AP Calculus BCAP Calculus AB

nghiệm riêngparticular solution

particular solutionVietnamese: nghiệm riêng

Nghiệm riêng (particular solution) là một hàm cụ thể trong họ nghiệm tổng quát của phương trình vi phân, thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho.A particular solution is a specific function from the general solution family of a differential equation that satisfies a given initial condition.

Trực giác: Nghiệm tổng quát là cả bó đường cong phủ kín bản đồ. Điều kiện ban đầu là điểm xuất phát, nên chỉ chọn ra đường đi qua điểm đó.Intuition: The general solution is a whole family of curves covering the plane. The initial condition is a starting point, so it picks out only the curve that passes through that point.

Công thức chínhKey formula

y_p(x)=F(x)+\left(y_0-F(x_0)\right)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Nghiệm riêng là một hàm cụ thể, không còn hằng số tùy ý $C$ . Ta có nó khi dùng điều kiện ban đầu để tìm $C$ trong nghiệm tổng quát.

Ví dụ: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ có nghiệm tổng quát $y=x^2+C$ . Với $y(0)=1$ thì $C=1$ , nên nghiệm riêng là $y=x^2+1$ . Phương trình bậc một có một hằng số nên cần một điều kiện. Bậc hai có hai hằng số nên cần hai điều kiện, chẳng hạn $y(0)$ và $y'(0)$ . Khi $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ và $y(x_0)=y_0$ , gọi $F$ là một nguyên hàm của $f$ : dùng công thức bên dưới.

A particular solution is a specific function with no arbitrary constant $C$ remaining. You obtain it by using an initial condition to determine $C$ in the general solution.

Example: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ has general solution $y=x^2+C$ . With $y(0)=1$ , we get $C=1$ , so the particular solution is $y=x^2+1$ . A first-order equation has one constant, so it needs one condition. A second-order equation has two constants, so it needs two conditions, such as $y(0)$ and $y'(0)$ . When $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ and $y(x_0)=y_0$ , let $F$ be an antiderivative of $f$ and use the formula below.

Ký hiệuNotation

•Điều kiện ban đầu thường viết $y(x_0)=y_0$ , ví dụ $y(0)=-2$
•hằng số tùy ý là $C$
•nghiệm riêng là hàm $y=f(x)$ không còn chứa $C$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

y_p(x)=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-0}{F(x)}+\htmlClass{fp-2}{\left(y_0-\htmlClass{fp-1}{F(x_0)}\right)}}

Dùng khi $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ kèm điều kiện $y(x_0)=y_0$ : lấy nguyên hàm $F$ , rồi tìm $C=y_0-F(x_0)$ .Use this when $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ comes with the condition $y(x_0)=y_0$ : take an antiderivative $F$ , then find $C=y_0-F(x_0)$ .

Trong đóWhere

y_p(x)

nghiệm riêng, tức hàm duy nhất trong họ nghiệm thỏa điều kiện đầu

F(x)

một nguyên hàm bất kỳ của vế phải phương trình vi phân

x_0

giá trị của

x

tại đó đề cho điều kiện đầu

y_0

giá trị của

y

tại

x_0

, tức

y(x_0)=y_0

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Nghiệm riêng không còn hằng số $C$ .

Nghiệm tổng quát chứa $C$ và là cả họ đường cong. Nếu đáp án còn $C$ thì bài chưa xong. Ví dụ: $\dfrac{dy}{dx}=3x^2y$ cho $y=Ce^{x^3}$ ; với $y(0)=6$ thì $y=6e^{x^3}$ .

Hãy tìm nghiệm tổng quát có $C$ trước, rồi mới thay điều kiện ban đầu.

Thay điểm đã cho vào phương trình vi phân chỉ cho độ dốc tại điểm đó. Cách này không tìm được $C$ .

Nghiệm riêng không được còn dấu $\pm$ .

Nghiệm riêng là một hàm duy nhất, nên điều kiện ban đầu phải chọn một dấu. Ví dụ $y=\pm\sqrt{x+C}$ với $y(0)=2$ : $\pm\sqrt{C}=2$ , nên lấy dấu cộng và $C=4$ .

A particular solution contains no constant $C$ .

The general solution contains $C$ and represents a whole family of curves, so an answer that still has $C$ is unfinished. For example, $\dfrac{dy}{dx}=3x^2y$ gives $y=Ce^{x^3}$ ; with $y(0)=6$ , the particular solution is $y=6e^{x^3}$ .

Find the general solution with $C$ first, then apply the initial condition.

Substituting the given point into the differential equation only gives the slope at that point, so it cannot determine $C$ .

A particular solution cannot keep a $\pm$ sign.

A particular solution is a single function, so the initial condition must select one sign. For example, for $y=\pm\sqrt{x+C}$ with $y(0)=2$ , we have $\pm\sqrt{C}=2$ , so we take the plus sign and $C=4$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết rõ bước tìm $C$ và ghi đáp án dạng $y=f(x)$ .

Điểm tự luận chia theo bước. Quên $C$ ngay sau khi lấy nguyên hàm là mất điểm các bước sau. Đáp án như $e^y=\dots$ chưa đủ; lấy $\ln$ hai vế để giải ra $y$ .

Ghi miền xác định khi nghiệm có căn, logarit hoặc mẫu số.

Nghiệm riêng chỉ có nghĩa trên khoảng chứa giá trị ban đầu. Ví dụ $y=\ln(x-1)$ với $y(2)=0$ chỉ xét $x>1$ . Kiểm tra điểm cần tính nằm trong khoảng đó trước khi bấm máy.

Show the step where you solve for $C$ , and write the final answer in the form $y=f(x)$ .

Free-response points are awarded by step, and forgetting $C$ right after integrating costs you credit on every later step. An answer like $e^y=\dots$ is not complete; take $\ln$ of both sides and solve for $y$ .

State the domain when the solution involves a root, a logarithm, or a denominator.

A particular solution is valid only on the interval containing the initial value. For example, $y=\ln(x-1)$ with $y(2)=0$ applies only for $x>1$ . Check that the point you are evaluating lies in that interval before using your calculator.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

khoảng 1895–1900 (thời điểm thuật ngữ tiếng Anh được ghi nhận lần đầu)

Nghiệm riêng thuộc phép tính vi tích phân, do Newton và Leibniz phát triển đầy đủ cuối thế kỷ 17; thuật ngữ tiếng Anh được ghi nhận lần đầu khoảng 1895–1900.

Particular solutions belong to calculus, which Newton and Leibniz fully developed in the late 17th century; the English term is first recorded around 1895–1900.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi "riêng" nói lên đúng bản chất của khái niệm. Nghiệm riêng là một hàm cụ thể thỏa mãn phương trình, không còn chứa hằng số tùy ý, nên đứng đối lập với nghiệm tổng quát, vốn đại diện cho cả một họ hàm. Nó được chọn ra từ họ ấy nhờ các điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên cho trước. Các nguồn đã đọc không ghi lại ai đặt tên này và cũng không giải thích gốc từ ngôn ngữ của nó, nên phần này chỉ dựa trên cách các nguồn định nghĩa thuật ngữ.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo điểm đầu — mỗi vị trí chọn ra một nghiệm riêng của cùng phương trình

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm tổng quát bằng phương pháp tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNguyên hàm & tích phân bất định: quy tắc cơ bản và ký hiệuTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstnghiệm tổng quátgeneral solution

Dẫn tớiLeads tobài toán giá trị ban đầuinitial value problem phương pháp tách biếnseparation of variables

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

nghiệm tổng quátgeneral solution

Khác nhau ở đâuHow they differNghiệm tổng quát là cả họ hàm số còn chứa hằng số tuỳ ý

C

. Nghiệm riêng là một hàm số duy nhất, đã thay

C

nhờ điều kiện đầu.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho điều kiện đầu như

f(0)=3

mà thí sinh vẫn để lại

+C

trong đáp án, trong khi đề yêu cầu nghiệm riêng nên phải tìm ra giá trị cụ thể của

C

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 385, 1187, 1194.