AP Calculus BCAP Calculus AB

số enumber e

number eVietnamese: số e

Còn gọi:Also called: Euler's number

Số e (number e) là số vô tỉ xấp xỉ 2,71828, và là cơ số duy nhất để hàm mũ cơ số đó có đạo hàm bằng chính nó.The number e is an irrational constant approximately equal to 2.71828, and it is the only base for which the exponential function is its own derivative.

Trực giác: Gửi 1 đồng với lãi 100% một năm, lãi cộng dồn liên tục: tiền càng nhiều thì lãi sinh càng nhanh, cuối năm có khoảng 2,718 đồng.Intuition: Deposit 1 dollar at 100% annual interest, compounded continuously: the more money there is, the faster it earns interest, and by the end of the year you have about 2.718 dollars.

Công thức chínhKey formula

e=\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^m

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Số e là giới hạn của $\left(1+\frac{1}{m}\right)^m$ khi số nguyên dương $m$ tăng vô hạn, tức $m\to\infty$ . Cơ số $1+\frac1m$ tiến về $1$ , nhưng số mũ $m$ lại tăng vô hạn. Hai tác động giằng co nhau. Kết quả là một số nằm giữa $2$ và $3$ .

Về hình học, xét đồ thị $y=b^x$ với $b>0$ . Tiếp tuyến tại $(0,1)$ có hệ số góc nhỏ hơn $1$ khi $b=2$ và lớn hơn $1$ khi $b=3$ . Giá trị $b$ làm hệ số góc đúng bằng $1$ chính là $e$ . Do đó $(e^x)'=e^x$ . Logarit cơ số $e$ viết là $\ln x$ và có đạo hàm $\frac1x$ .

The number e is the limit of $\left(1+\frac{1}{m}\right)^m$ as the positive integer $m$ increases without bound, that is, as $m\to\infty$ . The base $1+\frac1m$ approaches $1$ , while the exponent $m$ grows without bound. These two effects pull in opposite directions, and the result is a number between $2$ and $3$ .

Geometrically, consider the graph of $y=b^x$ with $b>0$ . The tangent line at $(0,1)$ has a slope less than $1$ when $b=2$ and greater than $1$ when $b=3$ . The value of $b$ that makes the slope exactly $1$ is $e$ . Hence $(e^x)'=e^x$ . The logarithm with base $e$ is written $\ln x$ , and its derivative is $\frac1x$ .

Ký hiệuNotation

• $e\approx 2.71828$
• $e^x$ (cũng viết $\exp x$ )
• $\ln x=\log_e x$
• $\dfrac{d}{dx}\left(e^{kx}\right)=ke^{kx}$
• $y=Ce^{kt}$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

e=\htmlClass{fp-3}{\lim_{m\to\infty}\htmlClass{fp-2}{\left(\htmlClass{fp-1}{1+\htmlClass{fp-0}{\frac{1}{m}}}\right)^m}}

Dùng khi cần định nghĩa $e$ bằng giới hạn, hoặc nhận ra $e$ trong bài toán lãi kép liên tục và tăng trưởng liên tục.Use this when you need to define $e$ as a limit, or to recognize $e$ in problems involving continuously compounded interest and continuous growth.

Trong đóWhere

e

số e, xấp xỉ

2{,}718282

m

số nguyên dương (hay số thực dương) cho tiến ra vô hạn;

m

càng lớn thì biểu thức càng gần

e

\htmlClass{fp-2}{\lim_{h\to 0}\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{e^h-1}}{h}}}=\htmlClass{fp-3}{1}

Dùng khi cần giải thích $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ : tiếp tuyến của $y=e^x$ tại $(0,1)$ có hệ số góc bằng $1$ .Use this when you need to explain why $\frac{d}{dx}e^x=e^x$ : the tangent line to $y=e^x$ at $(0,1)$ has a slope of $1$ .

Trong đóWhere

h

độ tăng của biến

x

so với

0

, cho tiến về

0

e^h

giá trị của hàm mũ cơ số

e

tại

x=h

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Số e chỉ xấp xỉ 2,718, không bằng 2,718.

Vì e là số vô tỉ nên 2,718 chỉ là giá trị làm tròn. Khi cần đáp án chính xác, hãy giữ ký hiệu như $e^2$ hay $3e-1$ .

Dạng $1^\infty$ không tự động bằng 1.

Trong $\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac1m\right)^m$ , cơ số tiến về 1 nhưng số mũ tăng vô hạn. Hai tác động giằng co nhau và cho ra $e$ , không phải 1.

Đạo hàm của $e^x$ không tính bằng quy tắc luỹ thừa.

Quy tắc $(x^n)'=nx^{n-1}$ chỉ dùng khi số mũ là hằng số. Ở $e^x$ biến nằm ở số mũ, nên $(e^x)'=e^x$ , không phải $xe^{x-1}$ . Với $e^{2x}$ , đạo hàm là $2e^{2x}$ vì phải nhân thêm đạo hàm của $2x$ .

The number e is only approximately 2.718, not equal to it.

Because e is irrational, 2.718 is just a rounded value. When an exact answer is needed, leave it in symbolic form, such as $e^2$ or $3e-1$ .

The form $1^\infty$ does not automatically equal 1.

In $\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac1m\right)^m$ , the base approaches 1 but the exponent grows without bound. These two effects compete, and the limit is $e$ , not 1.

The derivative of $e^x$ is not found with the power rule.

The rule $(x^n)'=nx^{n-1}$ applies only when the exponent is a constant. In $e^x$ the variable is in the exponent, so $(e^x)'=e^x$ , not $xe^{x-1}$ . For $e^{2x}$ , the derivative is $2e^{2x}$ because the chain rule requires multiplying by the derivative of $2x$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Chỉ làm tròn ở bước cuối, lấy ba chữ số thập phân.

Giữ nguyên giá trị e trong máy suốt quá trình tính. Làm tròn $e$ thành $2{,}72$ từ đầu có thể làm lệch chữ số thứ ba. Ghi biểu thức chính xác như $e^2-1$ trước, rồi mới ghi giá trị xấp xỉ.

Nguyên hàm của $e^{kx}$ (với $k$ là hằng số khác $0$ ) cần thừa số $\frac1k$ và $+C$ .

Công thức: $\int e^{kx}\,dx=\frac1k e^{kx}+C$ . Lấy đạo hàm kết quả để kiểm tra: nếu không ra $e^{kx}$ thì còn thiếu $\frac1k$ . Thiếu $+C$ ở tích phân bất định sẽ bị trừ điểm.

Round only at the final step, to three decimal places.

Keep the full value of e in your calculator throughout. Rounding $e$ to $2.72$ at the start can change the third decimal place of the answer. Write the exact expression, such as $e^2-1$ , first, and then give the approximation.

The antiderivative of $e^{kx}$ (where $k$ is a nonzero constant) needs the factor $\frac1k$ and $+C$ .

The formula is $\int e^{kx}\,dx=\frac1k e^{kx}+C$ . Differentiate your result to check it: if you do not get $e^{kx}$ , the factor $\frac1k$ is missing. Omitting $+C$ on an indefinite integral costs points.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1683Jacob BernoulliGottfried Wilhelm LeibnizLeonhard EulerJohn Napier

Năm 1683, Jacob Bernoulli gặp số e khi nghiên cứu bài toán lãi kép liên tục.

In 1683, Jacob Bernoulli came across the number e while studying the problem of continuously compounded interest.

Vì sao mang đúng cái tên này? Ký hiệu e là do Euler đặt. Ông bắt đầu dùng chữ e từ khoảng năm 1727–1728 trong một bài chưa công bố về lực nổ của đại bác. Chữ e xuất hiện lần đầu trong một thư gửi Goldbach năm 1731, còn lần đầu in trên ấn phẩm là trong cuốn Mechanica (1736). Vì sao lại là chữ e? Giả thuyết cho rằng Euler lấy chữ cái đầu tên mình bị bác bỏ dứt khoát: người ta cho đó là điều vô lý. Giả thuyết lấy từ "exponential" (mũ) cũng nhiều khả năng không đúng. Cách giải thích hợp lý hơn là e chỉ đơn giản là nguyên âm kế tiếp sau chữ a, trong khi Euler đã dùng chữ a cho một đại lượng khác trong các công trình của mình. Nguồn tư liệu chỉ nói đây là điều có thể xảy ra, không có bằng chứng chắc chắn. Ngoài ra, số này còn mang hai tên gọi khác là số Euler (Euler's number) và hằng số Napier (Napier's constant). Tên đầu vinh danh Euler, người đặt ký hiệu và tìm ra nhiều tính chất của nó. Tên sau nhắc đến Napier, vì bảng logarit năm 1618 của ông là nơi các giá trị liên quan đến e xuất hiện sớm nhất. Tên gọi "số Euler" cũng dễ nhầm với những số khác cũng mang tên Euler.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình mũ với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình mũ với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạnlimit

Dẫn tớiLeads totăng trưởng mũexponential growth chuỗi MaclaurinMaclaurin series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

lôgarit tự nhiênnatural logarithm

Khác nhau ở đâuHow they differSố e là một hằng số xấp xỉ 2,718, dùng làm cơ số. Lôgarit tự nhiên

\ln x

là một hàm số, cho ra số mũ cần đặt lên e để được

x

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hay hỏi

\ln e

hoặc

e^{\ln 3}

: học sinh quên rằng

\ln e=1

vì e là cơ số, còn

e^{\ln 3}=3

do hai hàm triệt tiêu nhau.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 84–85, 92.