AP Calculus BCAP Calculus AB

điểm gián đoạndiscontinuity

discontinuityVietnamese: điểm gián đoạn

Còn gọi:Also called: discontinuity at a point

Điểm gián đoạn (discontinuity) là điểm a mà tại đó hàm số xác định gần a nhưng không liên tục, nên đồ thị bị đứt, nhảy hoặc bị khoét mất một điểm tại a.A discontinuity is a point $a$ where a function is defined near $a$ but is not continuous, so its graph has a break, a jump, or a hole at $a$ .

Trực giác: Như con đường bị đứt cầu hoặc mất một mảnh mặt đường: đi đến đúng chỗ đó thì phải nhảy qua hoặc không đi tiếp được.Intuition: Think of a road with a washed-out bridge or a missing section of pavement: when you reach that spot, you must either jump across or you cannot continue.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x\to a} f(x)=f(a)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Điểm gián đoạn là điểm $a$ mà hàm $f$ xác định quanh $a$ (có thể trừ chính $a$ ), nhưng đồ thị không liền mạch tại đó. Ví dụ, với $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ , khi $x$ gần $1$ thì $f(x)$ gần $2$ , nhưng $f(1)$ không xác định, nên đồ thị thủng tại $x=1$ .

Gián đoạn nghĩa là vi phạm ít nhất một trong ba điều kiện liên tục: $f(a)$ xác định, $\lim_{x\to a}f(x)$ tồn tại, và hai giá trị này bằng nhau. Ba dạng thường gặp: khử được, nhảy, vô cực. Hàm gián đoạn tại $a$ thì không có đạo hàm tại $a$ .

A discontinuity is a point $a$ where a function $f$ is defined around $a$ (possibly except at $a$ itself) but whose graph is not connected there. For example, for $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ , as $x$ approaches $1$ , $f(x)$ approaches $2$ , but $f(1)$ is undefined, so the graph has a hole at $x=1$ .

A discontinuity means that at least one of the three conditions for continuity fails: $f(a)$ is defined, $\lim_{x\to a}f(x)$ exists, and the two values are equal. The three common types are removable, jump, and infinite. If $f$ is discontinuous at $a$ , it is not differentiable at $a$ .

Ký hiệuNotation

• $f$ gián đoạn tại $x=a$ khi $\lim_{x\to a} f(x)\neq f(a)$ , hoặc $f(a)$ không xác định, hoặc $\lim_{x\to a} f(x)$ không tồn tại
•giới hạn một phía viết $\lim_{x\to a^-} f(x)$ và $\lim_{x\to a^+} f(x)$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\lim_{x\to a} f(x)}=\htmlClass{fp-1}{f(a)}}

Dùng để kiểm tra tính liên tục tại $a$ ; vi phạm dù chỉ một trong ba yêu cầu thì $a$ là điểm gián đoạn.This is used to test continuity at $a$ ; if even one of the three requirements fails, $a$ is a discontinuity.

Trong đóWhere

a

điểm đang xét, nơi ta kiểm tra hàm số có liên tục hay không

f(x)

giá trị của hàm số tại điểm

x

gần

a

f(a)

giá trị của hàm số tại đúng điểm

a

\lim_{x\to a} f(x)

giới hạn của

f(x)

khi

x

tiến tới

a

từ cả hai phía

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Không xác định tại một điểm chưa chắc là gián đoạn khử được.

Gián đoạn khử được cần giới hạn tồn tại và hữu hạn. Ví dụ $\dfrac{1}{x}$ không xác định tại $x=0$ nhưng là gián đoạn vô cực.

Gián đoạn nhảy không có giới hạn một phía bằng vô cực.

Ở gián đoạn nhảy, hai giới hạn một phía đều hữu hạn nhưng khác nhau. Nếu một phía ra vô cực thì đó là gián đoạn vô cực, thường có tiệm cận đứng.

Hai nhánh của hàm từng khúc cùng tiến về một giá trị vẫn có thể gián đoạn.

Ví dụ hai nhánh đều tiến về $1$ khi $x\to 2$ , nhưng $f(2)=5$ . Khi đó $1\ne f(2)$ , nên đó là gián đoạn khử được.

A function that is undefined at a point does not necessarily have a removable discontinuity there.

A removable discontinuity requires the limit to exist and be finite. For example, $\dfrac{1}{x}$ is undefined at $x=0$ , but it has an infinite discontinuity there.

A jump discontinuity never involves an infinite one-sided limit.

At a jump discontinuity, both one-sided limits are finite but unequal. If either side goes to infinity, the discontinuity is infinite, and it typically has a vertical asymptote.

A piecewise function can still be discontinuous even if both pieces approach the same value.

For example, both pieces may approach $1$ as $x\to 2$ while $f(2)=5$ . Since $1\ne f(2)$ , this is a removable discontinuity.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Phải nêu đúng điều kiện liên tục bị vi phạm.

Viết ra $f(c)$ , giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=c$ , chẳng hạn $\lim_{x\to 3}f(x)=0\ne 1=f(3)$ . Chỉ viết "đồ thị có lỗ thủng" thì chưa đủ căn cứ.

Với đồ thị, đọc hai giới hạn một phía trước, rồi mới nhìn chấm đặc hay rỗng.

Hai phía dừng ở hai độ cao khác nhau là gián đoạn nhảy, dù chấm đặc nằm đâu. Hai phía cùng độ cao mà chấm đặc lệch hoặc thiếu là gián đoạn khử được.

State exactly which condition for continuity fails.

Write out $f(c)$ and the left-hand and right-hand limits at $x=c$ , such as $\lim_{x\to 3}f(x)=0\ne 1=f(3)$ . Saying only "the graph has a hole" is not sufficient justification.

When reading a graph, check the two one-sided limits first, and only then look at whether the dot is filled or open.

If the two sides approach different heights, it is a jump discontinuity no matter where the filled dot is. If both sides approach the same height but the filled dot is displaced or missing, it is a removable discontinuity.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhử điểm gián đoạn: vá lỗ hổng và ráp hàm từng đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhử điểm gián đoạn: vá lỗ hổng và ráp hàm từng đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạn một phíaone-sided limit

Dẫn tớiLeads tohàm số xác định từng khúcpiecewise-defined function

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

điểm gián đoạn bỏ đượcremovable discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm gián đoạn nói chung chỉ là nơi hàm số không liên tục, có thể thuộc nhiều loại. Điểm gián đoạn bỏ được là trường hợp riêng mà giới hạn vẫn tồn tại hữu hạn.

Hay nhầm khiMixed up whenGặp phân thức có thừa số chung ở tử và mẫu (như

\dfrac{x^2-1}{x-1}

), nhiều bạn kết luận là tiệm cận đứng, trong khi thực ra chỉ là lỗ hổng bỏ được.

điểm gián đoạn vô cựcinfinite discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differĐiểm gián đoạn bước nhảy có giới hạn hai phía đều hữu hạn nhưng khác nhau. Điểm gián đoạn vô cực có ít nhất một giới hạn một phía bằng

\pm\infty

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đồ thị bị đứt đoạn tại một điểm, cần tính hai giới hạn một phía để biết là bước nhảy hay vô cực.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 147, 157, 190.