AP Calculus BC

cận sai số chuỗi đan dấualternating series error bound

alternating series error boundVietnamese: cận sai số chuỗi đan dấu

Còn gọi:Also called: alternating series remainder

Cận sai số chuỗi đan dấu (alternating series error bound) là mức sai số tối đa khi dùng tổng riêng, không vượt quá số hạng đầu tiên bị bỏ.The alternating series error bound is the maximum error made when a partial sum approximates a convergent alternating series: the error is at most the first omitted term.

Trực giác: Đi tới rồi lùi với mỗi bước ngắn hơn bước trước, dừng ở đâu thì khoảng cách còn lại đến đích cũng không dài hơn bước kế tiếp.Intuition: Picture walking forward, then back, with each step shorter than the one before. Wherever you stop, the remaining distance to your destination is no longer than the next step.

Công thức chínhKey formula

|S-S_n| \le a_{n+1}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Với chuỗi đan dấu thỏa điều kiện, nếu dừng ở một tổng riêng thì sai số không vượt quá số hạng đầu tiên bị bỏ.

Cụ thể, xét $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$ với $a_n>0$ , $a_n$ giảm và $a_n\to 0$ . Gọi $S_N$ là tổng của $N$ số hạng đầu. Khi đó $|S-S_N|\le a_{N+1}$ . Ví dụ: với $1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots$ và $N=3$ , ta có $S_3=\frac56$ , nên sai số không quá $a_4=0{,}25$ . Thiếu một trong các điều kiện trên thì cận này không còn được bảo đảm.

The alternating series error bound states that if an alternating series meets the required conditions, then stopping at a partial sum produces an error no larger than the first omitted term.

Specifically, let $S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$ with $a_n>0$ , $a_n$ decreasing, and $a_n\to 0$ . Let $S_N$ be the sum of the first $N$ terms. Then $|S-S_N|\le a_{N+1}$ . For example, for $1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots$ with $N=3$ , we have $S_3=\frac56$ , so the error is at most $a_4=0.25$ . If any of these conditions fails, the bound is no longer guaranteed.

Ký hiệuNotation

• $S_N$ là tổng riêng của $N$ số hạng đầu
• $R_N=S-S_N$ là phần dư
•cận sai số: $|R_N|\le a_{N+1}$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-1}{|\htmlClass{fp-0}{S-S_n}|} \le \htmlClass{fp-2}{a_{n+1}}

Chặn sai số của $S_n$ khi chuỗi đan dấu có $a_k$ giảm về $0$ ; giải $a_{n+1}<$ sai số cho phép để tìm $n$ .This bounds the error of $S_n$ when the alternating series has $a_k$ decreasing to $0$ . Solve $a_{n+1}<$ the allowed error to find $n$ .

Trong đóWhere

S

tổng của cả chuỗi, tức giới hạn của các tổng riêng

S_n

tổng riêng của

n

số hạng đầu tiên, dùng làm giá trị xấp xỉ cho

S

a_{n+1}

độ lớn của số hạng thứ

n+1

, là số hạng đầu tiên chưa được cộng vào

S_n

n

số số hạng đã cộng vào tổng riêng

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Cận sai số là số hạng bị bỏ đầu tiên, không phải số hạng cuối đã giữ.

Tổng riêng có $k$ số hạng thì số hạng bị bỏ là $a_{k+1}$ . Với sáu số hạng đầu, cận là $a_7$ , không phải $a_6$ .

Cận sai số là giới hạn trên, không phải sai số thật.

Sai số thật có thể nhỏ hơn nhiều. Khi đề hỏi "bảo đảm sai số nhỏ hơn…", hãy giải $a_{k+1}<$ giá trị đề cho, đừng đi tính $S$ .

Chỉ dùng cận này khi chuỗi đan dấu có $a_n$ giảm và tiến về $0$ .

Nếu $a_n$ lúc tăng lúc giảm thì sai số thật có thể vượt $a_{k+1}$ . Khi đó cận không còn đúng.

The bound is the first omitted term, not the last term kept.

A partial sum with $k$ terms omits $a_{k+1}$ first. For the first six terms, the bound is $a_7$ , not $a_6$ .

The bound is an upper limit, not the actual error.

The actual error can be much smaller. When a problem asks you to guarantee an error less than some value, solve $a_{k+1}<$ that value rather than computing $S$ .

The bound applies only when the series alternates and $a_n$ is decreasing with limit $0$ .

If $a_n$ sometimes increases and sometimes decreases, the actual error can exceed $a_{k+1}$ . In that case the bound no longer holds.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Nêu điều kiện chuỗi đan dấu và số hạng bị bỏ trước khi kết luận.

Viết rõ: chuỗi đan dấu, $a_n$ giảm, $a_n\to 0$ . Rồi ghi $|S-S_k|\le a_{k+1}$ cùng giá trị số hạng bị bỏ. Chỉ ghi đáp số cuối thì dễ mất điểm lập luận.

Giải bất đẳng thức xong, hãy thử lại $k$ và $k-1$ .

Với chuỗi $\sum(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}$ , cần $a_{k+1}<0{,}001$ , tức $(2k+1)!>1000$ . Có $7!=5040$ thỏa ( $k=3$ ), $5!=120$ không ( $k=2$ ). Vậy $k=3$ là nhỏ nhất. Bước này tránh lỗi lệch một đơn vị.

State the series conditions and the first omitted term before you conclude.

Write that the series alternates, $a_n$ is decreasing, and $a_n\to 0$ . Then write $|S-S_k|\le a_{k+1}$ along with the value of the omitted term. Giving only a final answer risks losing justification points.

After solving the inequality, check both $k$ and $k-1$ .

For the series $\sum(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}$ , you need $a_{k+1}<0.001$ , which means $(2k+1)!>1000$ . Here $7!=5040$ works ( $k=3$ ), but $5!=120$ does not ( $k=2$ ), so $k=3$ is the smallest value. This check prevents off-by-one errors.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1676Gottfried Wilhelm LeibnizPhilip CalabreseRichard Johnsonbaugh

Năm 1676, Leibniz nêu phép thử chuỗi đan dấu trong bản thảo chưa xuất bản; cận sai số cho biết tổng riêng cách tổng thật tối đa bao nhiêu.

In 1676, Leibniz described the alternating series test in an unpublished manuscript. The error bound tells how far a partial sum can be from the true sum.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi ghép từ hai ý và đúng với nội dung của nó. "Chuỗi đan dấu" là chuỗi có các số hạng đổi dấu luân phiên, lúc dương lúc âm. "Cận sai số" là giới hạn trên của sai số khi ta dừng chuỗi ở số hạng thứ $N$ . Với chuỗi đan dấu thỏa điều kiện của phép thử Leibniz, giới hạn này chính là giá trị tuyệt đối $|a_{N+1}|$ của số hạng đầu tiên bị bỏ đi. Vì vậy trong sách giáo khoa và đề AP, cận này còn được so với cận sai số Lagrange (Lagrange error bound), vốn đòi hỏi phải đánh giá đạo hàm bậc cao. Các nguồn tôi đọc không cho biết ai là người đặt tên riêng "alternating series error bound", nên không có thông tin về lịch sử cái tên.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChặn sai số chuỗi đan dấuDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn chuỗi đan dấu cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsttổng riêngpartial sum

Dẫn tớiLeads tochuỗi TaylorTaylor series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

cận sai số LagrangeLagrange error bound

Khác nhau ở đâuHow they differCận sai số chuỗi đan dấu lấy giá trị tuyệt đối của số hạng đầu tiên bị bỏ đi làm cận. Cận Lagrange phải dùng giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp

n+1

trên khoảng đang xét.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi sai số khi xấp xỉ bằng tổng của vài số hạng đầu: nếu chuỗi là đan dấu có độ lớn giảm thì dùng số hạng kế tiếp, còn nếu chuỗi không đan dấu hoặc đề cho đạo hàm cấp cao thì dùng Lagrange.

tiêu chuẩn chuỗi đan dấualternating series test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn chuỗi đan dấu cho biết chuỗi có hội tụ hay không. Cận sai số cho biết tổng riêng lệch khỏi tổng thật tối đa bao nhiêu.

Hay nhầm khiMixed up whenCả hai đều kiểm tra độ lớn

|a_n|

giảm dần về 0, nên dễ nhầm; câu hỏi "chuỗi có hội tụ không" dùng tiêu chuẩn, còn câu hỏi "sai số tối đa" dùng cận.

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic