AP Calculus BCAP Calculus AB

phương trình vi phândifferential equation

differential equationVietnamese: phương trình vi phân

Phương trình vi phân (differential equation) là phương trình chứa hàm chưa biết và đạo hàm của nó, nghiệm là một hàm số chứ không phải một con số.A differential equation is an equation that contains an unknown function and its derivatives; its solution is a function, not a number.

Trực giác: Giống như biết xe ở vị trí nào thì chạy nhanh chừng nào, rồi phải vẽ lại cả đường đi từ điểm xuất phát.Intuition: It is like knowing how fast a car is moving at each position and then having to reconstruct its whole path from the starting point.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phương trình vi phân có ẩn là một hàm số, chẳng hạn $y=y(x)$ . Phương trình cho biết hàm đó liên hệ thế nào với đạo hàm của chính nó.

Phương trình thường có vô số nghiệm. Với $\dfrac{dy}{dx}=2y$ , nghiệm tổng quát là $y=Ce^{2x}$ , trong đó $C$ là hằng số tùy ý. Điều kiện ban đầu $y(0)=5$ cho $C=5$ , tức nghiệm riêng $y=5e^{2x}$ . Khi không tìm được công thức nghiệm, ta có thể xấp xỉ bằng phương pháp Euler.

A differential equation has an unknown function, such as $y=y(x)$ , as its unknown. It describes how that function is related to its own derivatives.

A differential equation usually has infinitely many solutions. For $\dfrac{dy}{dx}=2y$ , the general solution is $y=Ce^{2x}$ , where $C$ is an arbitrary constant. The initial condition $y(0)=5$ gives $C=5$ , so the particular solution is $y=5e^{2x}$ . When no formula for the solution can be found, Euler's method can approximate it.

Ký hiệuNotation

• $\dfrac{dy}{dx} = F(x, y)$ hoặc $y' = F(x, y)$
•điều kiện ban đầu viết dạng $y(x_0) = y_0$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\dfrac{dy}{dx}}=\htmlClass{fp-1}{f(x,y)}}

Dùng để nhận ra phương trình vi phân cấp một, rồi chọn cách giải: tách biến, trường hướng hoặc phương pháp Euler.Use this to recognize a first-order differential equation and then choose a solution method: separation of variables, a slope field, or Euler's method.

Trong đóWhere

y

hàm chưa biết cần tìm, phụ thuộc vào

x

\dfrac{dy}{dx}

đạo hàm của

y

theo

x

, tức tốc độ biến thiên tức thời của

y

f(x,y)

biểu thức theo

x

và

y

quy định giá trị của đạo hàm

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\dfrac{dy}{dx}}=\htmlClass{fp-1}{ky}}

Dùng cho mô hình tăng trưởng hoặc phân rã tỉ lệ với lượng hiện có; $k>0$ thì tăng theo hàm mũ, $k<0$ thì suy giảm theo hàm mũ.Use this for growth or decay models in which the rate of change is proportional to the current amount; $k>0$ gives exponential growth and $k<0$ gives exponential decay.

Trong đóWhere

k

hằng số tỉ lệ; dấu của

k

quyết định

y

tăng hay giảm

y

đại lượng đang xét, ví dụ dân số hoặc khối lượng chất phóng xạ

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Giới hạn của nghiệm logistic là $a$ , không phải hệ số $k$ .

Xét $\dfrac{dP}{dt}=kP(a-P)$ với $k>0$ , $a>0$ và $P(0)>0$ . Đạo hàm bằng 0 tại $P=a$ , và $P$ tiến về $a$ khi $t$ tăng. Với $k=\dfrac{1}{2100}$ , $a=700$ , giới hạn là 700, không phải $k$ hay 2100.

Mỗi bước Euler phải tính lại $\dfrac{dy}{dx}$ tại điểm mới.

Giữ độ dốc cũ hoặc đổi $x$ mà quên đổi $y$ đều cho kết quả sai. Hãy lập bảng gồm $x$ , $y$ , $\dfrac{dy}{dx}$ và $y+h\cdot\dfrac{dy}{dx}$ , với $h$ là bước nhảy của $x$ .

Tăng với tốc độ giảm cần cả $\dfrac{dy}{dt}>0$ và $\dfrac{d^2y}{dt^2}<0$ .

Với $\dfrac{dy}{dt}=0{,}2y(1000-y)$ , $y$ tăng khi $0<y<1000$ . Trong khoảng đó, đạo hàm cấp hai chỉ âm khi $y>500$ . Đáp án đúng là $500<y<1000$ .

The limiting value of a logistic solution is $a$ , not the constant $k$ .

Consider $\dfrac{dP}{dt}=kP(a-P)$ with $k>0$ , $a>0$ , and $P(0)>0$ . The derivative equals 0 at $P=a$ , and $P$ approaches $a$ as $t$ increases. For $k=\dfrac{1}{2100}$ and $a=700$ , the limit is 700, not $k$ or 2100.

Each Euler step requires recomputing $\dfrac{dy}{dx}$ at the new point.

Reusing the old slope, or updating $x$ but forgetting to update $y$ , gives a wrong result. Build a table with columns for $x$ , $y$ , $\dfrac{dy}{dx}$ , and $y+h\cdot\dfrac{dy}{dx}$ , where $h$ is the step size in $x$ .

Increasing at a decreasing rate requires both $\dfrac{dy}{dt}>0$ and $\dfrac{d^2y}{dt^2}<0$ .

For $\dfrac{dy}{dt}=0.2y(1000-y)$ , $y$ is increasing when $0<y<1000$ . Within that interval, the second derivative is negative only when $y>500$ , so the correct answer is $500<y<1000$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Bài logistic tìm $k$ : ghi rõ dạng $\dfrac{dP}{dt}=kP(a-P)$ và dòng thay số.

Ở đây $a$ là giá trị giới hạn. Người chấm cho điểm từng bước: nhận dạng, thay đúng $a$ , thay đúng dữ kiện, rồi giải $k$ . Thiếu dòng thay số có thể mất điểm.

Tính bước nhảy $h$ trước, rồi lập bảng từng bước.

Ví dụ đi từ $x=1$ đến $x=2$ trong 4 bước thì $h=\dfrac{2-1}{4}=0{,}25$ . Chỉ làm tròn ở kết quả cuối, thường đến ba chữ số thập phân. Bảng giúp người chấm thấy các bước đúng.

When a logistic problem asks for $k$ , write the form $\dfrac{dP}{dt}=kP(a-P)$ and show the substitution line.

Here $a$ is the limiting value. Graders award points step by step: recognizing the form, substituting the correct $a$ , substituting the given data, and solving for $k$ . Omitting the substitution line can cost you points.

Compute the step size $h$ first, then build a table showing each step.

For example, going from $x=1$ to $x=2$ in 4 steps gives $h=\dfrac{2-1}{4}=0.25$ . Round only the final result, usually to three decimal places. The table lets graders see which steps are correct.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 17 (bài toán tiếp tuyến ngược đầu tiên năm 1639; Newton liệt kê ba loại phương trình năm 1671)Isaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizFlorimond De BeauneJacob Bernoulli

Phương trình vi phân bắt nguồn từ bài toán tìm đường cong khi biết tính chất của tiếp tuyến; bài đầu tiên do Florimond De Beaune đề ra năm 1639.

Differential equations originated in the problem of finding a curve from known properties of its tangent line; the first such problem was posed by Florimond De Beaune in 1639.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi này là của Leibniz. Nó gắn với khái niệm vi phân mà ông đưa ra trong các ghi chép chưa công bố khoảng năm 1675, bên cạnh ký hiệu tích phân đầu tiên được ghi nhận. Như vậy, "phương trình vi phân" là phương trình liên hệ một hàm chưa biết với các đạo hàm của nó, tức là với những đại lượng của phép tính vi phân. Về sau, khi phương trình chỉ chứa đạo hàm thông thường, người ta gọi là phương trình vi phân thường (ordinary differential equation). Khi phương trình chứa đạo hàm riêng, người ta gọi là phương trình đạo hàm riêng (partial differential equation). Cả hai cách gọi này đều là cách gọi hiện đại. Loại thứ hai chỉ được đưa vào từ giữa thế kỷ 18, nhờ Jean d'Alembert và Leonhard Euler, chẳng hạn trong bài toán dây đàn rung.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo điểm đầu — nhìn đường nghiệm luồn theo các gạch dốc

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình hóa tình huống bằng phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKiểm chứng nghiệm của phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình hóa tình huống bằng phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKiểm chứng nghiệm của phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads tophương pháp tách biếnseparation of variables trường hướngslope field tăng trưởng mũexponential growth

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

nguyên hàmantiderivative

Khác nhau ở đâuHow they differNguyên hàm là bài toán tìm

F

khi biết

F'(x)=f(x)

, vế phải chỉ chứa

x

. Phương trình vi phân tổng quát hơn, vế phải có thể chứa cả

y

, như

\dfrac{dy}{dx}=xy

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho

\dfrac{dy}{dx}

theo

x

thì chỉ cần lấy tích phân; khi vế phải có

y

thì phải tách biến trước rồi mới lấy tích phân.

nghiệm riêngparticular solution

Khác nhau ở đâuHow they differPhương trình vi phân có cả họ nghiệm chứa hằng số

C

. Nghiệm riêng là một hàm cụ thể trong họ đó, được chọn nhờ điều kiện đầu.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề AP thường yêu cầu "tìm nghiệm

y=f(x)

thoả

f(0)=3

": phải thay điều kiện đầu để tìm

C

, không dừng ở nghiệm tổng quát.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 8, 18–19.