AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số chẵneven function

even functionVietnamese: hàm số chẵn

Hàm số chẵn (even function) là hàm cho cùng một giá trị tại hai số đối nhau, nên đồ thị đối xứng qua trục tung.An even function is a function that takes the same value at any two opposite numbers $x$ and $-x$ , so its graph is symmetric about the y-axis.

Trực giác: Gập tờ giấy có đồ thị theo trục tung: nửa trái và nửa phải trùng khít nhau.Intuition: Fold the sheet of paper with the graph along the y-axis: the left and right halves coincide exactly.

Công thức chínhKey formula

f(-x)=f(x)\quad \forall x \in D

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số chẵn (even function) là hàm cho cùng một giá trị tại hai số đối nhau $x$ và $-x$ . Ví dụ $f(x)=x^2$ có $f(-3)=f(3)=9$ . Các hàm chẵn quen thuộc khác: $|x|$ , $\cos x$ , $x^4$ . Chỉ cần biết phần $x\ge 0$ là vẽ được cả đồ thị.

Gọi $D$ là tập xác định của $f$ . Hàm $f$ chẵn khi với mọi $x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=f(x)$ . Ví dụ hàm chỉ xác định trên $[0,5]$ không chẵn, vì $5\in D$ nhưng $-5\notin D$ . Nếu $f$ chẵn và liên tục trên $[-a,a]$ (với $a>0$ ) thì $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$ .

An even function is a function that gives the same output at opposite inputs $x$ and $-x$ . For example, $f(x)=x^2$ has $f(-3)=f(3)=9$ . Other familiar even functions include $|x|$ , $\cos x$ , and $x^4$ . Knowing the part where $x\ge 0$ is enough to draw the entire graph.

Let $D$ be the domain of $f$ . The function $f$ is even if, for every $x\in D$ , both $-x\in D$ and $f(-x)=f(x)$ . For example, a function defined only on $[0,5]$ is not even, because $5\in D$ but $-5\notin D$ . If $f$ is even and continuous on $[-a,a]$ (with $a>0$ ), then $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$ .

Ký hiệuNotation

• $f(-x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định
•đồ thị đối xứng qua trục $Oy$
• $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

f(-x)=f(x)\quad \forall x \in D

Dùng để kiểm tra hàm chẵn: tính $f(-x)$ , rút gọn rồi so với $f(x)$ ; tập xác định cũng phải đối xứng qua $0$ .Use this to test whether a function is even: compute $f(-x)$ , simplify, and compare it with $f(x)$ ; the domain must also be symmetric about $0$ .

Trong đóWhere

f

hàm số đang xét

x

biến số, một giá trị bất kì thuộc tập xác định của

f

-x

giá trị đối của

x

; phải cũng thuộc tập xác định thì phép so sánh mới có nghĩa

D

tập xác định của hàm số

f

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Thử vài giá trị $x$ chưa đủ để kết luận hàm chẵn.

Đẳng thức $f(-x)=f(x)$ phải đúng với mọi $x$ trong tập xác định. Ví dụ $f(x)=x^3-x^2$ có $f(1)=0$ nhưng $f(-1)=-2$ , nên $f$ không chẵn.

Tập xác định không đối xứng qua $0$ thì hàm không chẵn, dù biểu thức trông chẵn.

Định nghĩa đòi hỏi $x$ thuộc tập thì $-x$ cũng thuộc. Ví dụ $f(x)=x^2$ chỉ xét trên $[-1,3]$ : $f(3)$ có nghĩa còn $f(-3)$ thì không.

Tại hai điểm đối xứng, hàm chẵn có độ dốc đối nhau.

Nếu $f$ chẵn, có đạo hàm và $f'(a)=m$ thì $f'(-a)=-m$ . Phép đối xứng lật chiều ngang nên độ dốc đổi dấu. Ví dụ $f(x)=x^2$ có $f'(1)=2$ và $f'(-1)=-2$ .

Checking a few values of $x$ is not enough to conclude that a function is even.

The equation $f(-x)=f(x)$ must hold for every $x$ in the domain. For example, $f(x)=x^3-x^2$ has $f(1)=0$ but $f(-1)=-2$ , so $f$ is not even.

A function whose domain is not symmetric about $0$ is not even, even if its formula looks even.

The definition requires that whenever $x$ is in the domain, $-x$ is too. For example, if $f(x)=x^2$ is considered only on $[-1,3]$ , then $f(3)$ is defined but $f(-3)$ is not.

An even function has opposite slopes at two symmetric points.

If $f$ is even and differentiable with $f'(a)=m$ , then $f'(-a)=-m$ . The reflection flips the horizontal direction, so the slope changes sign. For example, $f(x)=x^2$ has $f'(1)=2$ and $f'(-1)=-2$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Hàm chẵn: biết một phía là suy ra phía kia.

Có $f(3)$ thì có ngay $f(-3)$ . Với tích phân, $\int_{-a}^{a} f=2\int_0^a f$ (với $a>0$ , $f$ liên tục), nên chỉ cần tính một phía.

Chứng minh hàm chẵn: kiểm tra tập xác định, rồi viết $f(-x)=\dots=f(x)$ .

Thay $-x$ vào và rút gọn đến đúng $f(x)$ . Một cặp điểm như $f(-2)=f(2)$ chưa đủ để kết luận.

For an even function, knowing one side tells you the other side.

If you know $f(3)$ , you immediately know $f(-3)$ . For integrals, $\int_{-a}^{a} f=2\int_0^a f$ (with $a>0$ and $f$ continuous), so you only need to compute one side.

To prove a function is even, check the domain first, then write $f(-x)=\dots=f(x)$ .

Substitute $-x$ and simplify until you get exactly $f(x)$ . A single pair of points such as $f(-2)=f(2)$ is not enough to conclude.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1727Leonhard EulerIsaac Newton

Năm 1727, trong công trình Traiectoriarum Reciprocarum Solutio, Leonhard Euler đưa ra khái niệm hàm số chẵn và hàm số lẻ với các thuật ngữ Latin pares và impares.

In 1727, in his work Traiectoriarum Reciprocarum Solutio, Leonhard Euler introduced the concepts of even and odd functions, using the Latin terms pares and impares.

Vì sao mang đúng cái tên này? Hai tên gọi "chẵn" và "lẻ" do Euler đặt, xuất phát từ tính chẵn lẻ (parity) của số mũ, hoặc của tử số, trong biểu thức của hàm số. Ví dụ rõ nhất là hàm lũy thừa $f(x)=x^n$ : hàm này là hàm số chẵn khi $n$ là số nguyên chẵn, và là hàm số lẻ (odd function) khi $n$ là số nguyên lẻ. Vì vậy, tên gọi không bắt nguồn từ hình dạng đồ thị mà từ chính các lũy thừa chẵn như $x^2, x^4$ . Đồ thị đối xứng qua trục tung là hệ quả được nhận ra về sau. Euler viết bằng tiếng Latin nên dùng các từ pares và impares cho hai loại hàm này.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn giải tích: biến thiên có xảy ra tại một khoảnh khắc?Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính chất của tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhác họa đồ thị hàm số từ dấu của đạo hàmỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn giải tích: biến thiên có xảy ra tại một khoảnh khắc?Giới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính chất của tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhác họa đồ thị hàm số từ dấu của đạo hàmỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsttập xác địnhdomain đồ thị của hàm sốgraph of a function

Dẫn tớiLeads totích phân xác địnhdefinite integral

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm số lẻodd function

Khác nhau ở đâuHow they differHàm chẵn thỏa

f(-x)=f(x)

và có đồ thị đối xứng qua trục tung. Hàm lẻ thỏa

f(-x)=-f(x)

và có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi tính

\int_{-a}^{a} f(x)\,dx

: hàm lẻ cho kết quả bằng 0, còn hàm chẵn cho gấp đôi tích phân từ 0 đến

a

. Nhiều thí sinh lẫn hai trường hợp này.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 49, 54–55.