AP Calculus BCAP Calculus AB

suy giảm mũexponential decay

exponential decayVietnamese: suy giảm mũ

Suy giảm mũ (exponential decay) là quá trình một đại lượng giảm dần, trong đó tốc độ giảm luôn tỉ lệ với lượng còn lại.Exponential decay is a process in which a quantity decreases at a rate proportional to the amount that remains.

Trực giác: Như tiền trong ví khi mỗi ngày bạn chỉ tiêu 10% số còn lại: càng ít tiền thì mỗi ngày tiêu càng ít, nên số tiền không bao giờ hết hẳn.Intuition: Imagine the money in your wallet when you spend 10% of what is left each day: the less you have, the less you spend, so the balance never runs out completely.

Công thức chínhKey formula

y=y_0e^{-kt}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Suy giảm mũ là quá trình một đại lượng giảm nhanh lúc đầu rồi chậm dần. Gọi $y$ là lượng còn lại sau thời gian $t$ . Tốc độ giảm tỉ lệ với $y$ : $\dfrac{dy}{dt}=-ky$ với $k>0$ . Nghiệm là $y=y_0e^{-kt}$ , với $y_0$ là lượng ban đầu.

Ví dụ: với $y_0=100$ và $k=\ln 2$ thì $y(1)=100e^{-\ln 2}=50$ . Nếu $y_0>0$ , đồ thị nằm trên trục hoành và tiến sát trục này khi $t$ tăng mãi, nên trục $t$ là tiệm cận ngang. Dấu trừ nằm trong số mũ, còn $k$ vẫn dương.

Exponential decay is a process in which a quantity drops quickly at first and then more and more slowly. Let $y$ be the amount remaining after time $t$ . The rate of decrease is proportional to $y$ : $\dfrac{dy}{dt}=-ky$ with $k>0$ . The solution is $y=y_0e^{-kt}$ , where $y_0$ is the initial amount.

Example: with $y_0=100$ and $k=\ln 2$ , $y(1)=100e^{-\ln 2}=50$ . If $y_0>0$ , the graph lies above the horizontal axis and approaches it as $t$ increases without bound, so the $t$ -axis is a horizontal asymptote. The negative sign sits in the exponent, while $k$ itself stays positive.

Ký hiệuNotation

• $y = y_0 e^{-kt}$
• $\dfrac{dy}{dt} = -ky$ với $k > 0$
•chu kỳ bán rã $T = \dfrac{\ln 2}{k}$

Đơn vịUnits$k$ có đơn vị là nghịch đảo của đơn vị thời gian (ví dụ 1/năm, 1/giờ); $y$ mang đơn vị của đại lượng đang xét.

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

y=\htmlClass{fp-0}{y_0}\htmlClass{fp-2}{e^{\htmlClass{fp-1}{-kt}}}

Dùng khi đại lượng giảm với tốc độ tỉ lệ với lượng còn lại, như chất phóng xạ phân rã hay thuốc bị đào thải.Use this when a quantity decreases at a rate proportional to the amount remaining, such as radioactive decay or a drug being cleared from the body.

Trong đóWhere

y

lượng còn lại tại thời điểm

t

y_0

lượng ban đầu, tức giá trị của

y

khi

t=0

k

hằng số suy giảm,

k>0

;

k

càng lớn thì đại lượng giảm càng nhanh — 1/đơn vị thời gian

t

thời gian tính từ lúc bắt đầu — giây, giờ, năm,...

\dfrac{dy}{dt}=-ky

Dùng khi đề cho tốc độ giảm tỉ lệ với $y$ ; tách biến sẽ ra $y=y_0e^{-kt}$ .Use this when a problem states that the rate of decrease is proportional to $y$ ; separating variables gives $y=y_0e^{-kt}$ .

Trong đóWhere

\dfrac{dy}{dt}

tốc độ thay đổi của

y

theo thời gian

k

hằng số tỉ lệ dương, cùng

k

trong mô hình

y=y_0e^{-kt}

— 1/đơn vị thời gian

y

lượng còn lại tại thời điểm

t

t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}

Dùng để tính chu kỳ bán rã từ $k$ (hoặc ngược lại); kết quả không phụ thuộc $y_0$ .Use this to find the half-life from $k$ (or the reverse); the result does not depend on $y_0$ .

Trong đóWhere

t_{1/2}

chu kỳ bán rã, thời gian để

y

giảm còn một nửa — đơn vị thời gian

k

hằng số suy giảm trong mô hình

y=y_0e^{-kt}

— 1/đơn vị thời gian

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Hằng số $k$ không phải lượng mất đi cố định mỗi đơn vị thời gian.

Lượng mất đi lúc đó là $ky$ , nên nhỏ dần khi $y$ nhỏ đi. Còn $k$ chỉ là tỉ lệ mất so với lượng hiện có.

Dấu trừ phải nằm trong số mũ: $y=y_0e^{-kt}$ , không phải $y_0e^{kt}$ .

Nếu bỏ dấu trừ, hàm sẽ tăng mãi, trái với đề nói đại lượng giảm.

Suy giảm mũ không bao giờ chạm đúng 0.

Vì $e^{-kt}>0$ với mọi $t$ , nên $y$ chỉ tiến dần về 0 (khi $y_0>0$ ). Suy giảm tuyến tính thì cắt trục và trở thành âm.

The constant $k$ is not a fixed amount lost per unit of time.

The amount lost at any moment is $ky$ , which shrinks as $y$ gets smaller, so $k$ is only the proportion lost relative to the current amount.

The negative sign belongs in the exponent: $y=y_0e^{-kt}$ , not $y_0e^{kt}$ .

Without the negative sign, the function grows forever, which contradicts a quantity that is decreasing.

Exponential decay never reaches exactly 0.

Because $e^{-kt}>0$ for all $t$ , $y$ only approaches 0 (when $y_0>0$ ), whereas linear decay crosses the axis and becomes negative.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết đủ các bước tách biến, kể cả hằng số $C$ .

Từ $\dfrac1y\,dy=-k\,dt$ ta có $\ln|y|=-kt+C$ , rồi $y=Ae^{-kt}$ . Dùng điều kiện ban đầu để tìm $A$ . Thiếu $C$ thường mất điểm các bước sau.

Đề cho chu kỳ bán rã $t_{1/2}$ thì dùng $k=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$ .

Lượng giảm còn một nửa khi $e^{-kt}=\dfrac12$ , tức là $kt=\ln 2$ .

Show every step of separation of variables, including the constant $C$ .

From $\dfrac1y\,dy=-k\,dt$ you get $\ln|y|=-kt+C$ , then $y=Ae^{-kt}$ . Use the initial condition to find $A$ . Leaving out $C$ often costs points in the later steps.

When a problem gives the half-life $t_{1/2}$ , use $k=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}$ .

The amount drops to half when $e^{-kt}=\dfrac12$ , that is, when $kt=\ln 2$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1903Ernest RutherfordJacob BernoulliJohn NapierThomas Malthus

Năm 1683, Jacob Bernoulli gặp hằng số

e

khi nghiên cứu lãi kép, nền tảng của dạng suy giảm mũ viết với

e

In 1683, Jacob Bernoulli encountered the constant

e

while studying compound interest, the foundation of the form of exponential decay written with

e

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "mũ" phản ánh dạng của hàm số: biến $x$ nằm ở số mũ, như trong $f(x)=y_0(1-r)^x$ hay $f(x)=y_0e^{-\lambda x}$ . Chữ "suy giảm" phản ánh cách đại lượng thay đổi: ở mỗi bước, nó mất đi một tỉ lệ cố định của chính giá trị hiện tại. Với $y_0=100$ và $r=0{,}5$ , giá trị đi từ $100$ xuống $50$ rồi $25$ . Dạng viết với $e$ được gọi là suy giảm mũ "tự nhiên" vì hằng số $e$ vốn xuất hiện từ việc tìm hiểu hàm mũ, khi Bernoulli xét bài toán lãi kép. Các nguồn đã đọc không nói gì thêm về nguồn gốc của riêng hai từ "exponential" và "decay".

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình mũ với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termMô hình mũ với phương trình vi phânPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNghiệm riêng với điều kiện ban đầu & tách biếnPhương trình vi phân · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstsố enumber e

Dẫn tớiLeads tophương pháp tách biếnseparation of variables bài toán giá trị ban đầuinitial value problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tăng trưởng mũ (exponential growth)exponential growth

Khác nhau ở đâuHow they differTăng trưởng mũ có hằng số tỉ lệ

k>0

nên đại lượng tăng ngày càng nhanh. Suy giảm mũ có

k<0

nên đại lượng giảm dần và tiến về 0.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho phương trình

\dfrac{dy}{dt}=ky

hoặc một bảng số liệu mà không nói rõ chiều biến đổi; hãy xét dấu của

k

để biết đó là tăng hay giảm.

phương trình vi phân logistic (logistic differential equation)logistic differential equation

Khác nhau ở đâuHow they differSuy giảm mũ giảm về 0 và không có cận trên cố định. Mô hình logistic tăng chậm dần khi tiến gần sức chứa môi trường.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đồ thị cong dần về một đường ngang; cần xem đường ngang đó là

y=0

(suy giảm mũ) hay là sức chứa

L>0

(logistic).

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 86, 1357.