AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số khả vidifferentiable function

differentiable functionVietnamese: hàm số khả vi

Còn gọi:Also called: differentiability

Hàm số khả vi (differentiable function) là hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trong miền xét, nên đồ thị trơn, liên tục và không gãy khúc.A differentiable function is a function that has a derivative at every point of its domain of interest, so its graph is smooth, continuous, and has no corners.

Trực giác: Hàm khả vi như con đường mượt: đứng ở đâu cũng thấy một hướng đi rõ ràng, không có góc gấp, vực sâu hay vách dựng đứng.Intuition: A differentiable function is like a smooth road: wherever you stand, there is one clear direction to go, with no sharp turns, drop-offs, or vertical walls.

Công thức chínhKey formula

f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cho hàm số $f$ . Hàm $f$ khả vi tại $a$ khi tỉ sai phân $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tiến đến một số thực hữu hạn lúc $x$ càng gần $a$ . Số đó là $f'(a)$ . Ví dụ: với $f(x)=x^2$ và $a=3$ , tỉ sai phân bằng $\dfrac{x^2-9}{x-3}=x+3$ (với $x\ne 3$ ), nên $f'(3)=6$ .

Hàm khả vi trên một khoảng khi nó khả vi tại mọi điểm của khoảng. Khả vi thì liên tục, nhưng liên tục chưa chắc khả vi. Hàm $|x|$ tại $0$ có góc nhọn. Hàm $\sqrt[3]{x}$ tại $0$ có tiếp tuyến thẳng đứng. Hàm gián đoạn tại $a$ thì không khả vi tại $a$ .

Let $f$ be a function. A differentiable function $f$ at $a$ is one for which the difference quotient $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ approaches a finite real number as $x$ gets closer to $a$ . That number is $f'(a)$ . For example, with $f(x)=x^2$ and $a=3$ , the difference quotient equals $\dfrac{x^2-9}{x-3}=x+3$ (for $x\ne 3$ ), so $f'(3)=6$ .

A function is differentiable on an interval if it is differentiable at every point of that interval. Differentiability implies continuity, but continuity does not imply differentiability. The function $|x|$ has a sharp corner at $0$ , and $\sqrt[3]{x}$ has a vertical tangent at $0$ . If a function is discontinuous at $a$ , it is not differentiable at $a$ .

Ký hiệuNotation

• $f'(a)$ tồn tại
• $\dfrac{dy}{dx}$
• $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

f'(a)=\htmlClass{fp-2}{\lim_{h\to 0}\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{f(a+h)-f(a)}}{h}}}

Dùng để kiểm tra $f$ có khả vi tại $a$ không: giới hạn tồn tại và hữu hạn thì đó là $f'(a)$ .Use this to test whether $f$ is differentiable at $a$ : if the limit exists and is finite, it equals $f'(a)$ .

Trong đóWhere

f'(a)

đạo hàm của

f

tại

x=a

, tức hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ

a

a

điểm đang xét, nằm trong tập xác định của

f

h

độ lệch nhỏ so với

a

, cho tiến dần về 0 (khác 0 trong phép chia)

f(a+h)-f(a)

độ thay đổi của giá trị hàm khi

x

đi từ

a

đến

a+h

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Hàm liên tục chưa chắc khả vi.

Đồ thị liền nét vẫn có thể không có đạo hàm, như $|x|$ tại $x=0$ (góc nhọn) hay $\sqrt[3]{x}$ tại $x=0$ (tiếp tuyến thẳng đứng). Còn hàm khả vi tại $a$ thì chắc chắn liên tục tại $a$ .

Có đạo hàm tại một điểm chưa đủ để nói hàm khả vi trên cả khoảng.

Khả vi trên khoảng đòi hỏi $f'(x)$ tồn tại tại mọi $x$ trong khoảng đó. Đề cho "khả vi" trên khoảng nào thì chỉ dùng kết luận trên khoảng ấy.

A continuous function is not necessarily differentiable.

A graph drawn without lifting the pencil can still lack a derivative, as with $|x|$ at $x=0$ (a corner) or $\sqrt[3]{x}$ at $x=0$ (a vertical tangent). The converse does hold: a function differentiable at $a$ is always continuous at $a$ .

Having a derivative at a single point does not make a function differentiable on an entire interval.

Differentiability on an interval requires $f'(x)$ to exist at every $x$ in that interval. Use a conclusion only on the interval where the problem states that $f$ is differentiable.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trước khi dùng Định lý Rolle hay Giá trị Trung bình, hãy nêu rõ điều kiện khả vi.

Viết: " $f$ liên tục trên đoạn $[a,b]$ và có đạo hàm trên khoảng $(a,b)$ ". Thiếu bước này thường mất điểm lập luận dù phép tính đúng.

Chứng minh không khả vi tại $a$ : tính hai giới hạn một phía của tỉ sai phân.

Cho $x\to a^-$ rồi $x\to a^+$ . Nếu hai giới hạn khác nhau hoặc không hữu hạn thì $f'(a)$ không tồn tại. Với $|x|$ tại $0$ , hai giới hạn là $-1$ và $1$ . Chỉ viết "có góc nhọn" thì chưa đủ chặt chẽ.

State the differentiability condition explicitly before applying Rolle's Theorem or the Mean Value Theorem.

Write: " $f$ is continuous on the closed interval $[a,b]$ and differentiable on the open interval $(a,b)$ ." Omitting this step often costs reasoning points even when the computation is correct.

To show a function is not differentiable at $a$ , compute both one-sided limits of the difference quotient.

Let $x\to a^-$ and then $x\to a^+$ . If the two limits differ or are not finite, $f'(a)$ does not exist. For $|x|$ at $0$ , the one-sided limits are $-1$ and $1$ . Simply writing "there is a corner" is not rigorous enough.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Isaac NewtonGottfried Wilhelm LeibnizLeonhard EulerKarl Weierstrassdu Bois-Reymond

Năm 1875, du Bois-Reymond công bố hàm Weierstrass, liên tục nhưng không khả vi, phá vỡ niềm tin rằng hàm liên tục có đạo hàm trừ vài điểm đặc biệt.

In 1875, du Bois-Reymond published the Weierstrass function, which is continuous but nowhere differentiable. It shattered the belief that a continuous function has a derivative except at a few special points.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa đạo hàm & ký hiệu đạo hàmĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Dẫn tớiLeads tođịnh lý giá trị trung bìnhmean value theorem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tính liên tụccontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differHàm khả vi tại một điểm thì chắc chắn liên tục tại điểm đó. Hàm liên tục thì chưa chắc khả vi, chẳng hạn khi đồ thị có góc nhọn.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho hàm xác định từng khúc rồi hỏi hàm có khả vi tại điểm nối không: phải kiểm tra liên tục trước, rồi so sánh đạo hàm hai phía.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 190, 202, 215.