AP Calculus BC

tổng diện tíchtotal area

total areaVietnamese: tổng diện tích

Tổng diện tích (total area) là diện tích thật của miền giữa đồ thị hàm số và trục hoành, trong đó phần nằm dưới trục cũng được tính là số dương.Total area is the actual area of the region between the graph of a function and the x-axis, with portions below the axis counted as positive.

Trực giác: Giống như đếm tổng quãng đường bạn đã đi bộ, dù lúc đi tới hay đi lùi, mỗi bước đều được cộng vào chứ không trừ ra.Intuition: It is like counting the total distance you walked, whether going forward or backward: every step adds to the total rather than subtracting from it.

Công thức chínhKey formula

A=\int_a^b |f(x)|\,dx

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tổng diện tích (total area) là diện tích thật của miền giữa đồ thị $y=f(x)$ và trục $Ox$ , với $x$ chạy từ $a$ đến $b$ . Phần nằm dưới trục cũng được tính là số dương.

Tích phân $\int_a^b f(x)\,dx$ thì khác, vì phần dưới trục mang dấu âm. Ví dụ, $\sin x$ trên $[0,2\pi]$ có tích phân bằng $0$ , nhưng tổng diện tích bằng $4$ . Với $c$ là điểm đổi dấu duy nhất trong $(a,b)$ , nếu $f\ge 0$ trên $[a,c]$ và $f\le 0$ trên $[c,b]$ thì $A=\int_a^c f\,dx-\int_c^b f\,dx$ . Tổng quát, giải $f(x)=0$ , tách đoạn theo dấu của $f$ , rồi lấy $\int f$ ở đoạn $f\ge 0$ và $-\int f$ ở đoạn $f\le 0$ .

Total area is the actual area of the region between the graph of $y=f(x)$ and the $x$ -axis for $x$ from $a$ to $b$ . Portions below the axis are counted as positive.

This differs from the definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$ , in which portions below the axis are negative. For example, the integral of $\sin x$ over $[0,2\pi]$ is $0$ , but the total area is $4$ . If $c$ is the only sign change in $(a,b)$ , with $f\ge 0$ on $[a,c]$ and $f\le 0$ on $[c,b]$ , then $A=\int_a^c f\,dx-\int_c^b f\,dx$ . In general, solve $f(x)=0$ , split the interval according to the sign of $f$ , and then take $\int f$ where $f\ge 0$ and $-\int f$ where $f\le 0$ .

Ký hiệuNotation

• $A=\int_a^b |f(x)|\,dx$
•với hàm đổi dấu tại $c$ : $A=\int_a^c f(x)\,dx-\int_c^b f(x)\,dx$ khi $f\ge 0$ trên $[a,c]$ và $f\le 0$ trên $[c,b]$ .

Đơn vịUnitsĐơn vị diện tích (bình phương đơn vị độ dài), hoặc tích của đơn vị trục tung và trục hoành nếu đề đặt trong ngữ cảnh ứng dụng.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

A=\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-1}{\int_a^b}\htmlClass{fp-0}{|f(x)|}\,dx}

Dùng khi đề hỏi tổng diện tích giữa $y=f(x)$ và trục $Ox$ trên $[a,b]$ , nhất là khi $f$ đổi dấu.Use this when a problem asks for the total area between $y=f(x)$ and the $x$ -axis on $[a,b]$ , especially when $f$ changes sign.

Trong đóWhere

A

tổng diện tích giữa đồ thị

y=f(x)

và trục hoành trên

[a,b]

f(x)

hàm số liên tục trên

[a,b]

, có thể đổi dấu

a,\ b

cận dưới và cận trên của đoạn lấy tích phân

A=\htmlClass{fp-0}{\int_a^c f(x)\,dx}\htmlClass{fp-1}{-\int_c^b f(x)\,dx}

Dùng khi $f\ge0$ trên $[a,c]$ và $f\le0$ trên $[c,b]$ ; nhiều điểm đổi dấu thì tách thêm đoạn, đoạn $f\le0$ mang dấu trừ.Use this when $f\ge0$ on $[a,c]$ and $f\le0$ on $[c,b]$ . With more sign changes, split into additional intervals, and put a minus sign on each interval where $f\le0$ .

Trong đóWhere

c

điểm trong

(a,b)

mà tại đó

f

đổi dấu, thường là nghiệm của

f(x)=0

A

tổng diện tích giữa đồ thị và trục hoành trên

[a,b]

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Tích phân $\int_a^b f(x)\,dx$ chưa chắc là tổng diện tích khi đồ thị đổi dấu.

Phần dưới trục mang dấu âm nên có thể triệt tiêu phần trên. Hãy giải $f(x)=0$ , tách đoạn tại điểm đổi dấu rồi cộng các phần dương.

Không tính một lần $\int_a^b (f-g)\,dx$ khi đồ thị của hai hàm $f,g$ cắt nhau bên trong khoảng.

Hiệu $f-g$ đổi dấu nên các phần bù trừ nhau và có thể ra số âm. Hãy tách tại giao điểm rồi tính từng phần dương.

The integral $\int_a^b f(x)\,dx$ is not necessarily the total area when the graph changes sign.

The portion below the axis is negative, so it can cancel the portion above. Solve $f(x)=0$ , split the interval at the sign changes, and add the positive pieces.

Do not compute $\int_a^b (f-g)\,dx$ in one step when the graphs of $f$ and $g$ cross inside the interval.

The difference $f-g$ changes sign, so the pieces offset each other and the result can even be negative. Split at the intersection points and compute each positive piece separately.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết đầy đủ tích phân (cận và biểu thức) trước khi bấm máy tính.

Ở phần được dùng máy tính, điểm nằm ở bước thiết lập. Nếu hai đường cắt nhau, hãy lưu nghiệm vào biến và dùng biến làm cận để khỏi làm tròn sớm.

Dùng tính chất "tổng diện tích không bao giờ âm" để tự kiểm tra.

Kết quả âm, hoặc bằng $0$ khi miền rõ ràng có diện tích, thường do đồ thị đổi dấu. Hãy tìm điểm đổi dấu và tách tích phân thành nhiều phần.

Write the complete integral, with limits and integrand, before using your calculator.

On calculator-active parts, the setup earns the points. If two curves intersect, store the solutions in variables and use those variables as limits to avoid rounding early.

Use the fact that total area is never negative as a self-check.

A negative result, or $0$ when the region clearly has area, usually means the graph changes sign. Find the sign changes and split the integral into several parts.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

khoảng 225 TCNEudoxusArchimedesIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibniz

Người Hy Lạp cổ đại giải bài toán diện tích miền có biên cong bằng phương pháp vét kiệt; cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz đưa nó vào khuôn khổ giải tích.

Ancient Greeks found areas of regions with curved boundaries using the method of exhaustion; in the late 17th century, Newton and Leibniz brought the problem into the framework of calculus.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTính chất của tích phân xác địnhTích phân & tích lũy biến thiên · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiện tích giữa các đường cong theo hàm của xỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDiện tích giữa các đường cong cắt nhau tại nhiều hơn hai điểmỨng dụng của tích phân · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthàm số giá trị tuyệt đốiabsolute value function

Dẫn tớiLeads tođịnh lý cơ bản của giải tíchfundamental theorem of calculus

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tích phân xác địnhdefinite integral

Khác nhau ở đâuHow they differTích phân xác định

\int_a^b f(x)\,dx

trừ phần diện tích dưới trục hoành. Tổng diện tích

\int_a^b |f(x)|\,dx

cộng mọi phần như nhau.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "diện tích miền giới hạn bởi đồ thị và trục

x

" mà hàm đổi dấu trên

[a,b]

: nếu tính thẳng

\int_a^b f(x)\,dx

thì các phần bù trừ nhau và kết quả sai.

tổng quãng đường đi đượctotal distance traveled

Khác nhau ở đâuHow they differTổng diện tích là diện tích hình học giữa đồ thị

y=f(x)

và trục hoành. Tổng quãng đường là tích phân

\int_a^b |v(t)|\,dt

của tốc độ theo thời gian.

Hay nhầm khiMixed up whenCho đồ thị vận tốc

v(t)

rồi hỏi "quãng đường vật đi được" hay "độ dời": quãng đường dùng diện tích tuyệt đối, độ dời dùng diện tích có dấu.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 369–370, 419.