AP Calculus BCAP Calculus AB

hệ đại số máy tínhcomputer algebra system

computer algebra systemVietnamese: hệ đại số máy tính

Còn gọi:Also called: CAS

Hệ đại số máy tính (computer algebra system) là phần mềm xử lý biểu thức chữ, giải phương trình, tính đạo hàm và nguyên hàm ra công thức.A computer algebra system is software that manipulates symbolic expressions, solves equations, and finds derivatives and antiderivatives as formulas.

Trực giác: CAS giống một trợ lý đại số rất nhanh tay, gánh phần biến đổi chữ nghĩa rườm rà để bạn dành sức nghĩ xem bài toán thật sự đang hỏi gì.Intuition: A CAS is like a very fast algebra assistant that handles the tedious symbolic manipulation so you can spend your effort on what the problem is really asking.

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hệ đại số máy tính (computer algebra system, CAS) là phần mềm, hoặc chức năng trên một số máy tính cầm tay, làm việc với biểu thức có chữ giống như em làm trên giấy. Ví dụ: nhập $x^2-1$ , CAS trả về $(x-1)(x+1)$ . CAS cũng giải phương trình có tham số và tìm nguyên hàm dạng công thức.

Có hàm không có nguyên hàm viết được bằng hàm sơ cấp, như $e^{-x^2}$ . Khi đó CAS có thể dùng hàm đặc biệt $\operatorname{erf}$ (hàm sai số): $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)$ , hoặc cho số xấp xỉ $0{,}747$ . Ở AP, CAS chỉ để kiểm tra bài làm tay, không thay các bước giải ở bài tự luận.

A computer algebra system (CAS) is software, or a feature on some handheld calculators, that works with expressions containing variables the way you would on paper. For example, if you enter $x^2-1$ , a CAS returns $(x-1)(x+1)$ . A CAS can also solve equations with parameters and find antiderivatives as formulas.

Some functions, such as $e^{-x^2}$ , have no antiderivative that can be written with elementary functions. In that case, a CAS may use the special function $\operatorname{erf}$ (the error function): $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(1)$ , or it may give the approximation $0.747$ . In AP courses, a CAS is only for checking handwritten work and never replaces the steps you must show on free-response questions.

Ký hiệuNotation

•CAS
•các lệnh hay gặp: solve (giải phương trình), factor (phân tích nhân tử), expand (khai triển), d/dx (đạo hàm), ∫ (tích phân hay nguyên hàm).

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Máy ra đáp số chưa chắc được trọn điểm.

Bài tự luận chấm theo lập luận viết trên giấy. Dù CAS tìm nguyên hàm hay giải phương trình vi phân, em vẫn phải viết các bước dẫn tới kết quả.

Nguyên hàm máy trả về có thể thiếu $+C$ hoặc dấu giá trị tuyệt đối.

Với $\int \dfrac{1}{x}\,dx$ , có máy chỉ hiện $\ln x$ . Bài làm đúng ghi $\ln|x|+C$ . Thiếu $+C$ làm hỏng bài phương trình vi phân, vì điều kiện ban đầu dùng để tìm $C$ .

Đừng tin máy khi tích phân có cận vô hạn hoặc hàm gián đoạn.

Máy có thể cho số gần đúng dù tích phân phân kỳ, hoặc báo lỗi dù nó hội tụ. Em tự viết giới hạn, như $\lim_{b\to\infty}\int_1^b f(x)\,dx$ , với $f(x)$ là hàm dưới dấu tích phân.

A calculator's answer does not guarantee full credit.

Free-response questions are scored on the reasoning you write on paper. Whether a CAS finds an antiderivative or solves a differential equation, you must still show the steps that lead to the result.

An antiderivative returned by a CAS may be missing $+C$ or absolute value bars.

For $\int \dfrac{1}{x}\,dx$ , some calculators display only $\ln x$ , but the correct answer is $\ln|x|+C$ . Leaving out $+C$ ruins a differential equation problem, because the initial condition is used to find $C$ .

Do not trust a CAS with integrals that have infinite limits or discontinuous integrands.

It may return a numerical value even though the integral diverges, or report an error even though it converges. Write the limit yourself, such as $\lim_{b\to\infty}\int_1^b f(x)\,dx$ , where $f(x)$ is the integrand.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trong bài tự luận AP, viết tích phân hoặc phương trình đã lập ra giấy trước khi ghi kết quả của máy.

Chỉ ghi một con số thì dễ mất điểm phần thiết lập. Điểm thường nằm ở cận, hàm dưới dấu tích phân và đáp số cuối.

Không chép cú pháp của máy vào bài làm, và không làm tròn giữa chừng.

Viết kí hiệu toán học như $\int$ , $f'(x)$ . Lưu kết quả trung gian vào bộ nhớ, chỉ làm tròn đến ba chữ số thập phân ở đáp số cuối.

On AP free-response questions, write the integral or equation you set up on paper before stating the calculator's result.

Giving only a number can cost you the setup points. Credit usually goes to the limits, the integrand, and the final answer.

Do not copy calculator syntax into your work, and do not round in the middle of a calculation.

Write standard mathematical notation such as $\int$ and $f'(x)$ . Store intermediate results in the calculator's memory and round to three decimal places only in the final answer.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

thập niên 1960 (máy tính cầm tay CAS đầu tiên: 1987)

Từ thập niên 1960, các nhà vật lí lí thuyết, nhà nghiên cứu trí tuệ nhân tạo và nhà toán học phát triển riêng rẽ CAS để máy biến đổi biểu thức như người tính tay.

Beginning in the 1960s, theoretical physicists, artificial intelligence researchers, and mathematicians independently developed CAS software so that computers could manipulate expressions the way a person does by hand.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "hệ đại số máy tính" ghép từ ba phần: máy tính, đại số và hệ thống. Phần đáng chú ý nhất là chữ "đại số", vì nó dẫn thẳng về thế kỷ 9. Từ "algebra" bắt nguồn từ chữ Ả Rập al-jabr trong tên cuốn sách của nhà toán học Ba Tư al-Khwarizmi, và chữ này được dịch là "khôi phục", "hoàn thành" hoặc "rút gọn". Ban đầu al-jabr chỉ một thao tác cụ thể là chuyển các số hạng âm sang vế bên kia của phương trình. Nó đi cặp với al-muqabala, nghĩa là "cân bằng", và hai thao tác này cùng tạo thành phương pháp cô lập ẩn số. Vì vậy, chữ "đại số" trong tên phần mềm mang đúng tinh thần ấy: máy không chỉ tính ra con số mà còn biến đổi biểu thức theo cách giống người làm toán thủ công. Cũng vì lẽ đó, loại phần mềm này còn được gọi là hệ đại số ký hiệu (symbolic algebra system), và lĩnh vực nghiên cứu đứng sau nó gọi là tính toán ký hiệu (symbolic computation). Thú vị là thuật toán (algorithm) cũng bắt nguồn từ tên al-Khwarizmi: từ này vốn chỉ cách viết số thập phân do ông giới thiệu và được tạo ra từ dạng Latinh của tên ông.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn kỹ thuật tìm nguyên hàmTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhác họa đồ thị hàm số từ dấu của đạo hàmỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn kỹ thuật tìm nguyên hàmTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhác họa đồ thị hàm số từ dấu của đạo hàmỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral đạo hàmderivative

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tích phân sốnumerical integration

Khác nhau ở đâuHow they differHệ đại số máy tính biến đổi biểu thức theo kí hiệu và có thể cho nguyên hàm dạng công thức. Tích phân số chỉ cho một giá trị gần đúng của tích phân xác định.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề yêu cầu "tìm nguyên hàm" hay "viết biểu thức" thì cần kết quả kí hiệu, còn đề yêu cầu giá trị của tích phân xác định bằng máy tính thì chỉ cần giá trị số làm tròn đến ba chữ số thập phân.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 7, 16, 60.