AP Calculus BCAP Calculus AB

tính liên tụccontinuity

continuityVietnamese: tính liên tục

Còn gọi:Also called: continuity at a point · continuity from the left · continuity from the right · continuity over an interval · continuous function

Tính liên tục (continuity) là tính chất của hàm số f tại điểm a khi f(a) xác định, giới hạn của f tại a tồn tại và bằng f(a), nên đồ thị không bị đứt ở đó.Continuity at a point $a$ means that $f(a)$ is defined, the limit of $f$ as $x$ approaches $a$ exists, and the two are equal, so the graph has no break there.

Trực giác: Giống một con đường không có chỗ nào đứt gãy: bạn đi từ đầu này sang đầu kia mà không phải nhảy qua hố hay vượt qua vực.Intuition: Think of a road with no gaps: you can travel from one end to the other without jumping over a hole or crossing a chasm.

Công thức chínhKey formula

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tính liên tục (continuity) tại $x=a$ nghĩa là đồ thị hàm $f$ không bị đứt tại điểm đó. Hàm có giá trị $f(a)$ , có giới hạn khi $x$ tiến về $a$ , và hai số này bằng nhau. Ví dụ: $f(x)=x^2$ có $f(2)=4$ , và $x$ càng gần $2$ thì $f(x)$ càng gần $4$ , nên $f$ liên tục tại $2$ .

Thiếu một điều kiện là gián đoạn (lỗ hổng, bước nhảy, tiệm cận đứng). Có đạo hàm tại $a$ thì liên tục tại $a$ ; ngược lại sai, ví dụ $|x|$ tại $0$ . Trên đoạn $[a,b]$ , hàm liên tục tại mọi điểm trong $(a,b)$ , liên tục bên phải tại $a$ và bên trái tại $b$ .

Continuity at $x=a$ means the graph of $f$ has no break at that point. The function has a value $f(a)$ , has a limit as $x$ approaches $a$ , and the two numbers are equal. For example, $f(x)=x^2$ has $f(2)=4$ , and as $x$ gets closer to $2$ , $f(x)$ gets closer to $4$ , so $f$ is continuous at $2$ .

If any one condition fails, the function is discontinuous there (a hole, a jump, or a vertical asymptote). If $f$ is differentiable at $a$ , then it is continuous at $a$ ; the converse is false, as $|x|$ at $0$ shows. On a closed interval $[a,b]$ , a function is continuous if it is continuous at every point of $(a,b)$ , right-continuous at $a$ , and left-continuous at $b$ .

Ký hiệuNotation

• $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ (liên tục tại $a$ )
• $\lim_{x\to a^-} f(x)=f(a)$ (từ bên trái)
• $\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)$ (từ bên phải)

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\lim_{x \to a} f(x)} = \htmlClass{fp-1}{f(a)}}

Dùng để kiểm tra hàm liên tục tại $a$ ; gói ba điều kiện, chỉ cần một điều kiện hỏng là gián đoạn.Use this to test whether a function is continuous at $a$ ; it packages three conditions, and if any one fails, the function is discontinuous.

Trong đóWhere

f(x)

hàm số đang xét

a

điểm cần kiểm tra tính liên tục, nằm trong tập xác định của

f

\lim_{x \to a} f(x)

giới hạn của

f(x)

khi

x

tiến tới

a

từ cả hai phía

f(a)

giá trị của hàm tại

x=a

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Liên tục bên phải tại $a$ : dùng ở đầu mút trái của đoạn $[a,b]$ , nơi chỉ tiến tới $a$ từ bên phải.Right-continuity at $a$ : used at the left endpoint of $[a,b]$ , where $x$ can approach $a$ only from the right.

Trong đóWhere

a^+

x

tiến tới

a

từ các giá trị lớn hơn

a

f(a)

giá trị của hàm tại

x=a

\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

Liên tục bên trái tại $b$ : dùng ở đầu mút phải của đoạn $[a,b]$ , nơi chỉ tiến tới $b$ từ bên trái.Left-continuity at $b$ : used at the right endpoint of $[a,b]$ , where $x$ can approach $b$ only from the left.

Trong đóWhere

b^-

x

tiến tới

b

từ các giá trị nhỏ hơn

b

f(b)

giá trị của hàm tại

x=b

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Giới hạn tồn tại chưa đủ để kết luận hàm liên tục.

Còn phải có $f(a)$ xác định và bằng giới hạn. Đề hay cho giới hạn tồn tại nhưng $f(a)$ không xác định hoặc khác giới hạn.

Hàm ghép khúc có giới hạn trái bằng giới hạn phải tại điểm nối vẫn chưa chắc liên tục.

Giá trị hàm tại điểm nối có thể được cho riêng và lệch khỏi giới hạn chung. Phải so sánh cả ba số.

The existence of a limit alone does not guarantee continuity.

$f(a)$ must also be defined and equal to the limit. Problems often give a limit that exists while $f(a)$ is undefined or differs from the limit.

A piecewise function whose left and right limits agree at the junction is not necessarily continuous.

The function's value at the junction may be assigned separately and differ from the common limit. All three numbers must be compared.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi xét liên tục tại $x=c$ , viết rõ $f(c)$ , giới hạn trái và giới hạn phải.

Điểm chấm nằm ở việc nêu và so sánh ba giá trị này. Đừng viết "vì đồ thị bị đứt"; hãy viết kiểu $\lim_{x\to c} f(x)=L\ne f(c)$ , với $L$ là giá trị giới hạn.

Hàm ghép khúc có tham số: cho giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị tại điểm nối bằng nhau.

Gọi điểm nối là $x=c$ . Nếu đề không cho giá trị riêng tại $c$ thì dùng $f(c)$ theo nhánh chứa $c$ . Giải xong, thay ngược tham số vào để kiểm tra ba số trùng nhau.

To test continuity at $x=c$ , write out $f(c)$ , the left-hand limit, and the right-hand limit.

Credit comes from stating and comparing these three values. Do not write "because the graph is broken"; write something like $\lim_{x\to c} f(x)=L\ne f(c)$ , where $L$ is the limit value.

For a piecewise function with a parameter, set the left-hand limit, right-hand limit, and value at the junction equal.

Call the junction $x=c$ . If no separate value at $c$ is given, use $f(c)$ from the piece that contains $c$ . After solving, substitute the parameter back to check that all three numbers match.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1817Bernard BolzanoAugustin-Louis Cauchy

Năm 1817, Bernard Bolzano đưa ra một dạng định nghĩa epsilon–delta, vì giới hạn và liên tục còn mơ hồ khi Newton và Leibniz xây dựng giải tích.

In 1817, Bernard Bolzano gave a form of the epsilon–delta definition, because limits and continuity were still vague when Newton and Leibniz developed calculus.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXác nhận liên tục trên một khoảngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa liên tục tại một điểmGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXác nhận liên tục trên một khoảngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termCác loại điểm gián đoạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstgiới hạnlimit giới hạn một phíaone-sided limit

Dẫn tớiLeads tođịnh lý giá trị trung gianintermediate value theorem định lý giá trị cực biênextreme value theorem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số khả vidifferentiable function

Khác nhau ở đâuHow they differLiên tục nghĩa là đồ thị không bị đứt tại điểm đang xét. Khả vi đòi hỏi thêm đồ thị trơn, có tiếp tuyến không thẳng đứng, nên khả vi kéo theo liên tục chứ không ngược lại.

Hay nhầm khiMixed up whenHàm

f(x)=|x|

liên tục tại

x=0

nhưng không khả vi vì có góc nhọn; đề hay hỏi đúng ví dụ này, kể cả điểm nhọn hay tiếp tuyến thẳng đứng.

điểm gián đoạn bỏ đượcremovable discontinuity

Khác nhau ở đâuHow they differHàm liên tục tại

a

khi giới hạn tại

a

tồn tại và bằng

f(a)

. Điểm gián đoạn bỏ được có giới hạn hữu hạn nhưng

f(a)

không xác định hoặc khác giới hạn.

Hay nhầm khiMixed up whenThí sinh thấy giới hạn tồn tại nên kết luận hàm liên tục, quên kiểm tra

f(a)

có xác định và bằng giới hạn đó hay không.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 5, 10, 188.