AP Calculus BCAP Calculus AB

trường hướngslope field

slope fieldVietnamese: trường hướng

Còn gọi:Also called: direction field

Trường hướng (slope field) là tập hợp các đoạn thẳng nhỏ vẽ tại nhiều điểm trên mặt phẳng, mỗi đoạn có hệ số góc bằng giá trị của dy/dx tại điểm đó.A slope field is a collection of short line segments drawn at many points in the plane, where each segment has a slope equal to the value of $\frac{dy}{dx}$ at that point.

Trực giác: Giống nhiều biển chỉ đường cắm khắp mặt phẳng: đứng ở đâu, biển gần đó cho biết nên đi dốc lên hay xuống bao nhiêu khi bước sang phải.Intuition: A slope field is like many signposts planted across the plane: wherever you stand, the nearest sign tells you how steeply to go up or down as you step to the right.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Trường hướng giúp ta thấy hình dạng các nghiệm của phương trình vi phân mà không cần giải. Với $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ , ta vẽ nhiều đoạn thẳng nhỏ. Mỗi đoạn có hệ số góc bằng $F$ tại điểm đặt nó. Ví dụ với $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ , tại điểm $(1;2)$ hệ số góc là $1+2=3$ .

Mọi nghiệm đi qua điểm đó đều tiếp xúc với đoạn ấy. Để phác nghiệm, đặt bút tại điều kiện ban đầu. Rồi vẽ một đường trơn theo các đoạn quanh nó.

A slope field shows the shape of the solutions to a differential equation without solving it. For $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ , draw many short line segments, each with slope equal to $F$ at the point where it is placed. For example, for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ , the slope at the point $(1, 2)$ is $1+2=3$ .

Every solution curve through a point is tangent to the segment at that point. To sketch a solution, start at the initial condition and draw a smooth curve that follows the nearby segments.

Ký hiệuNotation

• $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ : hệ số góc của đoạn thẳng tại điểm $(x,y)$
• $y(x_0)=y_0$ : điều kiện ban đầu, cho điểm xuất phát của đường nghiệm.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\dfrac{dy}{dx}}=\htmlClass{fp-1}{F(x,y)}

Dùng khi đề cho phương trình vi phân cấp một và yêu cầu vẽ hoặc đọc trường hướng: thay tọa độ điểm vào $F$ để được hệ số góc.Use this when a question gives a first-order differential equation and asks you to draw or read a slope field: substitute the coordinates of a point into $F$ to get the slope there.

Trong đóWhere

x

hoành độ của điểm đang xét trên lưới

y

tung độ của điểm đang xét, đồng thời là giá trị của hàm cần tìm tại

x

\dfrac{dy}{dx}

hệ số góc của đường nghiệm tại điểm

(x,y)

, cũng là hệ số góc của đoạn thẳng trong trường hướng

F(x,y)

biểu thức theo

x

và

y

ở vế phải của phương trình vi phân, dùng để tính hệ số góc tại mỗi điểm

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đoạn thẳng trong trường hướng không phải là đồ thị nghiệm.

Nó chỉ cho độ dốc tại đúng một điểm. Đường nghiệm cong dần, đi theo các đoạn ở gần nó.

Các đoạn giống nhau dọc mỗi hàng ngang nghĩa là $\dfrac{dy}{dx}$ chỉ phụ thuộc $y$ .

Trên một hàng ngang, $y$ không đổi nên độ dốc không đổi. Ví dụ $\dfrac{dy}{dx}=y^2$ . Còn các đoạn giống nhau dọc mỗi cột thì chỉ phụ thuộc $x$ , như $\dfrac{dy}{dx}=x^3$ .

Khi $\dfrac{dy}{dx}$ chỉ phụ thuộc $y$ , đồ thị nghiệm không thể đi lên rồi đi xuống.

Hai điểm cùng độ cao $y$ phải có cùng độ dốc. Đi lên và đi xuống thì độ dốc trái dấu, nên mâu thuẫn.

A segment in a slope field is not the graph of a solution.

It gives the slope at exactly one point. A solution curve bends gradually, following the segments near it.

Identical segments along each horizontal row mean $\dfrac{dy}{dx}$ depends only on $y$ .

Along a horizontal row, $y$ is constant, so the slope is constant; an example is $\dfrac{dy}{dx}=y^2$ . Likewise, identical segments along each vertical column mean the slope depends only on $x$ , as in $\dfrac{dy}{dx}=x^3$ .

When $\dfrac{dy}{dx}$ depends only on $y$ , a solution curve cannot rise and then fall.

Two points at the same height $y$ must have the same slope. Rising and falling would require slopes of opposite sign, a contradiction.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Ghép phương trình với trường hướng bằng cách loại đáp án dần theo từng đặc điểm.

Xét lần lượt: độ dốc phụ thuộc biến nào, dấu của độ dốc, chỗ độ dốc bằng $0$ . Cách này nhanh hơn thử từng điểm. Khi tự luận, ghi lý do bằng lời, ví dụ "độ dốc bằng $0$ khi $y=0$ ".

Với điều kiện đầu, kiểm tra cả điểm đi qua lẫn độ dốc.

Đặt bút tại điểm đầu trước khi nhìn đáp án, ví dụ $(0;1)$ khi $y(0)=1$ . Đáp án sai thường qua điểm đầu nhưng sai độ dốc, hoặc đúng độ dốc nhưng không qua điểm đầu.

Match a differential equation to its slope field by eliminating choices one feature at a time.

Check which variable the slope depends on, the sign of the slope, and where the slope equals $0$ . This is faster than testing individual points. On free-response questions, state your reasoning in words, such as "the slope is $0$ when $y=0$ ."

For an initial condition, check both the point and the slope.

Mark the starting point before looking at the answer choices, such as $(0, 1)$ when $y(0)=1$ . Wrong choices often pass through the starting point with the wrong slope, or have the right slope but miss the starting point.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Không rõ ai đề xuất. Sau khi vi tích phân ra đời cuối thế kỷ 17, cần công cụ xem dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân không giải được.

No single person is credited with proposing it. After calculus was developed in the late 17th century, mathematicians needed a tool for seeing how solutions behave for differential equations that cannot be solved exactly.

Vì sao mang đúng cái tên này? Các nguồn không ghi lại ai đặt tên "slope field" hay đặt vào lúc nào, nên không thể kể lịch sử của cái tên. Điều đọc được là tên gọi khớp với định nghĩa: đây là một trường vectơ (vector field) gán cho mỗi điểm $(x,y)$ một đoạn nhỏ có độ dốc đúng bằng giá trị $f(x,y)$ của phương trình $y'=f(x,y)$ . Wikipedia còn cho biết khái niệm này được gọi là "direction field", tức trường hướng, vì các đoạn nhỏ ấy chỉ hướng đi của đường nghiệm.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo điểm đầu — đường nghiệm luồn theo các gạch nghiêng của trường

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termVẽ trường hệ số góc (slope field)Phương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termSuy luận với trường hệ số gócPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ nghiệm bằng phương pháp EulerPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termVẽ trường hệ số góc (slope field)Phương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termSuy luận với trường hệ số gócPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstphương trình vi phândifferential equation hệ số gócslope

Dẫn tớiLeads tobài toán giá trị ban đầuinitial value problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương pháp EulerEuler’s method

Khác nhau ở đâuHow they differTrường hướng là hình vẽ các đoạn hướng cho thấy dáng điệu chung của nghiệm. Phương pháp Euler là thuật toán tính ra các giá trị xấp xỉ cụ thể của nghiệm.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi phác họa đường nghiệm qua một điểm thì dùng trường hướng, còn đề cho độ dài bước và yêu cầu tính

y

xấp xỉ thì dùng phương pháp Euler.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 1364, 1369.