AP Calculus BCAP Calculus AB

điểm gián đoạn bước nhảyjump discontinuity

jump discontinuityVietnamese: điểm gián đoạn bước nhảy

Điểm gián đoạn bước nhảy (jump discontinuity) là điểm mà giới hạn trái và giới hạn phải đều hữu hạn nhưng khác nhau, làm đồ thị đứt đoạn.A jump discontinuity is a point where the left-hand and right-hand limits are both finite but unequal, so the graph breaks.

Trực giác: Như con đường bị cắt ngang: đoạn bên trái dừng ở một độ cao, đoạn bên phải bắt đầu ở độ cao khác.Intuition: It is like a road cut in two: the left section ends at one height, and the right section starts at a different height.

Công thức chínhKey formula

L_1=\lim_{x\to a^-}f(x),\quad L_2=\lim_{x\to a^+}f(x),\quad L_1\neq L_2

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Điểm gián đoạn bước nhảy tại $x=a$ là chỗ đồ thị đứt, vì $f(x)$ tiến tới hai số hữu hạn khác nhau khi $x$ đến $a$ từ hai phía.

Ví dụ: $f(x)=1$ khi $x<2$ và $f(x)=3$ khi $x\ge 2$ . Khi $x$ tiến tới $2$ từ bên trái, $f(x)$ gần $1$ . Từ bên phải, $f(x)$ gần $3$ . Hai số khác nhau nên giới hạn hai phía không tồn tại. Hàm không liên tục tại đó, nên cũng không có đạo hàm. Với lỗ thủng (gián đoạn khử được), sửa lại $f(a)$ là đồ thị liền nét. Bước nhảy thì không sửa được.

A jump discontinuity at $x=a$ is a point where the graph breaks because $f(x)$ approaches two different finite numbers as $x$ approaches $a$ from the two sides.

Example: let $f(x)=1$ for $x<2$ and $f(x)=3$ for $x\ge 2$ . As $x$ approaches $2$ from the left, $f(x)$ gets close to $1$ . From the right, $f(x)$ gets close to $3$ . Because these numbers differ, the two-sided limit does not exist. The function is not continuous there, so it is also not differentiable there. With a removable discontinuity (a hole), redefining $f(a)$ makes the graph connected. A jump cannot be repaired this way.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{x\to a^-} f(x)\neq\lim_{x\to a^+} f(x)$
•độ lớn bước nhảy $=\left|\lim_{x\to a^+} f(x)-\lim_{x\to a^-} f(x)\right|$

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{L_1=\lim_{x\to a^-}f(x)},\quad \htmlClass{fp-1}{L_2=\lim_{x\to a^+}f(x)},\quad \htmlClass{fp-2}{L_1\neq L_2}

Tính riêng hai giới hạn một phía tại $x=a$ ; nếu cả hai hữu hạn và khác nhau thì đó là bước nhảy, độ lớn $|L_2-L_1|$ .Compute the two one-sided limits at $x=a$ separately. If both are finite and unequal, the point is a jump discontinuity, and the size of the jump is $|L_2-L_1|$ .

Trong đóWhere

a

hoành độ của điểm đang xét

L_1

giới hạn của

f(x)

khi

x

tiến đến

a

từ bên trái (với

x<a

), là một số hữu hạn

L_2

giới hạn của

f(x)

khi

x

tiến đến

a

từ bên phải (với

x>a

), là một số hữu hạn

f(x)

hàm số đang khảo sát

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Bước nhảy không cần $f(a)$ vắng mặt.

$f(a)$ có thể không có, bằng một giới hạn một phía, hoặc là số khác. Loại gián đoạn do hai giới hạn một phía quyết định.

Hai giới hạn một phía khác nhau chưa đủ; cả hai còn phải hữu hạn.

Nếu một phía tiến tới $\infty$ hoặc $-\infty$ , như $\dfrac{1}{x-3}$ gần $x=3$ , đó là tiệm cận đứng, không phải bước nhảy.

Tại bước nhảy, không có giới hạn hai phía.

Đừng viết $\lim_{x\to a}f(x)$ bằng một trong hai giá trị, kể cả khi $f(a)$ trùng giá trị đó. Giới hạn hai phía chỉ tồn tại khi giới hạn trái và phải bằng nhau.

A jump discontinuity does not require $f(a)$ to be undefined.

The value $f(a)$ may be undefined, equal to one of the one-sided limits, or equal to some other number. The two one-sided limits alone determine the type of discontinuity.

Having different one-sided limits is not enough; both must also be finite.

If one side approaches $\infty$ or $-\infty$ , as with $\dfrac{1}{x-3}$ near $x=3$ , the point is a vertical asymptote, not a jump.

At a jump, the two-sided limit does not exist.

Never write $\lim_{x\to a}f(x)$ as one of the two one-sided values, even if $f(a)$ equals that value. The two-sided limit exists only when the left-hand and right-hand limits are equal.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Câu tự luận: tính riêng giới hạn trái và giới hạn phải rồi so sánh.

Ghi rõ cả hai là số hữu hạn và khác nhau. Chỉ nói "đồ thị bị đứt" thì chưa đủ.

Đọc đồ thị: ghi độ cao nhánh trái và nhánh phải tại chỗ đứt.

Hai độ cao hữu hạn và khác nhau là bước nhảy. Hai độ cao bằng nhau mà $f(a)$ không có hoặc khác độ cao đó là lỗ thủng. Nhánh vút lên vô cực là tiệm cận đứng.

On free-response questions, compute the left-hand and right-hand limits separately and compare them.

State explicitly that both are finite and unequal. Saying only that the graph "has a break" is not enough justification.

When reading a graph, record the height of the left branch and the right branch at the break.

Two finite, unequal heights mean a jump. Equal heights with $f(a)$ undefined or different from that height mean a hole. A branch that shoots off to infinity means a vertical asymptote.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

Augustin-Louis CauchyPeter Gustav Lejeune Dirichlet

Năm 1821, Cauchy định nghĩa chính thức sự liên tục bằng giới hạn trong Cours d'Analyse, mở đường cho việc phân loại các kiểu gián đoạn, trong đó có bước nhảy.

In 1821, Cauchy gave the first formal definition of continuity using limits in Cours d'Analyse, which paved the way for classifying types of discontinuity, including the jump.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "jump" nghĩa là "nhảy", và tên gọi bám sát hình ảnh trên đồ thị: hàm số như "nhảy" đột ngột từ giá trị này sang một giá trị khác, để lại một khoảng đứt rõ rệt. Cách gọi này khớp với định nghĩa chính xác, theo đó giới hạn trái (left-hand limit) và giới hạn phải (right-hand limit) tại điểm đang xét đều tồn tại nhưng không bằng nhau, nên độ chênh giữa hai giới hạn chính là "độ cao" của bước nhảy. Cần lưu ý rằng một số tài liệu còn nhắc đến quy ước hiếm gặp, trong đó từ "jump" được dùng cho mọi loại gián đoạn, nên thí sinh cần đọc kỹ điều kiện hai giới hạn một phía hữu hạn và khác nhau. Các nguồn tham khảo không cho biết ai là người đầu tiên đặt tên này hay tên xuất hiện vào năm nào.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termKhả vi & liên tục: khi nào đạo hàm tồn tại và không tồn tạiĐạo hàm: định nghĩa & tính chất cơ bản · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạn một phíaone-sided limit tính liên tụccontinuity

Dẫn tớiLeads tohàm số xác định từng khúcpiecewise-defined function

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

điểm gián đoạn bỏ được (removable discontinuity)removable discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differỞ bước nhảy, giới hạn trái và giới hạn phải đều tồn tại nhưng khác nhau. Ở điểm gián đoạn bỏ được, hai giới hạn này bằng nhau.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho hàm từng khúc rồi hỏi có thể sửa giá trị tại một điểm để hàm liên tục hay không: chỉ sửa được nếu hai giới hạn một phía bằng nhau.

điểm gián đoạn vô cực (infinite discontinuity)infinite discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differỞ bước nhảy, cả hai giới hạn một phía là số thực hữu hạn. Ở điểm gián đoạn vô cực, ít nhất một giới hạn một phía tiến tới vô cực.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đồ thị có đoạn đứt gãy gần tiệm cận đứng: cần kiểm tra giới hạn hai phía là số hữu hạn hay là vô cực.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 156, 189, 1359.