AP Calculus BC

phương pháp EulerEuler’s method

Euler’s methodVietnamese: phương pháp Euler

Phương pháp Euler (Euler’s method) là cách tính gần đúng nghiệm phương trình vi phân bằng các bước nhỏ, mỗi bước đi theo hệ số góc tại điểm đó.Euler’s method is a way to approximate the solution of a differential equation using small steps, each following the slope at the current point.

Trực giác: Giống như đi trong sương mù, mỗi vài bước bạn chỉ nhìn hướng la bàn tại chỗ đang đứng rồi cứ thế đi thẳng đến lần kiểm tra kế tiếp.Intuition: It is like walking through fog: every few steps you check the compass heading only where you stand, then walk straight in that direction until the next check.

Công thức chínhKey formula

y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phương pháp Euler tính gần đúng nghiệm của $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ với $y(x_0)=y_0$ , khi không tìm được nghiệm dạng công thức. Mỗi bước đi một đoạn $h$ (bước nhảy): $y$ mới bằng $y$ cũ cộng $h$ nhân hệ số góc tại điểm đang đứng. Ví dụ: $\dfrac{dy}{dx}=y$ , $y(0)=1$ , $h=0{,}5$ thì $y_1=1+0{,}5\cdot 1=1{,}5$ . Kết quả là một đường gấp khúc.

$h$ càng nhỏ thì thường càng gần nghiệm thật. Ở một bước, nghiệm cong lên thì tiếp tuyến nằm dưới đồ thị, nên giá trị Euler thấp hơn giá trị thật. Nghiệm cong xuống thì ngược lại. Đề AP thường viết $h$ là $\Delta x$ .

Euler’s method approximates the solution of $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ with $y(x_0)=y_0$ when no closed-form solution can be found. Each step moves a distance $h$ (the step size): the new $y$ equals the old $y$ plus $h$ times the slope at the current point. For example, for $\dfrac{dy}{dx}=y$ , $y(0)=1$ , and $h=0.5$ , we get $y_1=1+0.5\cdot 1=1.5$ . The result is a piecewise linear path.

A smaller $h$ usually gives a closer approximation to the true solution. Over one step, if the solution is concave up, the tangent line lies below the graph, so the Euler value underestimates the true value. If the solution is concave down, the opposite is true. AP problems often write $h$ as $\Delta x$ .

Ký hiệuNotation

• $h$ hoặc $\Delta x$ là bước nhảy
• $(x_n,y_n)$ là điểm thứ $n$
• $y_{n+1}=y_n+h\,\dfrac{dy}{dx}\Big|_{(x_n,y_n)}$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

y_{n+1}=\htmlClass{fp-2}{y_n+\htmlClass{fp-1}{h\,\htmlClass{fp-0}{f(x_n,y_n)}}}

Dùng khi cần xấp xỉ nghiệm bài toán giá trị ban đầu mà không có công thức nghiệm. $h$ nhỏ thì sát hơn nhưng nhiều bước hơn.Use it to approximate the solution of an initial value problem when no formula for the solution exists. A smaller $h$ gives a closer approximation but requires more steps.

Trong đóWhere

y_n

giá trị xấp xỉ của nghiệm tại

x_n

(với

y_0

là điều kiện ban đầu)

y_{n+1}

giá trị xấp xỉ của nghiệm tại điểm kế tiếp

x_{n+1}

h

kích thước bước (step size), khoảng cách giữa hai giá trị

x

liên tiếp

f(x_n,y_n)

vế phải của phương trình vi phân

\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)

tính tại

(x_n,y_n)

, tức độ dốc của nghiệm tại điểm đó

x_{n+1}=x_n+h

Đi kèm công thức của $y_{n+1}$ : mỗi bước tiến sang phải $h$ đơn vị theo trục $x$ , bắt đầu từ $x_0$ .This accompanies the formula for $y_{n+1}$ : each step moves $h$ units to the right along the $x$ -axis, starting from $x_0$ .

Trong đóWhere

x_n

hoành độ tại bước thứ

n

, với

x_0

là hoành độ của điều kiện ban đầu

h

kích thước bước, cùng giá trị với

h

trong công thức cho

y_{n+1}

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đi lùi thì bước nhảy $h$ phải âm.

Khi xấp xỉ tại $x$ nhỏ hơn $x_0$ , $h=\dfrac{x_{\text{end}}-x_{\text{start}}}{n}<0$ , với $n$ là số bước. Bỏ dấu âm thì mỗi bước đi sai chiều, đáp án sai dù các phép tính khác đúng.

Để tính $y_{k+1}$ , hãy lấy hệ số góc tại $(x_k,y_k)$ .

Đó là điểm đầu của bước đang tính. Đừng giữ $y_0$ ở mọi bước: từ bước hai, hệ số góc phụ thuộc $y_1$ . Lập bảng $x_k$ , $y_k$ , hệ số góc, $y_{k+1}$ để khỏi lẫn.

Số bước và bước nhảy là hai đại lượng khác nhau.

Đề cho hai bước bằng nhau thì $h=$ (đoạn cần đi)/2. Đề cho bước nhảy $0{,}5$ thì số bước là (đoạn cần đi)/ $0{,}5$ . Kiểm tra $x$ cuối trong bảng có đúng giá trị đề yêu cầu.

When you step backward, the step size $h$ must be negative.

To approximate at an $x$ less than $x_0$ , use $h=\dfrac{x_{\text{end}}-x_{\text{start}}}{n}<0$ , where $n$ is the number of steps. Dropping the negative sign sends every step in the wrong direction, so the answer is wrong even if the rest of the arithmetic is correct.

To compute $y_{k+1}$ , use the slope at $(x_k,y_k)$ .

That is the starting point of the step you are computing. Do not keep using $y_0$ at every step: from the second step on, the slope depends on $y_1$ . A table with columns $x_k$ , $y_k$ , slope, and $y_{k+1}$ helps prevent mix-ups.

The number of steps and the step size are different quantities.

If a problem gives two equal steps, then $h=$ (total distance)/2. If it gives a step size of $0.5$ , then the number of steps is (total distance)/ $0.5$ . Check that the final $x$ in your table is the value the problem asks for.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Ghi công thức, $h$ và biểu thức đã thay số trước khi rút gọn.

Phần tự luận AP chấm theo từng bước. Hãy viết $y_1=y_0+h\cdot\dfrac{dy}{dx}$ với số đã thay vào rồi mới tính. Nhờ vậy nếu sai số học, các bước đúng vẫn có thể được điểm.

Khi đề cho bảng giá trị của $g$ , hãy tra lại $g$ tại $y_k$ của từng bước.

Ví dụ $\dfrac{dy}{dx}=4x+g(y)$ . Bẫy hay gặp là dùng $g(y_0)$ cho cả hai bước. Sau bước đầu $y$ đã đổi thành $y_1$ , nên phải tra bảng ở giá trị mới.

Write the formula, $h$ , and the substituted expression before simplifying.

AP free-response questions are scored step by step. Write $y_1=y_0+h\cdot\dfrac{dy}{dx}$ with the numbers substituted in, and only then compute. That way, if you make an arithmetic error, the correct steps can still earn credit.

When a problem gives a table of values for $g$ , look up $g$ at the $y_k$ of each step.

For example, take $\dfrac{dy}{dx}=4x+g(y)$ . A common trap is using $g(y_0)$ for both steps. After the first step, $y$ has changed to $y_1$ , so you must read the table at the new value.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1768–1770Leonhard Euler

Euler đưa ra phương pháp trong bộ chuyên luận giải tích tích phân (1768–1770) để tính gần đúng nghiệm phương trình vi phân khi biết giá trị ban đầu.

Euler introduced the method in his treatise on integral calculus (1768–1770) as a way to approximate the solution of a differential equation from a known initial value.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi đơn giản là tên người đề xuất: phương pháp được đặt theo Leonhard Euler, người đầu tiên trình bày nó trong bộ chuyên luận Institutionum calculi integralis (xuất bản 1768–1770). Trong tiếng Anh, phương pháp còn được gọi là phương pháp Euler tiến (forward Euler method), để phân biệt với các biến thể về sau. Ngoài ra, vì kết quả của nó là một đường gấp khúc xấp xỉ đường cong nghiệm, các tài liệu lịch sử cũng gọi nó là phương pháp đường gấp khúc Euler (Euler's polygonal method). Cách gọi này nhắc rằng gốc rễ của phương pháp là hình học: nối các đoạn tiếp tuyến liên tiếp lại với nhau, và khi bước nhảy càng nhỏ thì đường gấp khúc càng tiến sát đường cong thật.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ nghiệm bằng phương pháp EulerPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termVẽ trường hệ số góc (slope field)Phương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ giá trị hàm bằng tính tuyến tính địa phương và tuyến tính hóaỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstbài toán giá trị ban đầuinitial value problem

Dẫn tớiLeads totrường hướngslope field

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương pháp tách biếnseparation of variables

Khác nhau ở đâuHow they differPhương pháp Euler cho giá trị gần đúng của nghiệm tại từng điểm cụ thể. Phương pháp tách biến cho công thức nghiệm chính xác nhưng chỉ dùng được khi phương trình tách được.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề yêu cầu "dùng phương pháp Euler với hai bước" thì không được tách biến để giải chính xác; ngược lại đề yêu cầu "tìm nghiệm riêng" thì cần tách biến chứ không phải Euler.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 8, 18, 630.