AP Calculus BC

phân tích thành phân thức đơn giảnpartial fraction decomposition

partial fraction decompositionVietnamese: phân tích thành phân thức đơn giản

Còn gọi:Also called: partial fractions

Phân tích thành phân thức đơn giản (partial fraction decomposition) là cách viết hàm hữu tỉ thành tổng các phân thức mẫu bậc thấp để tìm nguyên hàm.Partial fraction decomposition is a method of rewriting a rational function as a sum of fractions with simpler denominators, which makes it possible to find an antiderivative.

Trực giác: Giống như tách $\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ : ta làm ngược phép quy đồng để được các phân thức đơn giản.Intuition: It works like splitting $\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ : you undo the common-denominator step to get simpler fractions.

Công thức chínhKey formula

\frac{x}{(x-2)(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{x^2+4}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phân tích thành phân thức đơn giản là cách làm ngược lại phép quy đồng. Ta tách $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , với $P(x)$ , $Q(x)$ là đa thức, thành tổng các phân thức có mẫu đơn giản hơn. Ví dụ: $\frac{5}{(x-1)(x+4)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+4}$ .

Nếu bậc tử không nhỏ hơn bậc mẫu, phải chia đa thức trước. Mẫu được phân tích thành thừa số bậc nhất và thừa số bậc hai không phân tích tiếp được. Thừa số lặp $r$ lần cần đủ $r$ số hạng, mẫu là các lũy thừa từ $1$ đến $r$ . Công thức $\frac{P(x)}{(x-a)^r}$ chỉ đúng khi bậc $P(x)$ nhỏ hơn $r$ .

Partial fraction decomposition reverses the process of finding a common denominator. It breaks $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , where $P(x)$ and $Q(x)$ are polynomials, into a sum of fractions with simpler denominators. For example, $\frac{5}{(x-1)(x+4)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+4}$ .

If the degree of the numerator is greater than or equal to the degree of the denominator, divide the polynomials first. The denominator is factored into linear factors and irreducible quadratic factors. A factor repeated $r$ times needs $r$ terms, with denominators that are the powers from $1$ up to $r$ . The form $\frac{P(x)}{(x-a)^r}$ is valid only when the degree of $P(x)$ is less than $r$ .

Ký hiệuNotation

•Dạng thường gặp: $\dfrac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}$
• $\dfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$ cho thừa số bậc hai bất khả quy
• $\int \dfrac{dx}{x-a}=\ln|x-a|+C$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\frac{x}{(x-2)(x^2+1)(x^2+4)}}=\htmlClass{fp-1}{\frac{A}{x-2}}+\htmlClass{fp-2}{\frac{Bx+C}{x^2+1}}+\htmlClass{fp-3}{\frac{Dx+E}{x^2+4}}

Dùng khi mẫu gồm thừa số bậc nhất và bậc hai bất khả quy khác nhau: tử lần lượt là hằng số và $Bx+C$ .Use this when the denominator has distinct linear factors and irreducible quadratic factors: the numerators are a constant and $Bx+C$ , respectively.

Trong đóWhere

A

hằng số cần tìm, ứng với thừa số

x-2

B,\ C

hai hằng số cần tìm, ứng với thừa số

x^2+1

D,\ E

hai hằng số cần tìm, ứng với thừa số

x^2+4

\htmlClass{fp-0}{\frac{P(x)}{(x-a)^r}}=\htmlClass{fp-1}{\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\htmlClass{fp-2}{\frac{A_r}{(x-a)^r}}}

Dùng khi mẫu có thừa số bậc nhất lặp $r$ lần: viết đủ $r$ số hạng, từ lũy thừa 1 đến $r$ .Use this when the denominator has a linear factor repeated $r$ times: write all $r$ terms, with powers from $1$ up to $r$ .

Trong đóWhere

P(x)

đa thức ở tử, có bậc nhỏ hơn

r

a

nghiệm của thừa số bậc nhất bị lặp

r

số lần thừa số

x-a

lặp lại trong mẫu

A_k

hằng số cần tìm của số hạng có mẫu

(x-a)^k

, với

k=1,\dots,r

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Bậc tử không nhỏ hơn bậc mẫu thì phải chia đa thức trước.

Với $\frac{x^2}{x^2-1}$ , viết $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$ là sai, vì khi $x$ rất lớn vế trái gần $1$ , vế phải gần $0$ . Đúng là $1+\frac{1}{x^2-1}$ , rồi mới tách.

Thừa số lặp $(x-1)^2$ cần hai số hạng, không phải một.

Viết $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$ . Mỗi lũy thừa từ $1$ đến số mũ có một số hạng, nên $(x-1)^3$ cần ba số hạng.

Thừa số bậc hai không phân tích tiếp được cần tử $Bx+C$ , không phải hằng số.

Với $x^2+1$ , viết $\frac{Bx+C}{x^2+1}$ . Tử có thể có bậc $1$ , nên phải có cả $Bx$ lẫn $C$ .

Polynomial division must come first when the numerator's degree is at least the denominator's degree.

For $\frac{x^2}{x^2-1}$ , writing $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$ is wrong: for large $x$ the left side approaches $1$ while the right side approaches $0$ . The correct first step is $1+\frac{1}{x^2-1}$ , and only then decompose.

A repeated factor $(x-1)^2$ needs two terms, not one.

Write $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$ . Each power from $1$ up to the exponent gets its own term, so $(x-1)^3$ needs three terms.

An irreducible quadratic factor needs a numerator of the form $Bx+C$ , not a constant.

For $x^2+1$ , write $\frac{Bx+C}{x^2+1}$ . The numerator can have degree $1$ , so both $Bx$ and $C$ must be included.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Thừa số bậc nhất không lặp thì thay $x$ bằng nghiệm của mẫu để tìm hệ số.

Từ $\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$ ta có $5x+1=A(x+2)+B(x-1)$ . Đặt $x=1$ ra $A=2$ , đặt $x=-2$ ra $B=3$ . Thử $x=0$ : hai vế cùng bằng $1$ .

Giải phương trình logistic ở phần BC cần tách phân thức.

Với $\frac{dP}{dt}=P(1-P)$ , tách biến được $\int\frac{dP}{P(1-P)}$ . Vì $\frac{1}{P(1-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{1-P}$ , tích phân thành hai logarit.

For distinct linear factors, substitute the roots of the denominator to find the coefficients.

From $\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$ we get $5x+1=A(x+2)+B(x-1)$ . Setting $x=1$ gives $A=2$ , and setting $x=-2$ gives $B=3$ . As a check, at $x=0$ both sides equal $1$ .

Solving the logistic differential equation in AP Calculus BC requires partial fractions.

For $\frac{dP}{dt}=P(1-P)$ , separating variables gives $\int\frac{dP}{P(1-P)}$ . Since $\frac{1}{P(1-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{1-P}$ , the integral becomes two logarithms.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1702Johann BernoulliGottfried Leibniz

Johann Bernoulli và Gottfried Leibniz phát hiện độc lập kỹ thuật này vào năm 1702, để biến phân thức hữu tỉ phức tạp thành tổng các phân thức có mẫu đơn giản hơn.

Johann Bernoulli and Gottfried Leibniz independently discovered this technique in 1702 as a way to turn a complicated rational function into a sum of fractions with simpler denominators.

Nguồn đối chiếuSources

Thử nghiệm tương tácInteractive explorer

Kéo A, B cho tổng hai phân thức khít với đường gốc

Kéo tham số, thấy khái niệm chuyển động — đăng nhập để mở.Drag the parameters and watch the concept move — sign in to open.

Tạo tài khoảnCreate an account

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhân tích phân thức hữu tỉ khi mẫu số có nhân tử tuyến tính phân biệtTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn kỹ thuật tìm nguyên hàmTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân bằng phép chia đa thức và phần bù bình phươngTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthàm số phân thức hữu tỉrational function bậc của đa thứcdegree

Dẫn tớiLeads totích phân bất địnhindefinite integral phương trình vi phân logisticlogistic differential equation

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương pháp đổi biến sốintegration by substitution

Khác nhau ở đâuHow they differPhân tích thành phân thức đơn giản viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các phân thức. Đổi biến số thay biểu thức bên trong bằng biến mới để đưa về nguyên hàm quen thuộc.

Hay nhầm khiMixed up whenVới

\int \dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx

, đổi biến không đưa được về dạng quen thuộc, phải tách phân thức. Với

\int \dfrac{2x}{x^2+1}\,dx

, tử là đạo hàm của mẫu nên đổi biến

u=x^2+1

là đủ.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 529, 531, 533.