AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số lẻodd function

odd functionVietnamese: hàm số lẻ

Hàm số lẻ (odd function) là hàm số có tập xác định đối xứng qua 0 và f(−x) = −f(x) với mọi x trong đó, nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.An odd function is a function whose domain is symmetric about 0 and for which f(−x) = −f(x) for every x in the domain, so its graph is symmetric about the origin.

Trực giác: Xoay đồ thị nửa vòng (180°) quanh gốc tọa độ, hình nhận được vẫn y nguyên như ban đầu.Intuition: Rotate the graph 180° about the origin, and the resulting picture is identical to the original.

Công thức chínhKey formula

f(-x)=-f(x)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số lẻ là hàm $f$ mà khi đổi dấu $x$ thì $f(x)$ đổi dấu theo, còn độ lớn giữ nguyên: $f(-x)=-f(x)$ . Với $f(x)=x^3$ , ta có $f(-2)=-8=-f(2)$ .

Điều kiện: nếu $x$ thuộc tập xác định thì $-x$ cũng phải thuộc tập đó. Nếu $0$ thuộc tập xác định thì $f(0)=0$ . Ví dụ hàm lẻ: $x$ , $x^5+x$ , $\sin x$ . Hàm $x^2$ là hàm số chẵn. Hàm $2x-x^2$ không chẵn, không lẻ.

An odd function is a function $f$ for which changing the sign of $x$ changes the sign of $f(x)$ while leaving its magnitude unchanged: $f(-x)=-f(x)$ . For $f(x)=x^3$ , $f(-2)=-8=-f(2)$ .

The domain must also be symmetric: if $x$ is in the domain, then $-x$ must be too. If $0$ is in the domain, then $f(0)=0$ . Examples of odd functions include $x$ , $x^5+x$ , and $\sin x$ . The function $x^2$ is even, and $2x-x^2$ is neither even nor odd.

Ký hiệuNotation

• $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định
•đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $O(0,0)$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(-x)}=\htmlClass{fp-1}{-f(x)}}

Dùng để kiểm tra hàm có lẻ không: xác nhận tập xác định đối xứng qua $0$ , thay $-x$ vào, rút gọn rồi so với $-f(x)$ .Use this to test whether a function is odd: confirm that the domain is symmetric about $0$ , substitute $-x$ , simplify, and compare the result with $-f(x)$ .

Trong đóWhere

f

hàm số đang xét

x

một số bất kì thuộc tập xác định của

f

, với điều kiện

-x

cũng thuộc tập xác định

f(-x)

giá trị của hàm số khi thay

x

bằng

-x

-f(x)

số đối của giá trị

f(x)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ, không phải qua trục tung.

Đối xứng qua trục tung là dấu hiệu của hàm chẵn. Với hàm lẻ, điểm $(x,y)$ thuộc đồ thị thì điểm $(-x,-y)$ cũng thuộc đồ thị.

Hàm số không chẵn thì chưa chắc là hàm số lẻ.

Còn loại thứ ba: không chẵn, không lẻ. Ví dụ $f(x)=x^3+1$ có $f(-x)=-x^3+1$ , khác cả $f(x)$ lẫn $-f(x)$ .

Thử vài giá trị $x$ thỏa $f(-x)=-f(x)$ chưa đủ để kết luận hàm số lẻ.

Đẳng thức phải đúng với mọi $x$ thuộc tập xác định. Vì vậy hãy tính $f(-x)$ với $x$ tổng quát và kiểm tra tập xác định đối xứng qua $0$ .

The graph of an odd function is symmetric about the origin, not about the y-axis.

Symmetry about the y-axis characterizes even functions. For an odd function, if the point $(x,y)$ is on the graph, then so is $(-x,-y)$ .

A function that is not even is not necessarily odd.

There is a third possibility: neither even nor odd. For example, $f(x)=x^3+1$ has $f(-x)=-x^3+1$ , which equals neither $f(x)$ nor $-f(x)$ .

Checking a few values of $x$ that satisfy $f(-x)=-f(x)$ does not prove a function is odd.

The equation must hold for every $x$ in the domain. So compute $f(-x)$ for a general $x$ and verify that the domain is symmetric about $0$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết rõ phép tính $f(-x)$ , rồi so với cả $f(x)$ lẫn $-f(x)$ .

Kết luận không kèm phép tính dễ mất điểm. Để kết luận không chẵn, không lẻ, chỉ ra một giá trị $x$ làm sai $f(-x)=f(x)$ và một giá trị làm sai $f(-x)=-f(x)$ (có thể trùng nhau).

Gặp tích phân trên $[-a,a]$ , hãy kiểm tra hàm dưới dấu tích phân có lẻ không.

Nếu $f$ liên tục và là hàm lẻ thì $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0$ , vì diện tích có dấu hai bên triệt tiêu. Ghi rõ " $f$ là hàm lẻ" trước khi kết luận. Cách này khỏi tìm nguyên hàm.

Show the computation of $f(-x)$ and compare it with both $f(x)$ and $-f(x)$ .

A conclusion without work can lose points. To show a function is neither even nor odd, exhibit one value of $x$ that violates $f(-x)=f(x)$ and one that violates $f(-x)=-f(x)$ (they may be the same value).

When you see an integral over $[-a,a]$ , check whether the integrand is odd.

If $f$ is continuous and odd, then $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0$ , because the signed areas on the two sides cancel. State " $f$ is odd" before concluding. This avoids finding an antiderivative.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1727Leonhard Euler

Leonhard Euler đưa ra khái niệm hàm số chẵn và hàm số lẻ vào năm 1727, dùng hai từ Latin "pares" và "impares". Ban đầu khái niệm này dùng để phân loại các hàm lũy thừa theo tính chẵn lẻ của số mũ.

Leonhard Euler introduced the concepts of even and odd functions in 1727, using the Latin words "pares" and "impares". The concepts were originally used to classify power functions by whether their exponents are even or odd.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "hàm số lẻ" (odd function) bắt nguồn từ tính chẵn lẻ (parity) của số mũ, hoặc của tử số trong số mũ, ở hàm lũy thừa. Euler nhìn $x^n$ và thấy rằng khi $n$ là số lẻ thì hàm mang tính chất đặc trưng của họ "lẻ", còn khi $n$ là số chẵn thì hàm thuộc họ "chẵn". Vì vậy, từ "lẻ" ban đầu mô tả số mũ chứ không mô tả hình dạng đồ thị. Sau này, định nghĩa được mở rộng cho mọi hàm có tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ và thỏa $f(-x)=-f(x)$ , tức là đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Ngay cả khi đó, tên gọi vẫn giữ nguyên dấu vết lịch sử của các lũy thừa lẻ như $x$ , $x^3$ , $x^5$ . Điều này giải thích vì sao tên "lẻ" có thể gây bối rối với những hàm không phải lũy thừa. Chẳng hạn, nguồn cho biết các hàm siêu việt (transcendental function) không xuất hiện trong bài viết năm 1727 của Euler.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính chất của tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhác họa đồ thị hàm số từ dấu của đạo hàmỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính chất của tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhác họa đồ thị hàm số từ dấu của đạo hàmỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction tập xác địnhdomain

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral

So vớiComparehàm số chẵneven function

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số chẵneven function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số lẻ thỏa

f(-x)=-f(x)

và có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Hàm số chẵn thỏa

f(-x)=f(x)

và có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi tính

\int_{-a}^{a} f(x)\,dx

: hàm số lẻ cho kết quả bằng 0, còn hàm số chẵn cho kết quả bằng

2\int_0^a f(x)\,dx

. Ngoài ra, một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ, chẳng hạn

x+1

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 50, 55, 87.