AP Calculus BC

tiêu chuẩn chuỗi đan dấualternating series test

alternating series testVietnamese: tiêu chuẩn chuỗi đan dấu

Tiêu chuẩn chuỗi đan dấu (alternating series test) là điều kiện đủ cho chuỗi có dấu đan xen hội tụ: độ lớn các số hạng giảm dần và tiến về 0.The alternating series test is a sufficient condition for an alternating series to converge: the terms' magnitudes must decrease and approach 0.

Trực giác: Bạn đi tới rồi lùi lại, mỗi bước ngắn hơn bước trước và ngắn dần về không. Bạn sẽ tiến sát dần một điểm cố định.Intuition: Imagine stepping forward, then back, then forward again, with each step shorter than the one before and shrinking toward zero. You close in on a single fixed point.

Công thức chínhKey formula

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n\ \text{converges if}\ b_{n+1}\le b_n\ \text{and}\ \lim_{n\to\infty}b_n=0

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Tiêu chuẩn chuỗi đan dấu (alternating series test) cho biết: chuỗi có dấu đan xen hội tụ nếu độ lớn các số hạng giảm dần và tiến về 0.

Xét $\sum (-1)^{n-1} b_n$ (hoặc $\sum (-1)^n b_n$ ) với $b_n>0$ . Giả sử có số $N$ để $b_{n+1}\le b_n$ với mọi $n\ge N$ , và $\lim_{n\to\infty} b_n=0$ . Khi đó chuỗi hội tụ. Ví dụ $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ có $b_n=\frac1n$ giảm dần về 0, nên hội tụ. Đây chỉ là điều kiện đủ. Gọi $s$ là tổng của chuỗi, $s_n$ là tổng $n$ số hạng đầu, $R_n=s-s_n$ là sai số. Với mọi $n\ge N$ , ta có $|R_n|\le b_{n+1}$ .

The alternating series test states that an alternating series converges if the magnitudes of its terms decrease and approach 0.

Consider $\sum (-1)^{n-1} b_n$ (or $\sum (-1)^n b_n$ ) with $b_n>0$ . Suppose there is a number $N$ such that $b_{n+1}\le b_n$ for all $n\ge N$ , and $\lim_{n\to\infty} b_n=0$ . Then the series converges. For example, $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ has $b_n=\frac1n$ , which decreases to 0, so the series converges. The test gives only a sufficient condition. Let $s$ be the sum of the series, $s_n$ the sum of the first $n$ terms, and $R_n=s-s_n$ the error (remainder). For every $n\ge N$ , $|R_n|\le b_{n+1}$ .

Ký hiệuNotation

• $\sum (-1)^{n-1} b_n$ hoặc $\sum (-1)^n b_n$ với $b_n>0$
• $s_n$ là tổng riêng thứ $n$
•điều kiện $b_{n+1}\le b_n$ và $\lim_{n\to\infty} b_n=0$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\sum_{n=1}^{\infty}\htmlClass{fp-0}{(-1)^{n-1}}\htmlClass{fp-1}{b_n}}\ \text{converges if}\ \htmlClass{fp-3}{b_{n+1}\le b_n}\ \text{and}\ \htmlClass{fp-4}{\lim_{n\to\infty}b_n=0}

Dùng cho chuỗi đổi dấu luân phiên với $b_n>0$ : kiểm tra $b_n$ không tăng và $b_n\to0$ để kết luận hội tụ.Use this for a series whose signs alternate, with $b_n>0$ : check that $b_n$ is non-increasing and $b_n\to0$ to conclude that the series converges.

Trong đóWhere

b_n

độ lớn (giá trị dương) của số hạng thứ

n

, không kể dấu

n

chỉ số của số hạng, chạy từ 1 trở đi

(-1)^{n-1}

thừa số quy định dấu:

+

khi

n

lẻ,

-

khi

n

chẵn

|R_n|=|s-s_n|\le b_{n+1}

Ước lượng sai số khi dùng $s_n$ thay cho tổng $s$ của chuỗi đan dấu hội tụ: không vượt quá số hạng bị bỏ đầu tiên.This estimates the error when $s_n$ approximates the sum $s$ of a convergent alternating series: the error is no larger than the first omitted term.

Trong đóWhere

s

tổng của chuỗi

s_n

tổng riêng gồm

n

số hạng đầu

R_n

phần dư, tức

R_n=s-s_n

b_{n+1}

độ lớn của số hạng đầu tiên bị bỏ đi

Hay hiểu saiCommon misconceptions4 ý · 1 phút đọc4 points · 1 min read

Chỉ có $b_n\to0$ thì chưa đủ, còn phải có $b_{n+1}\le b_n$ .

Xét $1-1+\frac12-\frac14+\frac13-\frac19+\dots$ : số hạng thứ $2k-1$ là $\frac1k$ , thứ $2k$ là $-\frac1{k^2}$ . Chuỗi đan dấu, $b_n\to0$ , nhưng $b_n$ không giảm, và chuỗi phân kỳ.

Không cần $b_n$ giảm ngay từ số hạng đầu.

Chỉ cần $b_{n+1}\le b_n$ từ một $N$ nào đó trở đi. Vài số hạng đầu không ảnh hưởng việc hội tụ. Ví dụ $b_n=\frac{n}{n^2+100}$ tăng đến $n=10$ rồi giảm, nên vẫn dùng được tiêu chuẩn.

Tiêu chuẩn không dùng được thì chưa kết luận chuỗi phân kỳ.

Nếu $b_n$ không giảm, chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nếu $b_n$ không tiến về 0, số hạng tổng quát không về 0 nên chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng tổng quát).

Hội tụ theo tiêu chuẩn này chưa chắc là hội tụ tuyệt đối.

Hội tụ tuyệt đối nghĩa là $\sum b_n$ cũng hội tụ. Chuỗi $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ hội tụ nhưng $\sum \frac1n$ phân kỳ, nên chỉ hội tụ có điều kiện.

$b_n\to0$ alone is not enough; you also need $b_{n+1}\le b_n$ .

Consider $1-1+\frac12-\frac14+\frac13-\frac19+\dots$ , where term $2k-1$ is $\frac1k$ and term $2k$ is $-\frac1{k^2}$ . The series alternates and $b_n\to0$ , but $b_n$ is not decreasing, and the series diverges.

The terms $b_n$ do not need to decrease from the very first term.

It is enough that $b_{n+1}\le b_n$ from some $N$ onward, because the first few terms do not affect convergence. For example, $b_n=\frac{n}{n^2+100}$ increases up to $n=10$ and then decreases, so the test still applies.

If the test cannot be applied, you cannot conclude that the series diverges.

When $b_n$ is not decreasing, the series may converge or diverge. When $b_n$ does not approach 0, the terms of the series do not approach 0, so the series diverges by the nth-term test.

Convergence by this test does not guarantee absolute convergence.

Absolute convergence means $\sum b_n$ also converges. The series $\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ converges but $\sum \frac1n$ diverges, so the series converges only conditionally.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Nêu đủ ba điều kiện: số hạng đổi dấu, $\lim b_n=0$ , $b_{n+1}\le b_n$ .

Bài chấm AP thường cho điểm từng điều kiện. Đặt $b_n=f(n)$ rồi chứng minh $f'(x)<0$ , hoặc so sánh trực tiếp. Đừng chỉ viết "hiển nhiên". Nếu giảm từ $n>N$ , ghi rõ $N$ .

Với chuỗi lũy thừa, chỉ dùng tiêu chuẩn này ở đầu mút khi chuỗi thật sự đan dấu.

Ví dụ $\sum \frac{(x-5)^n}{2^n n^2}$ có bán kính 2, đầu mút $x=3$ và $x=7$ . Tại $x=3$ là $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ , đan dấu nên dùng được. Tại $x=7$ mọi số hạng dương, không dùng được.

State all three conditions: the terms alternate in sign, $\lim b_n=0$ , and $b_{n+1}\le b_n$ .

AP scoring guidelines typically award a point for each condition. Set $b_n=f(n)$ and show $f'(x)<0$ , or compare terms directly; do not just write "obviously." If the terms decrease only for $n>N$ , state $N$ explicitly.

For a power series, use this test at an endpoint only when the series there actually alternates.

For example, $\sum \frac{(x-5)^n}{2^n n^2}$ has radius of convergence 2 and endpoints $x=3$ and $x=7$ . At $x=3$ the series is $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ , which alternates, so the test applies. At $x=7$ every term is positive, so the test does not apply.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1676Gottfried Wilhelm LeibnizAugustin-Louis CauchyJakob HermannJohann Bernoulli

Gottfried Wilhelm Leibniz bàn đến tiêu chuẩn này trong bản thảo De quadratura arithmetica năm 1676, trả lời câu hỏi chuỗi đổi dấu liên tục khi nào hội tụ.

Gottfried Wilhelm Leibniz discussed this test in his 1676 manuscript De quadratura arithmetica, addressing the question of when a series whose signs keep alternating converges.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "đan dấu" mô tả chính loại chuỗi mà tiêu chuẩn này áp dụng: các số hạng lần lượt mang dấu dương rồi dấu âm, xen kẽ nhau. Vì vậy cái tên nói lên đối tượng được xét, không phải cách chứng minh. Còn "tiêu chuẩn" là cách dịch quen thuộc của "test" hay "criterion", tức một phép kiểm tra để kết luận chuỗi có hội tụ hay không. Tiêu chuẩn này cũng được gọi theo tên người phát minh, nên trong các tài liệu tiếng Anh bạn sẽ gặp Leibniz's test, Leibniz's rule hay Leibniz criterion. Cần nhớ rằng đây chỉ là điều kiện đủ (sufficient condition). Nếu các số hạng không thỏa điều kiện của tiêu chuẩn, ta chưa thể kết luận chuỗi phân kỳ, vì một số chuỗi đan dấu vẫn hội tụ dù không qua được phần đầu của phép thử.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn chuỗi đan dấu cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChặn sai số chuỗi đan dấuDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termHội tụ tuyệt đối & hội tụ có điều kiệnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstdãy số hội tụconvergent sequence

Dẫn tớiLeads tohội tụ có điều kiệnconditional convergence

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiêu chuẩn phân kỳdivergence test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn chuỗi đan dấu có thể kết luận chuỗi hội tụ nếu

b_n

giảm và tiến về 0. Tiêu chuẩn phân kỳ chỉ kết luận được chuỗi phân kỳ, không bao giờ chứng minh được hội tụ.

Hay nhầm khiMixed up whenThấy số hạng tiến về 0 thì tưởng chuỗi hội tụ, hoặc dùng tiêu chuẩn phân kỳ để kết luận hội tụ. Cần nhớ

a_n\to 0

chỉ là điều kiện cần, còn tiêu chuẩn chuỗi đan dấu còn đòi hỏi

b_n

giảm.

hội tụ tuyệt đốiabsolute convergence

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn chuỗi đan dấu chỉ xét chuỗi có dấu đan xen và cho biết chuỗi hội tụ. Hội tụ tuyệt đối đòi hỏi chuỗi các giá trị tuyệt đối cũng hội tụ, là điều kiện mạnh hơn.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi hội tụ tuyệt đối hay có điều kiện: dùng tiêu chuẩn chuỗi đan dấu cho chuỗi gốc, rồi xét riêng chuỗi

\sum |a_n|

bằng tiêu chuẩn khác.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 765, 782, 816.