AP Calculus BCAP Calculus AB

định lý giá trị trung gianintermediate value theorem

intermediate value theoremVietnamese: định lý giá trị trung gian

Định lý giá trị trung gian (intermediate value theorem) là định lý nói hàm liên tục trên đoạn thì nhận mọi giá trị nằm giữa giá trị hai đầu đoạn.The intermediate value theorem states that a function continuous on a closed interval takes on every value between its values at the two endpoints.

Trực giác: Đi bộ từ chân núi cao 100 m lên đỉnh cao 500 m, bạn chắc chắn đi qua độ cao 300 m, vì không thể nhảy vọt qua nó.Intuition: If you hike from the foot of a mountain at 100 m elevation to a summit at 500 m, you must pass through 300 m, because you cannot jump over it.

Công thức chínhKey formula

f\text{ continuous on }[a,b]\ \text{and}\ f(a)<N<f(b)\ \Rightarrow\ \exists\, c\in(a,b):\ f(c)=N

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm liên tục đi từ giá trị này sang giá trị kia thì phải qua mọi giá trị ở giữa. Cho $f$ liên tục trên $[a,b]$ . Số $N$ nằm hẳn giữa $f(a)$ và $f(b)$ , tức $f(a)<N<f(b)$ hoặc $f(b)<N<f(a)$ . Khi đó có ít nhất một số $c$ thuộc $(a,b)$ để $f(c)=N$ . Ví dụ: $f(x)=x^2$ có $f(0)=0$ , $f(3)=9$ , nên $f(c)=4$ có nghiệm trong $(0;3)$ , đó là $c=2$ .

Định lý chỉ cho biết $c$ tồn tại, không cho biết $c$ ở đâu hay có duy nhất. Hàm gián đoạn có thể nhảy qua $N$ . Nếu $f$ liên tục trên $[a,b]$ và $f(a)$ , $f(b)$ trái dấu thì $f(x)=0$ có nghiệm trong $(a,b)$ .

The intermediate value theorem says that a continuous function going from one value to another must pass through every value in between. Let $f$ be continuous on $[a,b]$ , and let $N$ lie strictly between $f(a)$ and $f(b)$ , that is, $f(a)<N<f(b)$ or $f(b)<N<f(a)$ . Then there is at least one number $c$ in $(a,b)$ such that $f(c)=N$ . For example, $f(x)=x^2$ has $f(0)=0$ and $f(3)=9$ , so $f(c)=4$ has a solution in $(0,3)$ , namely $c=2$ .

The theorem only guarantees that $c$ exists; it does not say where $c$ is or whether it is unique. A discontinuous function can jump over $N$ . If $f$ is continuous on $[a,b]$ and $f(a)$ and $f(b)$ have opposite signs, then $f(x)=0$ has a solution in $(a,b)$ .

Ký hiệuNotation

• $f$ liên tục trên $[a,b]$
• $N$ nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$
•tồn tại $c\in[a,b]$ (hoặc $c\in(a,b)$ ) sao cho $f(c)=N$ . Đề AP thường viết là IVT.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{f\text{ continuous on }[a,b]}\ \text{and}\ \htmlClass{fp-1}{f(a)<N<f(b)}\ \Rightarrow\ \htmlClass{fp-2}{\exists\, c\in(a,b):\ f(c)=N}

Dùng chứng minh $f(x)=N$ có nghiệm trong khoảng $(a,b)$ mà không cần giải: $f$ liên tục và $N$ nằm giữa $f(a)$ , $f(b)$ .Use this to prove that $f(x)=N$ has a solution in $(a,b)$ without solving it: $f$ is continuous and $N$ lies between $f(a)$ and $f(b)$ .

Trong đóWhere

f

hàm số liên tục trên đoạn

[a,b]

[a,b]

đoạn đóng mà trên đó ta xét hàm số

N

giá trị cần đạt, nằm giữa

f(a)

và

f(b)

c

số trong khoảng

(a,b)

thỏa mãn

f(c)=N

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Có thể có nhiều hơn một điểm $c$ để $f(c)=N$ .

Định lý chỉ bảo đảm ít nhất một điểm. Đồ thị có thể cắt đường $y=N$ hai lần, ba lần hoặc nhiều hơn.

Hàm gián đoạn thì không được dùng định lý.

Đồ thị có thể nhảy qua đường $y=N$ mà không cắt nó, dù $f(a)$ và $f(b)$ nằm hai phía của $N$ .

Số $N$ phải nằm hẳn giữa $f(a)$ và $f(b)$ .

Nếu $N$ nằm ngoài khoảng đó, định lý không kết luận được gì. Hãy so sánh $N$ với hai giá trị này trước khi áp dụng.

There can be more than one point $c$ with $f(c)=N$ .

The theorem guarantees only at least one such point, and the graph may cross the line $y=N$ two, three, or more times.

The theorem cannot be applied to a discontinuous function.

The graph can jump across the line $y=N$ without touching it, even though $f(a)$ and $f(b)$ lie on opposite sides of $N$ .

The number $N$ must lie strictly between $f(a)$ and $f(b)$ .

If $N$ is outside that interval, the theorem tells you nothing, so compare $N$ with both values before applying it.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Bài tự luận phải nêu đủ ba ý: $f$ liên tục, giá trị hai đầu mút, kết luận.

Mỗi ý thường được chấm riêng, thiếu lý do liên tục là mất điểm. Nêu lý do cụ thể, như đa thức, hoặc phân thức có mẫu khác $0$ trên $[a,b]$ .

Đề hỏi phương trình nào chắc chắn có nghiệm thì đưa về dạng $f(x)=N$ .

Tính $f(a)$ , $f(b)$ rồi chọn phương trình có $N$ nằm hẳn giữa hai giá trị đó.

A free-response justification must state three things: $f$ is continuous, the endpoint values, and the conclusion.

Each is usually scored separately, so omitting the reason for continuity costs points. Give a specific reason, such as $f$ being a polynomial or a rational function whose denominator is nonzero on $[a,b]$ .

To decide which equation must have a solution, rewrite each one in the form $f(x)=N$ .

Compute $f(a)$ and $f(b)$ , then choose the equation whose $N$ lies strictly between those two values.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1817Bernard BolzanoAugustin-Louis CauchyJoseph-Louis LagrangeSimon StevinBryson xứ Heraclea

Bolzano đưa ra chứng minh đầu tiên năm 1817, và Cauchy nêu phát biểu cùng chứng minh hiện đại năm 1821, nhằm chặt chẽ hoá việc phân tích hàm số.

Bolzano gave the first proof in 1817, and Cauchy stated and proved the modern version in 1821, as part of making the analysis of functions rigorous.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung gian (IVT)Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXác nhận liên tục trên một khoảngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung gian (IVT)Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXác nhận liên tục trên một khoảngGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads tođịnh lý giá trị trung bìnhmean value theorem điểm gián đoạndiscontinuity

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

định lý giá trị trung bìnhmean value theorem

Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý giá trị trung gian khẳng định hàm liên tục nhận mọi giá trị giữa

f(a)

và

f(b)

. Định lý giá trị trung bình khẳng định tồn tại điểm có

f'(c)

bằng tỉ sai phân trên

[a,b]

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho hàm liên tục và hỏi có tồn tại

c

để

f(c)=k

thì dùng giá trị trung gian. Nếu đề nhắc đến

f'(c)

hoặc hệ số góc tiếp tuyến thì dùng giá trị trung bình.

định lý giá trị cực biênextreme value theorem

Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý giá trị trung gian đảm bảo hàm nhận mọi giá trị nằm giữa hai đầu mút. Định lý giá trị cực biên đảm bảo hàm có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đóng.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề hỏi một giá trị cụ thể

k

có được nhận hay không thì dùng giá trị trung gian. Khi đề hỏi hàm có đạt max hoặc min hay không thì dùng giá trị cực biên.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 154–155, 157.