AP Calculus BC

tiêu chuẩn cănroot test

root testVietnamese: tiêu chuẩn căn

Tiêu chuẩn căn (root test) là phép thử lấy căn bậc n của trị tuyệt đối số hạng thứ n, rồi so giới hạn với số 1 để xét chuỗi hội tụ hay phân kỳ.The root test checks a series for convergence by taking the $n$ th root of the absolute value of the $n$ th term and comparing the limit with 1.

Trực giác: Như kiểm tra mỗi bước một khoản tiền co lại hay phình ra trung bình bao nhiêu lần. Co lại đều thì cộng mãi vẫn hữu hạn. Phình ra thì tổng không dừng lại.Intuition: The test measures the average factor by which each term shrinks or grows from step to step. If the terms shrink steadily, the running sum stays finite. If they grow, the sum never settles down.

Công thức chínhKey formula

\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Xét chuỗi $\sum a_n$ , với $a_n$ là số hạng thứ $n$ . Ta lấy căn bậc $n$ của $|a_n|$ , rồi xem giá trị này tiến về số nào khi $n$ rất lớn. Gọi số đó là $\rho$ rồi so $\rho$ với $1$ .

Ví dụ: với $a_n=\left(\frac12\right)^n$ thì $\sqrt[n]{|a_n|}=\frac12$ , nên $\rho=\frac12<1$ và chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu $\rho>1$ (kể cả $\rho=\infty$ ), chuỗi phân kỳ. Nếu $\rho=1$ , tiêu chuẩn không kết luận được.

The root test applies to a series $\sum a_n$ , where $a_n$ is the $n$ th term. Take the $n$ th root of $|a_n|$ and find the value it approaches as $n$ becomes very large. Call this value $\rho$ and compare it with $1$ .

For example, if $a_n=\left(\frac12\right)^n$ , then $\sqrt[n]{|a_n|}=\frac12$ , so $\rho=\frac12<1$ and the series converges absolutely. If $\rho>1$ (including $\rho=\infty$ ), the series diverges. If $\rho=1$ , the test is inconclusive.

Ký hiệuNotation

• $\rho = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
•đề AP đôi khi dùng chữ $L$ thay cho $\rho$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\rho=\htmlClass{fp-2}{\lim_{n\to\infty}\htmlClass{fp-1}{\sqrt[n]{\htmlClass{fp-0}{|a_n|}}}}

Dùng khi $a_n$ có dạng lũy thừa bậc $n$ : $\rho<1$ hội tụ tuyệt đối, $\rho>1$ phân kỳ, $\rho=1$ không kết luận được.Use this when $a_n$ is an $n$ th power: the series converges absolutely if $\rho<1$ , diverges if $\rho>1$ , and the test is inconclusive if $\rho=1$ .

Trong đóWhere

\rho

giới hạn của căn bậc

n

của

|a_n|

; giá trị này được so sánh với 1 để kết luận

a_n

số hạng tổng quát thứ

n

của chuỗi

\sum_{n=1}^{\infty} a_n

n

chỉ số của số hạng, là số nguyên dương và tiến tới vô cùng

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Khi $\rho=1$ , tiêu chuẩn căn không cho biết chuỗi hội tụ hay phân kỳ.

Hai chuỗi $\sum 1/n$ và $\sum 1/n^2$ đều có $\rho=1$ , nhưng một chuỗi phân kỳ, một chuỗi hội tụ. Phải đổi sang tiêu chuẩn khác.

Khi $\rho<1$ , chuỗi hội tụ tuyệt đối, không chỉ hội tụ.

Vì $\rho$ tính trên $|a_n|$ nên dấu của số hạng không ảnh hưởng. Không cần kiểm tra thêm điều kiện đan dấu.

Khi tính $\rho$ , $\sqrt[n]{n}\to 1$ chứ không phải $\infty$ .

Viết $\sqrt[n]{n}=e^{(\ln n)/n}$ , mà $(\ln n)/n\to 0$ . Tương tự, $\sqrt[n]{c}\to 1$ với mọi hằng số $c>0$ .

When $\rho=1$ , the root test does not tell you whether the series converges or diverges.

The series $\sum 1/n$ and $\sum 1/n^2$ both have $\rho=1$ , yet the first diverges and the second converges. You must switch to a different test.

When $\rho<1$ , the series converges absolutely, not merely converges.

Because $\rho$ is computed from $|a_n|$ , the signs of the terms play no role. You do not need to check any alternating-series condition.

When computing $\rho$ , $\sqrt[n]{n}\to 1$ , not $\infty$ .

Write $\sqrt[n]{n}=e^{(\ln n)/n}$ , and $(\ln n)/n\to 0$ . Similarly, $\sqrt[n]{c}\to 1$ for every constant $c>0$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Ghi rõ giới hạn $\rho$ , so với $1$ , rồi mới kết luận.

Ví dụ: $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac12<1$ , nên chuỗi hội tụ tuyệt đối. Bài thi thường cho điểm ở bước tính giới hạn và bước so với $1$ . Câu kết luận trơ trọi dễ mất điểm.

Ưu tiên tiêu chuẩn căn khi cả số hạng là lũy thừa bậc $n$ .

Dạng $\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ rất hợp, vì $\rho=\frac12$ . Dạng có giai thừa như $\frac{n!}{3^n}$ thì tiêu chuẩn tỉ số (ratio test) thường gọn hơn.

State the limit $\rho$ , compare it with $1$ , and only then write your conclusion.

For example, $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac12<1$ , so the series converges absolutely. Graders usually award points for the limit computation and the comparison with $1$ , so a bare conclusion can lose credit.

Choose the root test when the entire term is an $n$ th power.

A term such as $\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ fits well because $\rho=\frac12$ . For terms with factorials, such as $\frac{n!}{3^n}$ , the ratio test is usually simpler.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1821Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy xây dựng tiêu chuẩn căn đầu tiên và công bố trong giáo trình Cours d'analyse năm 1821.

Augustin-Louis Cauchy developed the root test and published it in his textbook Cours d'analyse in 1821.

Nguồn đối chiếuSources

en.wikipedia.orgRoot test — Wikipedia

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termHội tụ tuyệt đối & hội tụ có điều kiệnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBán kính và khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừaDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn tỉ số cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstchuỗi vô hạninfinite series giới hạnlimit

Dẫn tớiLeads tokhoảng hội tụinterval of convergence

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiêu chuẩn tỉ sốratio test

Khác nhau ở đâuHow they differTiêu chuẩn căn tính giới hạn của

\sqrt[n]{|a_n|}

. Tiêu chuẩn tỉ số tính giới hạn của

|a_{n+1}/a_n|

Hay nhầm khiMixed up whenChuỗi có số hạng dạng

(\ldots)^n

thì nên dùng tiêu chuẩn căn. Chuỗi có giai thừa

n!

thì nên dùng tiêu chuẩn tỉ số. Cả hai đều vô kết luận khi giới hạn bằng 1.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 9, 776, 782.