AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số lôgaritlogarithmic function

logarithmic functionVietnamese: hàm số lôgarit

Hàm số lôgarit (logarithmic function) cơ số b (b dương, khác 1) cho biết phải nâng b lên số mũ nào để được x, và là hàm ngược của hàm mũ cơ số b.The logarithmic function with base b (b > 0, b ≠ 1) gives the exponent to which b must be raised to produce x, and it is the inverse of the exponential function with base b.

Trực giác: Giống đếm số lần gập đôi một tờ giấy để độ dày tăng lên gấp nhiều lần: độ dày tăng vọt, còn số lần gập chỉ nhích từng bước.Intuition: Think of counting how many times you must fold a sheet of paper in half to make its thickness many times larger: the thickness skyrockets, while the number of folds creeps up one step at a time.

Công thức chínhKey formula

y=\log_b x \iff b^y=x

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số lôgarit cơ số $b$ ( $b>0$ , $b\neq 1$ ) là hàm $f(x)=\log_b x$ , cho biết phải nâng $b$ lên số mũ nào để được $x$ . Ví dụ $\log_2 8=3$ vì $2^3=8$ . Hàm chỉ xác định khi $x>0$ , vì mọi lũy thừa của $b$ đều dương. Giá trị của hàm có thể là mọi số thực.

Đồ thị đi qua $(1,0)$ và có tiệm cận đứng là trục tung. Đồ thị đối xứng với đồ thị $y=b^x$ qua đường thẳng $y=x$ . Hàm đồng biến khi $b>1$ , nghịch biến khi $0<b<1$ . Với $b=e\approx 2{,}718$ ta có $\ln x$ và $(\ln x)'=\frac1x$ . Với $b$ bất kì, $(\log_b x)'=\frac{1}{x\ln b}$ .

The logarithmic function with base $b$ ( $b>0$ , $b\neq 1$ ) is the function $f(x)=\log_b x$ , which gives the exponent to which $b$ must be raised to produce $x$ . For example, $\log_2 8=3$ because $2^3=8$ . The function is defined only for $x>0$ , since every power of $b$ is positive. Its range is all real numbers.

The graph passes through $(1,0)$ and has the y-axis as a vertical asymptote. It is the reflection of the graph of $y=b^x$ across the line $y=x$ . The function is increasing when $b>1$ and decreasing when $0<b<1$ . For $b=e\approx 2.718$ , we get $\ln x$ , and $(\ln x)'=\frac1x$ . For any base $b$ , $(\log_b x)'=\frac{1}{x\ln b}$ .

Ký hiệuNotation

• $\log_b x$ (lôgarit cơ số $b$ của $x$ )
• $\ln x=\log_e x$
• $\log x$ thường chỉ cơ số 10
• $\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$ với $x>0$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{y=\log_b x} \htmlClass{fp-1}{\iff} \htmlClass{fp-2}{b^y=x}

Dùng để tính lôgarit đơn giản, giải phương trình lôgarit hoặc phương trình mũ, và chuyển giữa hai dạng viết. Ví dụ $\log_2 8=3$ vì $2^3=8$ .Use it to evaluate simple logarithms, solve logarithmic or exponential equations, and convert between logarithmic and exponential form. For example, $\log_2 8=3$ because $2^3=8$ .

Trong đóWhere

b

cơ số của hàm số lôgarit, với

b>0

và

b\neq 1

x

đối số, bắt buộc dương vì

b^y>0

với mọi

y

y

giá trị của lôgarit, chính là số mũ cần nâng

b

lên để được

x

\log_b x = \htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{\ln x}}{\htmlClass{fp-1}{\ln b}}}

Dùng để tính $\log_b x$ trên máy tính chỉ có phím $\ln$ , và để vẽ đồ thị hoặc lấy đạo hàm lôgarit cơ số bất kì.Use it to compute $\log_b x$ on a calculator that has only an $\ln$ key, and to graph or differentiate logarithms with any base.

Trong đóWhere

b

cơ số của lôgarit cần tính, với

b>0

và

b\neq 1

(để

\ln b\neq 0

)

x

đối số, với

x>0

\ln

lôgarit tự nhiên, tức lôgarit cơ số

e

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Lôgarit của một tổng không bằng tổng các lôgarit.

Lôgarit chỉ biến tích thành tổng: $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ với $a,b>0$ . Chẳng hạn $\ln(1+1)=\ln 2$ , còn $\ln 1+\ln 1=0$ . Vậy $\ln(x^2+1)$ không tách được, phải giữ nguyên.

Phải thử lại nghiệm, vì đối số của lôgarit phải dương.

Giải $\ln(x-3)+\ln x=\ln 4$ ra $x=4$ hoặc $x=-1$ . Với $x=-1$ thì $\ln x$ vô nghĩa, nên phải loại. Lý do: $e^y>0$ với mọi $y$ , nên $\ln$ chỉ nhận số dương.

Đạo hàm của $\ln u$ là $\dfrac{u'}{u}$ , không phải $\dfrac1u$ , với $u$ là một hàm của $x$ .

Công thức $(\ln x)'=\dfrac1x$ chỉ đúng khi bên trong là chính $x$ . Với hàm hợp phải nhân thêm $u'$ . Chẳng hạn $\dfrac{d}{dx}\ln(x^2+1)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ .

The logarithm of a sum is not the sum of the logarithms.

A logarithm turns a product into a sum: $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ for $a,b>0$ . For example, $\ln(1+1)=\ln 2$ , but $\ln 1+\ln 1=0$ . So $\ln(x^2+1)$ cannot be split and must be left as is.

Solutions to logarithmic equations must be checked, because the argument of a logarithm must be positive.

Solving $\ln(x-3)+\ln x=\ln 4$ gives $x=4$ or $x=-1$ . For $x=-1$ , $\ln x$ is undefined, so that solution is extraneous and must be rejected. The reason is that $e^y>0$ for every $y$ , so $\ln$ accepts only positive inputs.

The derivative of $\ln u$ is $\dfrac{u'}{u}$ , not $\dfrac1u$ , when $u$ is a function of $x$ .

The formula $(\ln x)'=\dfrac1x$ holds only when the input is $x$ itself. For a composite function, you must multiply by $u'$ (the chain rule). For example, $\dfrac{d}{dx}\ln(x^2+1)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi mô tả đồ thị $y=\ln x$ , hãy nêu tiệm cận đứng $x=0$ và $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ .

Đồ thị chỉ nằm bên phải trục tung và đi qua $(1,0)$ . Gần $x=0$ ta chỉ tiến từ phía $x>0$ , nên viết $0^+$ . Tập xác định thì ghi $x>0$ .

Giữ đáp số ở dạng chính xác như $\ln 5$ , trừ khi đề yêu cầu số thập phân.

Chỉ làm tròn ở bước cuối, giữ ba chữ số thập phân, chẳng hạn $\ln 5\approx 1{,}609$ . Làm tròn sớm dễ làm kết quả cuối lệch.

When describing the graph of $y=\ln x$ , state the vertical asymptote $x=0$ and $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ .

The graph lies entirely to the right of the y-axis and passes through $(1,0)$ . Near $x=0$ you can approach only from the side where $x>0$ , so write $0^+$ . State the domain as $x>0$ .

Leave answers in exact form, such as $\ln 5$ , unless the problem asks for a decimal.

Round only at the final step, to three decimal places, for example $\ln 5\approx 1.609$ . Rounding early can throw off the final result.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1614John Napier

Năm 1614, John Napier công bố phương pháp lôgarit trong cuốn Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio để rút ngắn các phép tính dài trong thiên văn và hàng hải.

In 1614, John Napier published his method of logarithms in Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio to shorten long calculations in astronomy and navigation.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "lôgarit" do Napier đặt bằng tiếng Latinh hiện đại (logarithmus), ghép từ hai gốc Hy Lạp cổ: λόγος (lógos), nghĩa là tỉ số, và ἀριθμός (arithmós), nghĩa là số. Cái tên này nghe lạ, nhưng nó phản ánh đúng cách Napier xây dựng bảng. Ông đặt một cấp số nhân (geometric sequence), tức dãy có các tỉ số bằng nhau, cạnh một cấp số cộng (arithmetic sequence), tức dãy có các hiệu bằng nhau. Vì vậy lôgarit của một số cho biết có bao nhiêu "tỉ số" ngăn cách số đó với giá trị xuất phát. Nhờ cách nhìn này, phép nhân biến thành phép cộng. Cụm từ "lôgarit tự nhiên" (natural logarithm) ra đời muộn hơn. Pietro Mengoli được cho là người đầu tiên dùng tên này, và Mercator về sau lấy lại tên gọi đó cho các giá trị tính được từ một chuỗi vô hạn. Cả hai đều viết bằng tiếng Latinh là logarithmus naturalis, tức danh từ đứng trước tính từ. Có một giả thuyết, nêu trong một nhóm thảo luận, cho rằng chính trật tự từ này đã khiến người ta viết kí hiệu $\ln$ thay vì "nl". Đây chỉ là suy đoán chứ chưa phải sử liệu đã xác nhận.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo cơ số b — nhìn hai đồ thị đối xứng qua y = x

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm hàm ngượcĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm của sin x, cos x, e^x và ln xĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDifferentiating Inverse Functions (đạo hàm hàm ngược)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstsố mũexponent

Dẫn tớiLeads totăng trưởng mũexponential growth phương pháp tách biếnseparation of variables

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số ngượcinverse function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số lôgarit là một hàm cụ thể, ngược của hàm số mũ cùng cơ số. Hàm số ngược là khái niệm tổng quát áp dụng cho mọi hàm đơn ánh.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

f(x)=e^x

rồi hỏi

(f^{-1})'(a)

: học sinh quên rằng

f^{-1}(x)=\ln x

và tính nhầm thành

1/f'(a)

thay vì

1/f'(f^{-1}(a))

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 6, 17, 94.