AP Calculus BCAP Calculus AB

phương trình vi phân tách biếnseparable differential equation

separable differential equationVietnamese: phương trình vi phân tách biến

Phương trình vi phân tách biến (separable differential equation) là phương trình cấp một có thể đưa mỗi biến về một vế rồi lấy nguyên hàm hai vế.A separable differential equation is a first-order equation in which the variables can be moved to opposite sides so that each side can be integrated.

Trực giác: Như tách đồ giặt lẫn màu: phần có $x$ dồn về một vế, phần có $y$ dồn về vế kia, rồi mỗi vế tự lấy nguyên hàm.Intuition: It works like sorting mixed laundry: everything with $x$ goes to one side, everything with $y$ goes to the other, and then each side is integrated on its own.

Công thức chínhKey formula

\dfrac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phương trình vi phân tách biến là phương trình cấp một có dạng $\dfrac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)$ . Ở đây $f(x)$ chỉ chứa $x$ , còn $g(y)$ chỉ chứa $y$ .

Ví dụ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ có $f(x)=x$ và $g(y)=y$ . Khi $y\neq 0$ , ta chuyển $y$ sang một vế, $x$ sang vế kia: $\dfrac{dy}{y}=x\,dx$ . Sau đó lấy nguyên hàm hai vế. Bước chia cho $g(y)$ làm mất các nghiệm hằng $y=c$ với $g(c)=0$ , nên phải kiểm riêng. Ở ví dụ này, $y=0$ là nghiệm. Phương trình $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ không viết được thành tích nên không tách biến được.

A separable differential equation is a first-order equation of the form $\dfrac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)$ , where $f(x)$ contains only $x$ and $g(y)$ contains only $y$ .

For example, $\dfrac{dy}{dx}=xy$ has $f(x)=x$ and $g(y)=y$ . When $y\neq 0$ , move the $y$ -terms to one side and the $x$ -terms to the other: $\dfrac{dy}{y}=x\,dx$ . Then integrate both sides. Dividing by $g(y)$ loses any constant solutions $y=c$ with $g(c)=0$ , so check them separately. In this example, $y=0$ is a solution. The equation $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ cannot be written as a product, so it is not separable.

Ký hiệuNotation

• $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ là dạng tổng quát
•sau khi tách biến ta viết $\dfrac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$ rồi lấy tích phân hai vế.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\dfrac{dy}{dx}}=\htmlClass{fp-1}{f(x)}\,\htmlClass{fp-2}{g(y)}

Dùng để nhận biết: vế phải phải là tích của hàm chỉ theo $x$ và hàm chỉ theo $y$ . Nếu trộn kiểu $x+y$ thì không tách được.Use this form to recognize a separable equation: the right side must be a product of a function of $x$ alone and a function of $y$ alone. A mixed form such as $x+y$ cannot be separated.

Trong đóWhere

y

hàm cần tìm, phụ thuộc vào biến

x

x

biến độc lập

f(x)

hàm chỉ chứa biến

x

(có thể là hằng số)

g(y)

hàm chỉ chứa biến

y

(có thể là hằng số)

\htmlClass{fp-1}{\int \htmlClass{fp-0}{\dfrac{1}{g(y)}}\,dy}=\htmlClass{fp-3}{\int \htmlClass{fp-2}{f(x)}\,dx}

Dùng sau khi nhận ra phương trình tách được: lấy nguyên hàm hai vế, ghi $+C$ một lần, rồi kiểm tra riêng nghiệm hằng $g(c)=0$ .Use this once you recognize the equation as separable: integrate both sides, write $+C$ only once, and then check separately for constant solutions where $g(c)=0$ .

Trong đóWhere

g(y)

nhân tử theo

y

ở vế phải của phương trình ban đầu, giả sử khác

0

f(x)

nhân tử theo

x

ở vế phải của phương trình ban đầu

dy,\ dx

vi phân của

y

và của

x

, cho biết nguyên hàm lấy theo biến nào

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Không được tích phân theo $x$ khi vế phải còn chứa $y$ .

Với $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^2+1}{2y}$ , $y$ là hàm của $x$ nên không coi như hằng số được. Phải tách trước thành $2y\,dy=(3x^2+1)\,dx$ , rồi tích phân từng vế theo biến của nó.

Viết $+C$ ngay khi lấy nguyên hàm, trước khi lấy căn.

Ví dụ $y^2=x^3+x+C$ là đúng, còn $y=\sqrt{x^3+x}+C$ là sai. Thiếu $C$ thì điều kiện ban đầu không có chỗ để tìm hằng số. Đặt $C$ sau khi lấy căn thì biểu thức không còn là nghiệm.

Khi giải ra $y^2=\dots$ , điều kiện ban đầu quyết định dấu của nghiệm.

Lấy căn cho hai nhánh $\pm$ , nhưng chỉ một nhánh thoả bài toán. Ví dụ giá trị ban đầu dương thì chọn dấu dương, và đáp án cuối không giữ $\pm$ .

You cannot integrate with respect to $x$ while $y$ remains on the right side.

In $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^2+1}{2y}$ , $y$ is a function of $x$ , so it cannot be treated as a constant. First separate to get $2y\,dy=(3x^2+1)\,dx$ , then integrate each side with respect to its own variable.

Write $+C$ as soon as you integrate, before taking a square root.

For example, $y^2=x^3+x+C$ is correct, but $y=\sqrt{x^3+x}+C$ is wrong. Without $C$ in place, the initial condition has nothing to determine, and adding $C$ after the root gives an expression that is no longer a solution.

When you solve to $y^2=\dots$ , the initial condition determines the sign of the solution.

Taking the square root gives two $\pm$ branches, but only one satisfies the problem. For example, a positive initial value means choosing the positive sign, and the final answer does not keep the $\pm$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trong bài tự luận, viết riêng một dòng tách biến, như $2y\,dy=(3x^2+1)\,dx$ , rồi mới đặt dấu tích phân.

Bước tách biến có thể được chấm điểm riêng. Đừng nhẩm rồi nhảy thẳng sang $y^2=x^3+x+C$ .

Thay điều kiện ban đầu ngay sau khi có $C$ , trước khi giải $y$ theo $x$ .

Số liệu còn gọn, ít sai đại số hơn so với giải $y$ rồi mới tìm $C$ . Cuối cùng viết nghiệm riêng dưới dạng hàm đề hỏi, như $f(x)=\dots$ , không dừng ở $y^2=\dots$ .

On free-response questions, write the separation step on its own line, such as $2y\,dy=(3x^2+1)\,dx$ , before adding the integral signs.

The separation step may earn its own point. Do not do it in your head and jump straight to $y^2=x^3+x+C$ .

Substitute the initial condition right after you obtain $C$ , before solving for $y$ in terms of $x$ .

The numbers are still simple, so you are less likely to make algebra errors than if you solve for $y$ first and then find $C$ . Finally, write the particular solution in the form the question asks for, such as $f(x)=\dots$ , rather than stopping at $y^2=\dots$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình mũ với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình mũ với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstphương trình vi phândifferential equation nguyên hàmantiderivative

Dẫn tớiLeads tobài toán giá trị ban đầuinitial value problem tăng trưởng mũexponential growth

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương trình vi phân logisticlogistic differential equation

Khác nhau ở đâuHow they differPhương trình tách biến là lớp tổng quát, có dạng

\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)

. Phương trình logistic chỉ là một trường hợp riêng, trong đó vế phải có dạng

ky(1-y/L)

Hay nhầm khiMixed up whenĐề logistic yêu cầu giải tường minh thì phải tách biến rồi dùng phân tích thành phân thức đơn giản; còn câu hỏi về giới hạn của

y

hoặc lúc

y

tăng nhanh nhất thì chỉ cần đọc từ phương trình, không cần giải.

nghiệm riêngparticular solution

Khác nhau ở đâuHow they differPhương trình tách biến là bài toán cần giải. Nghiệm riêng là một hàm cụ thể thu được sau khi dùng điều kiện đầu để xác định hằng số

C

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho phương trình kèm điều kiện đầu mà thí sinh dừng ở nghiệm tổng quát chứa

C

thì chưa trả lời đúng yêu cầu tìm nghiệm riêng.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 636, 643, 665.