AP Calculus BCAP Calculus AB

tăng trưởng mũexponential growth

exponential growthVietnamese: tăng trưởng mũ

Tăng trưởng mũ (exponential growth) là kiểu tăng mà đại lượng càng lớn thì càng tăng nhanh, vì tốc độ tăng tỉ lệ thuận với chính giá trị hiện có.Exponential growth is growth in which a quantity increases faster as it gets larger, because its rate of increase is proportional to its current value.

Trực giác: Giống đàn vi khuẩn khi thức ăn còn nhiều: càng đông thì càng sinh thêm nhiều, nên số lượng tăng ngày càng nhanh.Intuition: Think of a bacterial colony with plenty of food: the more bacteria there are, the more new bacteria are produced, so the population grows faster and faster.

Công thức chínhKey formula

y=y_0e^{kt}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tăng trưởng mũ (exponential growth) là khi đại lượng $y$ càng lớn thì càng tăng nhanh. Cụ thể, tốc độ thay đổi của $y$ tỉ lệ với chính $y$ : $\dfrac{dy}{dt}=ky$ , với $t$ là thời gian và hằng số $k>0$ . Nghiệm là $y=y_0e^{kt}$ , với $y_0$ là giá trị lúc $t=0$ .

Ví dụ: với $k=\ln 2$ và $t$ tính bằng giờ, ta có $y=y_0\cdot 2^{t}$ , nên $y$ gấp đôi sau mỗi giờ. Tổng quát, thời gian nhân đôi là $T=\dfrac{\ln 2}{k}$ . Mô hình chỉ hợp lý khi nguồn lực chưa bị giới hạn. Khi tài nguyên cạn dần, người ta dùng mô hình logistic.

Exponential growth occurs when a quantity $y$ grows faster the larger it becomes. Specifically, the rate of change of $y$ is proportional to $y$ itself: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ , where $t$ is time and the constant $k>0$ . The solution is $y=y_0e^{kt}$ , where $y_0$ is the value at $t=0$ .

For example, with $k=\ln 2$ and $t$ measured in hours, $y=y_0\cdot 2^{t}$ , so $y$ doubles every hour. In general, the doubling time is $T=\dfrac{\ln 2}{k}$ . The model is reasonable only while resources are unlimited. When resources run low, the logistic model is used instead.

Ký hiệuNotation

• $y = y_0 e^{kt}$ với $k>0$
• $\dfrac{dy}{dt} = ky$
• $y_0 = y(0)$ là giá trị ban đầu
• $T = \dfrac{\ln 2}{k}$ là thời gian nhân đôi.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

y=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-2}{y_0}\htmlClass{fp-1}{e^{\htmlClass{fp-0}{kt}}}}

Dùng khi đại lượng tăng với tốc độ tỉ lệ với lượng hiện có ( $k>0$ ) và đã biết giá trị ban đầu $y_0$ .Use this when a quantity grows at a rate proportional to its current amount ( $k>0$ ) and the initial value $y_0$ is known.

Trong đóWhere

y

lượng (dân số, số vi khuẩn, số tiền…) tại thời điểm

t

y_0

lượng ban đầu, tức giá trị của

y

khi

t=0

k

hằng số tăng trưởng,

k>0

; là tỉ lệ tăng tương đối trên một đơn vị thời gian — 1/đơn vị thời gian

t

thời gian tính từ lúc bắt đầu — giờ, năm… tùy bài

\dfrac{dy}{dt}=ky

Dùng để lập mô hình từ mô tả "tốc độ tỉ lệ với lượng hiện có", rồi tách biến để ra $y=y_0e^{kt}$ .Use this to build a model from the description "the rate is proportional to the current amount," then separate variables to obtain $y=y_0e^{kt}$ .

Trong đóWhere

\dfrac{dy}{dt}

tốc độ biến thiên tức thời của

y

theo thời gian — đơn vị của

y

trên đơn vị thời gian

k

hằng số tỉ lệ,

k>0

trong trường hợp tăng trưởng — 1/đơn vị thời gian

y

lượng tại thời điểm

t

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tăng trưởng mũ không phải mỗi kỳ tăng thêm một lượng cố định.

Lượng tăng cố định là tăng trưởng tuyến tính. Ở mô hình mũ, cái không đổi là tỉ lệ $\dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{dy}{dt}=k$ . Vì vậy $y$ càng lớn thì tăng càng nhanh, và đồ thị cong lên.

Trong $y=y_0e^{kt}$ , $k$ không phải phần trăm tăng mỗi đơn vị thời gian.

Với $k=0{,}05$ , mức tăng thực tế sau một đơn vị thời gian là $e^{0{,}05}-1\approx 5{,}13\%$ , không phải $5\%$ . Đề hỏi 'tăng bao nhiêu phần trăm' thì tính $e^{k}-1$ .

Nghiệm của $\dfrac{dy}{dt}=ky$ là $y=Ae^{kt}$ , không phải $y=e^{kt}+C$ .

Tách biến và lấy nguyên hàm ta được $\ln|y|=kt+C$ . Lũy thừa hoá thì $C$ thành thừa số nhân. Thay $t=0$ ta có $A=y_0$ , còn viết $+C$ sẽ tính sai $y_0$ .

Exponential growth does not add a fixed amount each period.

A fixed amount per period is linear growth. In an exponential model, the constant quantity is the relative rate $\dfrac{1}{y}\cdot\dfrac{dy}{dt}=k$ , so the larger $y$ is, the faster it grows, and the graph curves upward.

In $y=y_0e^{kt}$ , $k$ is not the percent increase per unit of time.

With $k=0.05$ , the actual increase over one time unit is $e^{0.05}-1\approx 5.13\%$ , not $5\%$ . When a question asks for the percent increase, compute $e^{k}-1$ .

The solution of $\dfrac{dy}{dt}=ky$ is $y=Ae^{kt}$ , not $y=e^{kt}+C$ .

Separating variables and integrating gives $\ln|y|=kt+C$ , and exponentiating turns $C$ into a multiplicative factor. Substituting $t=0$ gives $A=y_0$ , whereas writing $+C$ yields the wrong value of $y_0$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết phương trình vi phân và điều kiện ban đầu thành dòng riêng trước khi giải.

Đề AP chấm theo bước, nên lập mô hình đúng vẫn được điểm dù phần tính phía sau sai.

Giữ $k$ ở dạng chính xác, đừng làm tròn sớm.

Ví dụ nếu $y$ gấp đôi sau $5$ giờ thì $k=\dfrac{\ln 2}{5}$ . Nếu phải làm tròn, giữ ít nhất ba chữ số thập phân, và ghi đơn vị trong đáp án.

Write the differential equation and the initial condition on separate lines before solving.

AP exams are scored step by step, so setting up the model correctly earns credit even if later calculations are wrong.

Keep $k$ in exact form and do not round early.

For example, if $y$ doubles in $5$ hours, then $k=\dfrac{\ln 2}{5}$ . If you must round, keep at least three decimal places, and include units in your answer.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

từ 1683 đến 1845Jacob BernoulliThomas MalthusPierre François Verhulst

Năm 1683 Jacob Bernoulli tìm ra hằng số e khi xét lãi kép; năm 1798 Thomas Malthus áp dụng vào dân số; năm 1845 Verhulst bổ sung mô hình có giới hạn.

In 1683, Jacob Bernoulli discovered the constant e while studying compound interest. In 1798, Thomas Malthus applied exponential growth to population, and in 1845 Verhulst added a model with a limit.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi xuất phát từ dạng toán học của quy luật. Đại lượng N tăng theo một công thức viết bằng hàm mũ (exponential function) $e^x$ , trong đó thời gian t nằm ở số mũ và $\lambda$ là hằng số tỉ lệ. Nếu hằng số này âm, đại lượng giảm dần theo thời gian và hiện tượng được gọi là phân rã mũ (exponential decay). Trong lịch sử, người ta còn dùng một tên cũ hơn cho mô hình dân số kiểu này là phương trình Malthus, theo tên người đã giả định dân số loài người tăng theo quy luật mũ. Khi thực tế cho thấy đà tăng đó bị tài nguyên chặn lại, Verhulst đưa ra mô hình tăng trưởng logistic (logistic growth) để mô tả sự chậm lại.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình mũ với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình hóa tình huống bằng phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình mũ với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình hóa tình huống bằng phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstsố enumber e

Dẫn tớiLeads tophương pháp tách biếnseparation of variables

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương trình vi phân logisticlogistic differential equation

Khác nhau ở đâuHow they differTăng trưởng mũ có tốc độ tỉ lệ với

y

và tăng mãi không giới hạn. Tăng trưởng logistic bị chặn bởi sức chứa môi trường

L

nên tiến dần về

L

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho dân số hoặc vi khuẩn phát triển trong môi trường có giới hạn mà học sinh vẫn dùng

y=Ce^{kt}

thay vì mô hình logistic

\dfrac{dy}{dt}=ky\left(1-\dfrac{y}{L}\right)

suy giảm mũexponential decay

Khác nhau ở đâuHow they differTăng trưởng mũ có hằng số

k>0

nên đại lượng tăng ngày càng nhanh. Suy giảm mũ có

k<0

nên đại lượng giảm dần về

0

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho sẵn thời gian nhân đôi hoặc chu kỳ bán rã, học sinh dễ nhầm dấu của

k

khi lập phương trình.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 18, 81.