AP Calculus BC

sức chứa môi trườngcarrying capacity

carrying capacityVietnamese: sức chứa môi trường

Sức chứa môi trường (carrying capacity) là số cá thể lớn nhất mà môi trường nuôi được lâu dài, và là mức quần thể logistic tiến dần về.Carrying capacity is the largest number of individuals an environment can sustain over the long term, and the value a logistic population approaches over time.

Trực giác: Giống như một hồ cá chỉ đủ oxy và thức ăn cho khoảng 1000 con, cá thả thêm vào thì đông lên nhanh lúc đầu rồi chững lại quanh con số ấy.Intuition: Picture a fish pond with only enough oxygen and food for about 1000 fish. As you add fish, the population rises quickly at first and then levels off near that number.

Công thức chínhKey formula

\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{M}\right)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Sức chứa môi trường (carrying capacity), kí hiệu $M$ hoặc $K$ , là số cá thể nhiều nhất mà môi trường nuôi được lâu dài. Thức ăn, nơi ở và các nguồn lực khác giới hạn con số này.

Gọi $P$ là số cá thể tại thời điểm $t$ , và $k>0$ là hằng số tốc độ. Mô hình logistic là $\dfrac{dP}{dt}=kP\left(1-\dfrac{P}{M}\right)$ . Nếu $0<P<M$ thì $\dfrac{dP}{dt}>0$ : quần thể tăng. Nếu $P>M$ thì $\dfrac{dP}{dt}<0$ : quần thể giảm. Nếu $P=M$ thì $\dfrac{dP}{dt}=0$ . Vì vậy, với $P(0)>0$ , ta có $\lim_{t\to\infty}P(t)=M$ . Nghiệm là $P(t)=\dfrac{M}{1+Ae^{-kt}}$ , với $A=\dfrac{M-P(0)}{P(0)}$ .

Carrying capacity, denoted $M$ or $K$ , is the maximum number of individuals that an environment can sustain over the long term. Food, shelter, and other resources limit this number.

Let $P$ be the population at time $t$ , and let $k>0$ be a rate constant. The logistic model is $\dfrac{dP}{dt}=kP\left(1-\dfrac{P}{M}\right)$ . If $0<P<M$ , then $\dfrac{dP}{dt}>0$ , so the population grows. If $P>M$ , then $\dfrac{dP}{dt}<0$ , so the population declines. If $P=M$ , then $\dfrac{dP}{dt}=0$ . Therefore, for $P(0)>0$ , $\lim_{t\to\infty}P(t)=M$ . The solution is $P(t)=\dfrac{M}{1+Ae^{-kt}}$ , where $A=\dfrac{M-P(0)}{P(0)}$ .

Ký hiệuNotation

• $M$ hoặc $K$ : sức chứa
• $P(t)$ : quy mô quần thể
• $\lim_{t\to\infty}P(t)=M$
•nghiệm cân bằng $P=M$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\frac{dP}{dt}}=\htmlClass{fp-0}{kP}\htmlClass{fp-1}{\left(1-\frac{P}{M}\right)}

Dùng khi quần thể lúc đầu tăng gần như theo hàm mũ rồi chững lại; mọi nghiệm có $P(0)>0$ tiến về sức chứa $M$ .Use this when a population grows almost exponentially at first and then levels off; every solution with $P(0)>0$ approaches the carrying capacity $M$ .

Trong đóWhere

P

kích thước quần thể tại thời điểm

t

t

thời gian

k

hằng số dương, quyết định mức độ nhanh của tăng trưởng ban đầu

M

sức chứa môi trường, tức quần thể lớn nhất mà môi trường duy trì được lâu dài

P(t)=\htmlClass{fp-2}{\frac{M}{\htmlClass{fp-1}{1+\htmlClass{fp-0}{Ae^{-kt}}}}}

Dùng để tính quần thể tại thời điểm bất kì hoặc chứng minh $P\to M$ khi $t\to\infty$ ; $A=\dfrac{M-P_0}{P_0}$ xác định từ quần thể ban đầu.Use this to find the population at any time or to show that $P\to M$ as $t\to\infty$ ; $A=\dfrac{M-P_0}{P_0}$ is determined by the initial population.

Trong đóWhere

P(t)

kích thước quần thể tại thời điểm

t

M

sức chứa môi trường

A

hằng số, bằng

\dfrac{M-P_0}{P_0}

P_0

quần thể ban đầu,

P_0=P(0)

k

hằng số dương của tốc độ tăng trưởng

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Sức chứa là quy mô quần thể, không phải giá trị của $\dfrac{dP}{dt}$ .

Sức chứa tính bằng số cá thể, còn $\dfrac{dP}{dt}$ là số cá thể trên một đơn vị thời gian. Khi $P$ gần $M$ , $\dfrac{dP}{dt}$ gần $0$ .

Đồ thị logistic không cắt đường $P=M$ .

Nếu $P(0)<M$ , đồ thị đi lên và tiến sát $M$ từ bên dưới. Nếu $P(0)>M$ thì $\dfrac{dP}{dt}<0$ , đồ thị đi xuống về $M$ từ bên trên. Đừng quên trường hợp này khi xét dấu.

Mô hình tăng mũ $\dfrac{dP}{dt}=kP$ không có sức chứa.

Với $k>0$ , quần thể tăng mãi không dừng. Muốn có sức chứa, cần thêm thừa số $\left(1-\dfrac{P}{M}\right)$ để tốc độ chậm dần khi $P$ gần $M$ .

Carrying capacity is a population size, not a value of $\dfrac{dP}{dt}$ .

It is measured in individuals, whereas $\dfrac{dP}{dt}$ is measured in individuals per unit of time. As $P$ approaches $M$ , $\dfrac{dP}{dt}$ approaches $0$ .

A logistic solution curve never crosses the line $P=M$ .

If $P(0)<M$ , the curve rises and approaches $M$ from below. If $P(0)>M$ , then $\dfrac{dP}{dt}<0$ , so the curve falls toward $M$ from above. Keep this case in mind when you check signs.

The exponential growth model $\dfrac{dP}{dt}=kP$ has no carrying capacity.

For $k>0$ , the population grows without bound. To build in a carrying capacity, you need the factor $\left(1-\dfrac{P}{M}\right)$ , which slows growth as $P$ nears $M$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Đề nói tốc độ tỉ lệ với cả $P$ lẫn $L-P$ ( $L$ là sức chứa) thì viết $\dfrac{dP}{dt}=kP(L-P)$ .

Thử $P=0$ và $P=L$ : vế phải đều phải bằng $0$ . Thử $0<P<L$ : vế phải phải dương (với $k>0$ ). Ba phép thử này loại ngay đáp án sai dấu hoặc thiếu thừa số $P$ .

Khi tìm giới hạn quần thể, viết $\lim_{t\to\infty}P(t)=L$ kèm lý do.

Nêu căn cứ: $\dfrac{dP}{dt}=0$ khi $P=L$ , và $P$ tiến về $L$ từ hai phía. Chỉ ghi đáp số mà không lập luận thì dễ mất điểm.

If a problem says the growth rate is proportional to both $P$ and $L-P$ ( $L$ is the carrying capacity), write $\dfrac{dP}{dt}=kP(L-P)$ .

Test $P=0$ and $P=L$ : the right side must equal $0$ in both cases. Then test $0<P<L$ : the right side must be positive (for $k>0$ ). These three checks quickly eliminate answers with the wrong sign or a missing factor of $P$ .

When finding a population's limiting value, write $\lim_{t\to\infty}P(t)=L$ and justify it.

Cite the reasoning: $\dfrac{dP}{dt}=0$ when $P=L$ , and $P$ approaches $L$ from both sides. Giving only the answer without this reasoning can cost you points.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1838Pierre François Verhulst

Năm 1838, Pierre François Verhulst công bố phương trình tăng trưởng dân số có một hằng số giới hạn là sức chứa môi trường, dù chưa dùng cụm 'carrying capacity'.

In 1838, Pierre François Verhulst published a population growth equation with a limiting constant, which is the carrying capacity, although he did not use the phrase "carrying capacity."

Vì sao mang đúng cái tên này? Cụm từ "carrying capacity" không xuất phát từ sinh thái học. Theo một bài tổng quan về lịch sử khái niệm, thuật ngữ này ra đời vào khoảng thập niên 1840 trong các lĩnh vực kỹ thuật và cơ học, thuộc ngành vật lý. Vì vậy, nghĩa gốc của nó gắn với khả năng mang, chịu tải của một vật. Về sau, cụm từ này mới được dùng để chỉ giới hạn mà môi trường có thể nuôi dưỡng được đối với một quần thể. Còn kí hiệu $K$ trong phương trình thì có nguồn gốc khác. Chữ cái này lấy từ tiếng Đức Kapazitätsgrenze, nghĩa là "giới hạn sức chứa". Do đó, khi đề AP viết $K$ cho mô hình logistic (logistic model), chữ cái ấy không phải ngẫu nhiên: nó là dấu vết còn lại của cách Verhulst gọi mức trần của quần thể.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo điểm đầu quanh P = 2400 — mọi đường nghiệm dẹt dần về một mức

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình logistic với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình hóa tình huống bằng phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termSuy luận với trường hệ số gócPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstphương trình vi phândifferential equation tăng trưởng mũexponential growth

Dẫn tớiLeads tophương trình vi phân logisticlogistic differential equation

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tăng trưởng mũexponential growth

Khác nhau ở đâuHow they differTăng trưởng mũ có tốc độ tỉ lệ với

P

nên dân số tăng vô hạn. Mô hình có sức chứa làm tốc độ về 0 khi

P

tiến tới

L

nên dân số bị giới hạn.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

\dfrac{dP}{dt}=kP

thì không có sức chứa; chỉ khi có thừa số

(1-P/L)

mới có giới hạn

L

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 102, 345, 645.