ thị có hoành độ $a$ và $b$ . Tốc độ tức thời tại $a$ là giới hạn của các tốc độ trung bình khi $b$ tiến gần $a$ . Đó là đạo hàm $f'(a)$ , nếu đạo hàm tồn tại, và cũng là hệ số góc tiếp tuyến.

The rate of change of $y=f(x)$ with respect to $x$ tells how quickly or slowly $y$ changes as $x$ changes. Its sign gives the direction: $-10^\circ\text{C}/\text{km}$ means the temperature drops $10^\circ\text{C}$ for every $1$ km gained in altitude. A linear function $y=mx+b$ has a constant rate of change equal to $m$ .

For other functions, there are two kinds of rate of change. The average rate of change on $[a,b]$ is the slope of the secant line, the line through the two points of the graph with $x$ -coordinates $a$ and $b$ . The instantaneous rate of change at $a$ is the limit of the average rates of change as $b$ approaches $a$ . This is the derivative $f'(a)$ , if the derivative exists, and it is also the slope of the tangent line.

Ký hiệuNotation

\dfrac{dy}{dx}

f'(x)

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

(trung bình),

\dfrac{dV}{dt}

(theo thời gian)

Đơn vịUnitsĐơn vị của đại lượng phụ thuộc chia cho đơn vị của đại lượng độc lập, ví dụ °C/km, ppm/năm, m/s.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f(b)-f(a)}}{\htmlClass{fp-1}{b-a}}}

Dùng khi đề hỏi tốc độ biến thiên trung bình trên $[a,b]$ ; đây là hệ số góc của cát tuyến nối hai đầu mút.Use this when a problem asks for the average rate of change on $[a,b]$ ; it is the slope of the secant line through the two endpoints.

Trong đóWhere

\Delta y

độ thay đổi của giá trị hàm số,

\Delta y=f(b)-f(a)

\Delta x

độ thay đổi của biến độc lập,

\Delta x=b-a

a,\ b

hai đầu mút của đoạn đang xét, với

a\neq b

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

tốc độ biến thiên trung bình của

f

trên đoạn

[a,b]

— đơn vị của

y

trên mỗi đơn vị của

x

f'(a)=\htmlClass{fp-2}{\lim_{h\to 0}\htmlClass{fp-1}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f(a+h)-f(a)}}{h}}}

Dùng khi đề hỏi tốc độ biến thiên tức thời tại một điểm; đây là đạo hàm $f'(a)$ , tức hệ số góc tiếp tuyến.Use this when a problem asks for the instantaneous rate of change at a point; it is the derivative $f'(a)$ , the slope of the tangent line.

Trong đóWhere

f'(a)

tốc độ biến thiên tức thời của

f

tại

x=a

— đơn vị của

y

trên mỗi đơn vị của

x

h

độ tăng nhỏ của biến

x

kể từ

a

, được cho tiến về

0

a

điểm cần tính tốc độ biến thiên

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Tốc độ biến thiên trung bình không phải đạo hàm tại một điểm.

Trung bình trên $[a,b]$ là hệ số góc cát tuyến, còn $f'(a)$ là hệ số góc tiếp tuyến tại một điểm. Khi đề hỏi “average rate of change”, đừng tính $f'(x)$ rồi thay số.

Tốc độ biến thiên trung bình trên $[a,b]$ không phải trung bình cộng của $f'(a)$ và $f'(b)$ .

Định nghĩa chỉ dùng giá trị hàm ở hai đầu mút. Chẳng hạn $f(x)=x^4-5x$ trên $[0,3]$ cho $\dfrac{66-0}{3}=22$ .

The average rate of change is not the derivative at a point.

The average rate on $[a,b]$ is the slope of a secant line, while $f'(a)$ is the slope of the tangent line at a single point. When a problem asks for the "average rate of change," do not find $f'(x)$ and substitute.

The average rate of change on $[a,b]$ is not the mean of $f'(a)$ and $f'(b)$ .

The definition uses only the function values at the two endpoints. For example, $f(x)=x^4-5x$ on $[0,3]$ gives $\dfrac{66-0}{3}=22$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết hẳn biểu thức $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ với số thay vào trước khi tính.

Với bảng số liệu, chỉ lấy hai giá trị ở hai đầu đoạn, bỏ các hàng giữa. Với hàm lượng giác, để máy tính ở chế độ radian.

Bài có ngữ cảnh thì phải ghi đơn vị của tốc độ biến thiên.

Đơn vị là đơn vị của $y$ chia đơn vị của $x$ , như gram/giờ. Câu “explain the meaning” thường chấm cả ý nghĩa lẫn đơn vị, nên thiếu đơn vị dễ mất điểm.

Write out the expression $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ with the numbers substituted before you compute.

With a table of values, use only the two values at the endpoints of the interval and ignore the rows in between. For trigonometric functions, set your calculator to radian mode.

Include units on the rate of change in any context problem.

The units are the units of $y$ divided by the units of $x$ , such as grams per hour. An "explain the meaning" question usually earns credit for both the interpretation and the units, so omitting units can cost you points.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

cuối thế kỷ 17Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-BiruniIsaac BarrowIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Newton và Leibniz độc lập hoàn thiện phép tính vi tích phân vào cuối thế kỷ 17 để nghiên cứu các đại lượng thay đổi theo thời gian.

Newton and Leibniz independently developed calculus in the late 17th century to study quantities that change over time.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiễn giải ý nghĩa đạo hàm trong ngữ cảnhỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trong các bài toán ứng dụng ngoài chuyển độngỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiễn giải ý nghĩa đạo hàm trong ngữ cảnhỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trong các bài toán ứng dụng ngoài chuyển độngỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttốc độ biến thiên trung bìnhaverage rate of change giới hạnlimit

Dẫn tớiLeads totốc độ biến thiên liên hệrelated rates

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tốc độ biến thiên trung bìnhaverage rate of change

Khác nhau ở đâuHow they differTốc độ biến thiên là mức thay đổi của đại lượng này theo đại lượng kia, còn tại một điểm thì được tính bằng đạo hàm. Tốc độ biến thiên trung bình chỉ là thương của hai độ thay đổi trên cả một khoảng.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho bảng số liệu hai mốc thời gian rồi hỏi "tốc độ thay đổi": nếu hỏi trên khoảng

[a,b]

thì dùng

\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

, còn hỏi tại thời điểm

t=a

thì phải dùng

f'(a)

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 15, 56–57.