AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số xác định từng khúcpiecewise-defined function

piecewise-defined functionVietnamese: hàm số xác định từng khúc

Hàm số xác định từng khúc (piecewise-defined function) là hàm số có công thức khác nhau trên từng khoảng của tập xác định, ghép lại thành một hàm duy nhất.A piecewise-defined function is a function that uses a different formula on each interval of its domain, combined into a single function.

Trực giác: Giống bảng giá cước taxi: vài cây số đầu tính một giá, các cây số sau tính giá khác, nhưng cuối cùng vẫn chỉ có một số tiền cho mỗi quãng đường.Intuition: Think of a taxi fare chart: the first few kilometers are charged at one rate and later kilometers at another, yet each distance still has exactly one total price.

Công thức chínhKey formula

f(x)=\begin{cases}g(x), & x<c \\ h(x), & x\ge c\end{cases}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số xác định từng khúc (piecewise-defined function) là hàm dùng công thức khác nhau trên các khoảng khác nhau. Các khoảng không chồng lấn lên nhau. Mỗi $x$ chỉ thuộc một khoảng nên chỉ có một giá trị $f(x)$ .

Ví dụ với $|x|$ ở công thức bên dưới: $-2<0$ nên $|-2|=-(-2)=2$ . Để tính $f(a)$ , xét $a$ thuộc khoảng nào rồi chỉ dùng công thức của khoảng đó. Tại điểm nối (chỗ đổi công thức), hàm liên tục khi giới hạn hai phía bằng nhau và bằng giá trị hàm. Liên tục chưa chắc có đạo hàm.

A piecewise-defined function is a function that uses different formulas on different intervals. The intervals do not overlap, so each $x$ belongs to exactly one interval and $f(x)$ has exactly one value.

For example, with $|x|$ in the formula below: $-2<0$ , so $|-2|=-(-2)=2$ . To evaluate $f(a)$ , determine which interval contains $a$ and use only the formula for that interval. At a junction point (where the formula changes), the function is continuous if the two one-sided limits are equal and equal the function value. Continuity does not guarantee differentiability.

Ký hiệuNotation

• $f(x)=\begin{cases} g(x), & x<c \\ h(x), & x\ge c \end{cases}$
•giới hạn một phía $\lim_{x\to c^-}f(x)$ và $\lim_{x\to c^+}f(x)$

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

f(x)=\htmlClass{fp-4}{\begin{cases}\htmlClass{fp-0}{g(x)}, & \htmlClass{fp-1}{x<c} \\ \htmlClass{fp-2}{h(x)}, & \htmlClass{fp-3}{x\ge c}\end{cases}}

Dùng khi quy tắc đổi tại $c$ (các nhánh không chồng lấn). Tại $c$ , tính giới hạn một phía của từng nhánh rồi so sánh.Use this when the rule changes at $c$ (the pieces do not overlap). At $c$ , compute the one-sided limit of each piece and compare them.

Trong đóWhere

f(x)

hàm số xác định từng khúc cần xét

g(x)

biểu thức dùng cho các giá trị

x

nhỏ hơn

c

h(x)

biểu thức dùng cho các giá trị

x

lớn hơn hoặc bằng

c

c

điểm đổi nhánh, tức là nơi quy tắc tính hàm thay đổi

|x|=\begin{cases}x, & x\ge 0 \\ -x, & x<0\end{cases}

Dùng để viết giá trị tuyệt đối; tính giới hạn và đạo hàm một phía của $|x|$ tại $x=0$ theo từng nhánh.Use this to write the absolute value as a piecewise function. Compute the one-sided limits and derivatives of $|x|$ at $x=0$ using each piece.

Trong đóWhere

|x|

giá trị tuyệt đối của

x

x

biến số thực

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Liên tục tại điểm nối chưa chắc có đạo hàm ở đó.

Đồ thị có thể có góc nhọn. Với $y=|x|$ tại $0$ , đạo hàm bên trái là $-1$ , bên phải là $1$ . Hai giá trị khác nhau nên $f'(0)$ không tồn tại.

Hai công thức có đạo hàm bằng nhau tại điểm nối vẫn chưa đủ.

Hàm còn phải liên tục tại đó. Ví dụ $f(x)=x$ khi $x<0$ và $f(x)=x+1$ khi $x\ge 0$ . Cả hai công thức đều có đạo hàm $1$ , nhưng đồ thị nhảy lên $1$ đơn vị nên $f'(0)$ không tồn tại.

Đạo hàm của hàm từng khúc cũng phải viết từng khúc, kèm khoảng của mỗi khúc.

Chỉ giữ điểm nối khi đã kiểm tra đạo hàm tồn tại ở đó. Nếu chưa kiểm tra thì phải bỏ điểm nối ra khỏi khoảng.

Continuity at a junction point does not guarantee a derivative there.

The graph can have a corner. For $y=|x|$ at $0$ , the left-hand derivative is $-1$ and the right-hand derivative is $1$ . Since the two values differ, $f'(0)$ does not exist.

Equal derivatives from the two formulas at the junction point are not enough.

The function must also be continuous there. For example, let $f(x)=x$ for $x<0$ and $f(x)=x+1$ for $x\ge 0$ . Both formulas have derivative $1$ , but the graph jumps up by $1$ unit, so $f'(0)$ does not exist.

The derivative of a piecewise function must also be written piece by piece, with the interval for each piece.

Include the junction point only after verifying that the derivative exists there. If you have not checked, exclude the junction point from the intervals.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Hỏi đạo hàm tại điểm nối: xét liên tục trước, rồi so sánh đạo hàm hai phía.

Ghi rõ hai giá trị, ví dụ $-1\ne 1$ . Chỉ viết 'đồ thị có góc nhọn' thì chưa là lập luận đầy đủ.

Giải $f'(x)=k$ (với $k$ là số cho trước) phải thử từng khúc.

Kiểm tra nghiệm có nằm trong khoảng của khúc đó không. Nghiệm nằm ngoài khoảng thì loại, dù nó đúng với phương trình. Bước này hay bị quên.

When asked for the derivative at a junction point, check continuity first, then compare the one-sided derivatives.

State both values explicitly, for example $-1\ne 1$ . Writing only "the graph has a corner" is not a complete argument.

When solving $f'(x)=k$ (where $k$ is a given number), test each piece separately.

Check whether each solution lies in the interval of that piece. Reject any solution outside the interval, even if it satisfies the equation. This step is often forgotten.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thế kỷ 19Gottfried LeibnizLeonhard EulerDaniel BernoulliPeter Gustav Lejeune Dirichlet

Từ thế kỷ 19, thương mại, thuế khóa và kỹ thuật cần hàm đổi công thức theo khoảng; định nghĩa hiện đại của Dirichlet (1837) dung nạp được loại hàm này.

Beginning in the 19th century, commerce, taxation, and engineering needed functions whose rule changes by interval. Dirichlet's modern definition (1837) accommodated this type of function.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "piecewise" mang nghĩa "theo từng mảnh": miền xác định của hàm được chia thành nhiều khoảng (miền con), và trên mỗi khoảng hàm có thể được cho bằng một công thức riêng. Cùng một ý ấy còn có các tên gọi khác như hàm số hỗn hợp (hybrid function) hay hàm số xác định theo trường hợp (function defined by cases). Nhờ vậy tên gọi cho thấy ngay đây là một cách viết hàm chứ không phải một loại hàm đặc biệt: mọi hàm có miền xác định chứa ít nhất hai điểm đều có thể viết lại theo kiểu từng khúc. Tiền tố "piecewise" còn đứng trước nhiều tính chất khác, như từng khúc tuyến tính (piecewise linear) hay liên tục từng khúc (piecewise continuous). Khi đó nó có nghĩa là miền xác định chia được thành các mảnh mà trên mỗi mảnh tính chất ấy đúng, và lúc này đó là tính chất của chính hàm số. Các nguồn đã đọc không ghi ai là người đặt ra tên "hàm số xác định từng khúc" và đặt vào lúc nào, nên không thể nêu nguồn gốc lịch sử chắc chắn của riêng cái tên này.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction tập xác địnhdomain

Dẫn tớiLeads totính liên tụccontinuity giới hạn một phíaone-sided limit

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số giá trị tuyệt đốiabsolute value function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm xác định từng khúc là dạng tổng quát, cho phép ghép bất kỳ công thức nào trên từng khoảng. Hàm giá trị tuyệt đối chỉ là một trường hợp đặc biệt với hai khúc

x

và

-x

Hay nhầm khiMixed up whenKhi gặp

|x-2|

trong đề, nhiều học sinh quên rằng phải tách thành hai khúc để xét đạo hàm hay tích phân quanh

x=2

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic