AP Calculus BCAP Calculus AB

hệ số gócslope

slopeVietnamese: hệ số góc

Hệ số góc (slope) của một đường thẳng là độ thay đổi của y ứng với mỗi đơn vị tăng của x, cho biết đường thẳng dốc lên hay xuống và dốc bao nhiêu.The slope of a line is the change in $y$ for each one-unit increase in $x$ ; it tells whether the line rises or falls and how steeply.

Trực giác: Hệ số góc giống độ dốc của một con dốc: đi ngang một bước thì người ta lên (hoặc xuống) bao nhiêu mét.Intuition: Slope is like the steepness of a hill: for each step you take forward horizontally, it tells how many meters you climb (or descend).

Công thức chínhKey formula

m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hệ số góc $m$ cho biết khi $x$ tăng $1$ đơn vị thì $y$ thay đổi bao nhiêu. Lấy hai điểm phân biệt bất kỳ trên đường thẳng, lấy độ thay đổi của $y$ chia độ thay đổi của $x$ , ta luôn được cùng một $m$ . Ví dụ: đường thẳng qua $(1;2)$ và $(3;8)$ có $m=\dfrac{8-2}{3-1}=3$ .

Nếu $m>0$ thì hàm đồng biến; $m<0$ thì nghịch biến; $m=0$ thì đường nằm ngang. $|m|$ càng lớn thì càng dốc. Đường thẳng đứng không có hệ số góc. Với đường cong $y=f(x)$ , hệ số góc tại điểm có $x=a$ là hệ số góc của tiếp tuyến, tức đạo hàm $f'(a)$ (nếu có), và đổi theo $a$ .

The slope $m$ of a line tells how much $y$ changes when $x$ increases by $1$ unit. Take any two distinct points on the line and divide the change in $y$ by the change in $x$ ; you always get the same $m$ . For example, the line through $(1,2)$ and $(3,8)$ has $m=\dfrac{8-2}{3-1}=3$ .

If $m>0$ , the function is increasing; if $m<0$ , it is decreasing; if $m=0$ , the line is horizontal. The larger $|m|$ is, the steeper the line. A vertical line has no slope. For a curve $y=f(x)$ , the slope at the point where $x=a$ is the slope of the tangent line, that is, the derivative $f'(a)$ (if it exists), and it changes as $a$ changes.

Ký hiệuNotation

• $m$
• $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
• $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
• $f'(a)$ hoặc $\dfrac{dy}{dx}$ cho hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm

Đơn vịUnitsĐơn vị của y chia cho đơn vị của x (ví dụ °F trên mỗi tiếng kêu mỗi phút, hoặc đô la trên mỗi chiếc ghế)

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

m=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{y_2-y_1}}{\htmlClass{fp-1}{x_2-x_1}}}

Dùng khi biết hai điểm có $x_1\ne x_2$ trên đường thẳng, hoặc tìm tốc độ thay đổi trung bình giữa hai điểm của một đồ thị.Use this when you know two points on a line with $x_1\ne x_2$ , or when finding the average rate of change between two points on a graph.

Trong đóWhere

m

hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm — đơn vị của

y

trên mỗi đơn vị của

x

(x_1,y_1)

tọa độ điểm thứ nhất

(x_2,y_2)

tọa độ điểm thứ hai

m_{\tan}=\htmlClass{fp-3}{\lim_{h\to 0}\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{f(a+h)-f(a)}}{\htmlClass{fp-1}{h}}}}=f'(a)

Dùng khi cần hệ số góc của tiếp tuyến tại $x=a$ trên đường cong; kết quả là đạo hàm $f'(a)$ , tốc độ thay đổi tức thời.Use this when you need the slope of the tangent line to a curve at $x=a$ ; the result is the derivative $f'(a)$ , the instantaneous rate of change.

Trong đóWhere

m_{\tan}

hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị

y=f(x)

tại điểm có hoành độ

a

a

hoành độ của điểm tiếp xúc

h

khoảng dịch chuyển nhỏ theo trục

x

tính từ

a

, được cho tiến về

0

f'(a)

đạo hàm của

f

tại

a

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Hệ số góc của đường cong không phải một số cố định.

Với đường thẳng, $m$ là hằng số. Với đường cong $y=f(x)$ , hệ số góc tại $x=a$ là $f'(a)$ và đổi theo $a$ . Vì vậy phải tính đạo hàm rồi thay đúng giá trị $x$ đề cho.

Hệ số góc bằng $0$ khác với hệ số góc không tồn tại.

Tiếp tuyến ngang có hệ số góc $0$ ; tiếp tuyến thẳng đứng không có hệ số góc. Với $\dfrac{dy}{dx}$ là phân thức: tử bằng $0$ , mẫu khác $0$ cho tiếp tuyến ngang. Mẫu bằng $0$ , tử khác $0$ có thể cho tiếp tuyến thẳng đứng, nếu điểm đó nằm trên đường cong.

A curve does not have one fixed slope.

For a line, $m$ is constant, but for a curve $y=f(x)$ the slope at $x=a$ is $f'(a)$ , which changes with $a$ . So you must find the derivative and then substitute the specific $x$ -value given.

A slope of $0$ is not the same as an undefined slope.

A horizontal tangent has slope $0$ , while a vertical tangent has no slope. When $\dfrac{dy}{dx}$ is a fraction, a numerator of $0$ with a nonzero denominator gives a horizontal tangent. A denominator of $0$ with a nonzero numerator may give a vertical tangent, provided the point lies on the curve.

Mẹo phòng thiExam tips1 mẹo1 tip

Tốc độ thay đổi trung bình của hàm $f$ trên $[a,b]$ là $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Hãy viết ra giá trị số. Đó là hệ số góc của đoạn thẳng nối hai điểm $(a;f(a))$ và $(b;f(b))$ trên đồ thị. Viết rõ phép tính để người chấm thấy từng bước.

Write out the numerical value of the average rate of change of $f$ on $[a,b]$ , which is $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

This is the slope of the segment joining the points $(a,f(a))$ and $(b,f(b))$ on the graph. Show the calculation clearly so the grader can follow each step.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from2 phút đọc1 min read

1844Matthew O'Brien

Theo các nguồn tra cứu, Matthew O'Brien năm 1844 là người đầu tiên dùng

m

cho hệ số góc trong tiếng Anh; lý do chọn chữ m đến nay chưa rõ.

According to reference sources, Matthew O'Brien in 1844 was the first to use

m

for slope in English; the reason for choosing the letter m remains unclear.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "slope" trong tiếng Anh, theo một nguồn tra cứu từ nguyên, bắt nguồn từ gốc "slupan", nghĩa là trượt. Hình ảnh gốc là mặt đất như trượt đi dưới chân khi ta bước tới. Gốc từ này cũng sinh ra từ chỉ ống tay áo, nơi cánh tay trượt vào, và từ chỉ việc bôi trơn. Vì vậy, cái tên chỉ độ dốc mang sẵn ý niệm về một mặt phẳng nghiêng mà vật có thể trượt theo. Chữ m thì khó giải thích hơn nhiều. Wikipedia thừa nhận không có câu trả lời rõ ràng, chỉ ghi nhận rằng O'Brien là người đầu tiên dùng nó trong tiếng Anh (1844), còn Todhunter năm 1888 viết y = mx + c. Giả thuyết phổ biến nhất cho rằng Descartes dùng m vì đó là chữ cái đầu của một từ tiếng Pháp nào đó, nhưng các nguồn xếp giả thuyết này vào loại huyền thoại, và Descartes thực ra không dùng chữ m. Một giáo viên từng kể rằng m bắt nguồn từ từ "montant" (nghĩa là "độ nâng lên"). Tuy nhiên, khi hỏi một học sinh trao đổi người Paris, ông được biết ở Pháp người ta dùng chữ s cho hệ số góc. Một cách liên hệ khác là động từ "monter" (leo), nhưng cũng không có bằng chứng nào ủng hộ. Vì thế, những gì còn lại chỉ là phỏng đoán. John Conway đề xuất m có thể là viết tắt của "mô-đun của độ dốc" (modulus of slope). Nhà sử học toán Howard Eves thì cho rằng đơn giản là "it just happened" (tự nhiên mà thành như vậy). Có khả năng việc chọn chữ m chỉ là ngẫu nhiên.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo B lại gần A — cát tuyến xoay dần về tiếp tuyến

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiễn giải ý nghĩa đạo hàm trong ngữ cảnhỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTốc độ biến thiên trung bình & tức thời tại một điểmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiễn giải ý nghĩa đạo hàm trong ngữ cảnhỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm số bậc nhấtlinear function

Dẫn tớiLeads tođạo hàmderivative trường hướngslope field

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiếp tuyếntangent line

Khác nhau ở đâuHow they differHệ số góc là một con số đo độ dốc. Tiếp tuyến là cả đường thẳng chạm đồ thị tại một điểm, có hệ số góc bằng

f'(a)

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "tìm phương trình tiếp tuyến" thì phải viết cả đường thẳng, không dừng lại ở việc tính

f'(a)

rồi coi đó là đáp án.

đạo hàmderivative

Khác nhau ở đâuHow they differHệ số góc là một số gắn với một đường thẳng cho trước. Đạo hàm

f'(x)

là hàm số cho hệ số góc của tiếp tuyến tại mỗi điểm

x

Hay nhầm khiMixed up whenVới đường thẳng, hệ số góc không đổi; với đường cong, hệ số góc thay đổi theo

x

nên phải dùng đạo hàm tại điểm cụ thể.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 49, 66, 94.