AP Calculus BC

độ dài bướcstep size

step sizeVietnamese: độ dài bước

Độ dài bước (step size) là khoảng cách ngang giữa hai giá trị x liên tiếp trong phương pháp Euler, cho biết ta đi dọc tiếp tuyến bao xa mỗi bước.Step size is the horizontal distance between consecutive x-values in Euler's method; it sets how far you move along the tangent line in each step.

Trực giác: Như đi trên đường cong trong sương mù, mỗi sải bạn đi thẳng theo hướng nhìn lúc đầu sải. Sải ngắn thì chỉnh hướng nhiều lần nên ít lệch.Intuition: Imagine walking along a curved path in thick fog: with each stride, you head straight in the direction you faced at the start of that stride. With short strides, you correct your direction more often and drift off the path less.

Công thức chínhKey formula

y_n=y_{n-1}+hF(x_{n-1},y_{n-1})

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Độ dài bước $h$ là lượng ta cộng vào $x$ sau mỗi bước của phương pháp Euler. Bài toán có dạng $y'=F(x,y)$ , $y(x_0)=y_0$ , với $F(x,y)$ là vế phải của phương trình. Ta đi từ $x_0$ đến $x=b$ trong $N$ bước, nên $h=\dfrac{b-x_0}{N}$ . Sau bước thứ $n$ , ta được điểm $(x_n;y_n)$ .

Ví dụ: với $y'=x+y$ , $y(0)=1$ và $h=0{,}1$ , sau bước đầu ta có $x_1=0{,}1$ và $y_1=1+0{,}1\cdot(0+1)=1{,}1$ . Mỗi bước chỉ dùng hệ số góc tại đầu bước. Vì vậy $h$ càng nhỏ thì xấp xỉ thường càng sát nghiệm thật, nhưng phải tính nhiều bước hơn.

Step size $h$ is the amount added to $x$ at each step of Euler's method. The problem has the form $y'=F(x,y)$ , $y(x_0)=y_0$ , where $F(x,y)$ is the right-hand side of the differential equation. To go from $x_0$ to $x=b$ in $N$ steps, use $h=\dfrac{b-x_0}{N}$ . After step $n$ , you arrive at the point $(x_n;y_n)$ .

Example: for $y'=x+y$ , $y(0)=1$ , and $h=0.1$ , the first step gives $x_1=0.1$ and $y_1=1+0.1\cdot(0+1)=1.1$ . Each step uses only the slope at the start of the step, so a smaller $h$ usually gives an approximation closer to the true solution, but it requires more steps.

Ký hiệuNotation

• $h$ là độ dài bước
• $x_{n+1}=x_n+h$
• $y_{n+1}=y_n+h\,F(x_n,y_n)$
•khi chia $[a,b]$ thành $N$ bước đều nhau thì $h=\dfrac{b-a}{N}$ .

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

y_n=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-2}{y_{n-1}}+\htmlClass{fp-1}{h\htmlClass{fp-0}{F(x_{n-1},y_{n-1})}}}

Dùng để tính $y$ mới: lấy hệ số góc tại điểm trước, nhân với độ dài bước $h$ , rồi cộng vào $y$ cũ.Use this to find the new $y$ : take the slope at the previous point, multiply it by the step size $h$ , and add the result to the old $y$ .

Trong đóWhere

h

độ dài bước, tức khoảng cách ngang giữa hai giá trị

x

liên tiếp

F(x,y)

vế phải của phương trình vi phân

y'=F(x,y)

, cho độ dốc tại điểm

(x,y)

(x_{n-1},y_{n-1})

điểm đã tính ở bước trước

y_n

ước lượng của

y(x_n)

ở bước hiện tại

x_n=x_{n-1}+h

Dùng để tính hoành độ mới sau mỗi bước; các điểm cách đều nhau và $x_n=x_0+nh$ .Use this to find the new x-coordinate after each step; the points are evenly spaced, and $x_n=x_0+nh$ .

Trong đóWhere

x_n

hoành độ ở bước thứ

n

h

độ dài bước

h=\dfrac{b-x_0}{N}

Dùng khi cần ước lượng $y(b)$ bằng $N$ bước đều: $h$ bằng khoảng cần đi chia cho số bước.Use this when you want to estimate $y(b)$ with $N$ equal steps: $h$ is the total distance to cover divided by the number of steps.

Trong đóWhere

b

giá trị

x

cần ước lượng nghiệm

x_0

giá trị

x

ban đầu

N

số bước

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Độ dài bước không phải số bước.

Số bước bằng (điểm cuối − điểm đầu)/ $h$ . Chẳng hạn đi từ $x=1$ đến $x=2$ với $h=0{,}5$ cần 2 bước. Hãy tính số bước trước khi lập bảng.

Mỗi bước phải cộng $h$ vào $x$ , không chỉ cập nhật $y$ .

Công thức của $y$ chỉ cập nhật $y$ ; $x_{k+1}=x_k+h$ phải viết riêng. Quên bước này thì $F(x,y)$ dùng mãi $x_0$ và kết quả sai từ bước thứ hai.

Bước nhỏ không biến kết quả Euler thành giá trị chính xác.

Euler là xấp xỉ tuyến tính từng đoạn nên vẫn còn sai số. Bước nhỏ chỉ làm xấp xỉ thường sát hơn; kết quả vẫn viết với dấu $\approx$ .

Step size is not the number of steps.

The number of steps equals (endpoint − starting point)/ $h$ . For example, going from $x=1$ to $x=2$ with $h=0.5$ takes 2 steps, so find the number of steps before you build the table.

Each step must add $h$ to $x$ , not just update $y$ .

The formula for $y$ updates only $y$ , so $x_{k+1}=x_k+h$ must be written separately. If you skip it, $F(x,y)$ keeps using $x_0$ , and the results are wrong from the second step on.

A small step size does not make Euler's method exact.

Euler's method is a piecewise linear approximation, so some error always remains. A smaller step usually just brings the approximation closer, and the result should still be written with $\approx$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trước khi tính, hãy ghi ra $h$ và số bước.

Ví dụ đi từ $x=1$ đến $x=1{,}5$ với $h=0{,}25$ thì cần hai bước. Ghi trước giúp bảng không thiếu hay thừa dòng.

Đề yêu cầu đi sang trái thì dùng $h$ âm.

Khi đó $x$ giảm sau mỗi bước. Ví dụ đi từ $x=2$ về $x=1$ bằng 2 bước thì $h=-0{,}5$ .

Write down $h$ and the number of steps before you calculate.

For example, going from $x=1$ to $x=1.5$ with $h=0.25$ takes two steps. Doing this first keeps your table from having missing or extra rows.

Use a negative $h$ when the problem asks you to move to the left.

In that case, $x$ decreases at each step. For example, going from $x=2$ to $x=1$ in 2 steps gives $h=-0.5$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ nghiệm bằng phương pháp EulerPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termVẽ trường hệ số góc (slope field)Phương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình hóa tình huống bằng phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstbài toán giá trị ban đầuinitial value problem

Dẫn tớiLeads tophương pháp EulerEuler’s method

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

vi phândifferential

Khác nhau ở đâuHow they differĐộ dài bước

\Delta x

là một số hữu hạn do ta chọn cho từng bước tính. Vi phân

dx

là đại lượng vô cùng bé dùng trong xấp xỉ tuyến tính.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho

\Delta x=0{,}5

trong phương pháp Euler, ta cộng cố định

0{,}5

vào

x

ở mỗi bước. Đừng coi nó là

dx

trong công thức

dy=f'(x)\,dx

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 627–628, 630.