AP Calculus BCAP Calculus AB

nghiệm của phương trình vi phânsolution to a differential equation

solution to a differential equationVietnamese: nghiệm của phương trình vi phân

Còn gọi:Also called: solution curve

Nghiệm của phương trình vi phân (solution to a differential equation) là hàm số cùng đạo hàm thay vào phương trình thì hai vế bằng nhau trên khoảng.A solution to a differential equation is a function that, together with its derivatives, makes both sides of the equation equal on an interval when substituted in.

Trực giác: Phương trình vi phân cho biết hướng đi tại mỗi điểm. Nghiệm là con đường đi đúng theo các hướng ấy từ điểm xuất phát.Intuition: A differential equation gives the direction of travel at each point. A solution is a path that follows those directions from a starting point.

Công thức chínhKey formula

f'(x)=g\bigl(x,\,f(x)\bigr),\quad \forall x\in I

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Nghiệm của phương trình vi phân (solution to a differential equation) là một hàm số. Xét phương trình $\dfrac{dy}{dx}=g(x,y)$ , với $g(x,y)$ là biểu thức cho trước. Hàm $y=f(x)$ xác định trên khoảng $I$ là nghiệm nếu $f'(x)=g\bigl(x,f(x)\bigr)$ với mọi $x$ thuộc $I$ . Nếu đề cho điều kiện ban đầu $y(x_0)=y_0$ thì cần thêm $f(x_0)=y_0$ , với $x_0$ thuộc $I$ .

Ví dụ: với $\dfrac{dy}{dx}=2x$ , hàm $y=x^2+C$ có $y'=2x$ với mọi số $C$ . Đó là họ nghiệm (nghiệm tổng quát). Điều kiện $y(0)=1$ cho $C=1$ , nên ra nghiệm riêng $y=x^2+1$ .

A solution to a differential equation is a function. Consider the equation $\dfrac{dy}{dx}=g(x,y)$ , where $g(x,y)$ is a given expression. A function $y=f(x)$ defined on an interval $I$ is a solution if $f'(x)=g\bigl(x,f(x)\bigr)$ for every $x$ in $I$ . If an initial condition $y(x_0)=y_0$ is given, the function must also satisfy $f(x_0)=y_0$ , where $x_0$ is in $I$ .

Example: for $\dfrac{dy}{dx}=2x$ , the function $y=x^2+C$ has $y'=2x$ for every constant $C$ . This is a family of solutions (the general solution). The condition $y(0)=1$ gives $C=1$ , so the particular solution is $y=x^2+1$ .

Ký hiệuNotation

\dfrac{dy}{dx}=g(x,y)

y=f(x)

, điều kiện ban đầu

y(x_0)=y_0

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f'(x)}=\htmlClass{fp-1}{g\bigl(x,\,f(x)\bigr)}},\quad \htmlClass{fp-3}{\forall x\in I}

Dùng khi kiểm tra hàm $y=f(x)$ có là nghiệm của $\dfrac{dy}{dx}=g(x,y)$ : tính $f'(x)$ , thay vào vế phải, so sánh.Use this to check whether a function $y=f(x)$ is a solution of $\dfrac{dy}{dx}=g(x,y)$ : compute $f'(x)$ , substitute into the right side, and compare.

Trong đóWhere

f(x)

hàm được thử xem có là nghiệm hay không

f'(x)

đạo hàm của

f

theo

x

g(x,y)

biểu thức ở vế phải của phương trình vi phân, cho biết độ dốc tại điểm

(x,y)

I

khoảng mà trên đó

f

xác định và khả vi

\htmlClass{fp-0}{\dfrac{dy}{dx}=g(x,y)},\quad \htmlClass{fp-1}{y(x_0)=y_0}

Dùng cho bài toán giá trị ban đầu: tìm hàm vừa thỏa phương trình vừa đi qua điểm $(x_0,y_0)$ .Use this for an initial value problem: find the function that both satisfies the equation and passes through the point $(x_0,y_0)$ .

Trong đóWhere

\dfrac{dy}{dx}

tốc độ biến thiên của

y

theo

x

x_0,\ y_0

tọa độ điểm ban đầu mà đường nghiệm phải đi qua

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số, không phải một con số.

Phương trình như $x^2=4$ tìm số. Phương trình $\dfrac{dy}{dx}=2y$ tìm hàm, chẳng hạn $y=e^{2x}$ . Hàm hằng $y=3$ không thỏa vì $y'=0\ne 6$ .

Một phương trình vi phân có thể có cả họ nghiệm, không chỉ một nghiệm.

Họ nghiệm chứa hằng số $C$ tùy ý, mỗi giá trị của $C$ cho một nghiệm. Chỉ điều kiện ban đầu mới chọn ra nghiệm riêng.

A solution to a differential equation is a function, not a number.

An equation like $x^2=4$ asks for numbers, while $\dfrac{dy}{dx}=2y$ asks for a function, such as $y=e^{2x}$ . The constant function $y=3$ fails because $y'=0\ne 6$ .

A differential equation can have a whole family of solutions, not just one.

The family contains an arbitrary constant $C$ , and each value of $C$ gives a different solution. Only an initial condition picks out a particular solution.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi giải bằng tách biến, thêm $+C$ ngay sau khi lấy nguyên hàm.

Quên $+C$ thường làm mất điểm cả phần còn lại của câu FRQ. Thay điểm cho trước để tìm $C$ , rồi mới giải ra $y$ và kết luận dạng $y=f(x)$ .

Để kiểm tra một hàm là nghiệm, thay cả $y$ lẫn $y'$ vào phương trình.

Hai vế phải bằng nhau với mọi $x$ . Chỉ khớp tại điều kiện ban đầu thì chưa đủ. Nếu có điều kiện ban đầu, kiểm tra thêm hàm đi qua điểm đã cho.

When solving by separation of variables, add $+C$ immediately after integrating.

Forgetting $+C$ usually costs the rest of the points on an FRQ. Use the given point to find $C$ , then solve for $y$ and state the answer in the form $y=f(x)$ .

To check that a function is a solution, substitute both $y$ and $y'$ into the equation.

The two sides must be equal for all $x$ , and matching only at the initial condition is not enough. If an initial condition is given, also verify that the function passes through the given point.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1671Isaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz cần tìm hàm chưa biết từ quan hệ với đạo hàm của nó; năm 1671 Newton liệt kê ba dạng như vậy.

In the late 17th century, Newton and Leibniz needed to find an unknown function from a relationship involving its derivative; in 1671 Newton listed three such types.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "phương trình vi phân" (differential equation) là cách gọi của Leibniz. Cách gọi này gắn với khái niệm vi phân (differential) mà ông đưa ra trong những ghi chép chưa công bố, khoảng năm 1675. Newton thì dùng hệ thuật ngữ riêng của mình, gọi các đối tượng này theo "fluxions". Trong các ví dụ của Newton, "nghiệm" là hàm y chưa biết mà ta cần tìm sao cho phương trình đúng. Các nguồn đã đọc không giải thích riêng vì sao dùng đúng chữ "nghiệm" cho khái niệm này.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo điểm đầu trong trường độ dốc — nghiệm luôn tiếp xúc các gạch

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKiểm chứng nghiệm của phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termSuy luận với trường hệ số gócPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKiểm chứng nghiệm của phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termSuy luận với trường hệ số gócPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads tophương pháp tách biếnseparation of variables

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

nghiệm riêngparticular solution

Khác nhau ở đâuHow they differNghiệm tổng quát là cả họ hàm chứa hằng số

C

tuỳ ý. Nghiệm riêng là một hàm cụ thể, có

C

đã được xác định bởi điều kiện đầu.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho điều kiện đầu như

y(0)=3

mà thí sinh vẫn để lại

C

trong đáp án, trong khi đề yêu cầu nghiệm riêng.

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic