AP Calculus BC

chuỗi luỹ thừapower series

power seriesVietnamese: chuỗi luỹ thừa

Chuỗi luỹ thừa (power series) tâm a là tổng vô hạn các số hạng hệ số nhân (x − a) mũ 0, 1, 2, …; nó là hàm số của x tại những x làm chuỗi hội tụ.A power series centered at a is an infinite sum of terms, each a coefficient times (x − a) raised to the powers 0, 1, 2, …; it defines a function of x at every x where the series converges.

Trực giác: Giống một đa thức dài vô tận: x càng gần tâm a thì số hạng bậc cao càng nhỏ, tổng dần tiến về một số; x quá xa thì không.Intuition: A power series behaves like a polynomial that never ends: the closer x is to the center a, the faster the higher-degree terms shrink and the sum settles toward a number; if x is too far from a, it does not.

Công thức chínhKey formula

\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Chuỗi luỹ thừa tâm $a$ là tổng vô hạn $c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$ , với $c_n$ là các hệ số cho trước. Ví dụ: $1+x+x^2+\cdots$ có tâm $0$ ; với $x=0{,}5$ thì $1+0{,}5+0{,}25+\cdots=2$ .

Mỗi $x$ cho một chuỗi số, nên đây là hàm số của $x$ , chỉ xác định tại những $x$ làm chuỗi hội tụ. Những $x$ đó chỉ có ba dạng: chỉ $x=a$ , mọi $x$ , hoặc các $x$ quanh $a$ với bán kính hội tụ $R$ . Chuỗi hội tụ khi $|x-a|<R$ , phân kì khi $|x-a|>R$ . Hai đầu mút $x=a\pm R$ phải xét riêng. Công thức tính $R$ chỉ dùng khi giới hạn tồn tại.

A power series centered at $a$ is an infinite sum $c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$ , where the $c_n$ are given coefficients. For example, $1+x+x^2+\cdots$ is centered at $0$ , and at $x=0.5$ it gives $1+0.5+0.25+\cdots=2$ .

Each value of $x$ produces a numerical series, so a power series is a function of $x$ , defined only at the values of $x$ where the series converges. The set of such $x$ has only three possible forms: just $x=a$ , all real $x$ , or the values of $x$ around $a$ within a radius of convergence $R$ . The series converges when $|x-a|<R$ and diverges when $|x-a|>R$ . The endpoints $x=a\pm R$ must be tested separately. The formula for $R$ applies only when the limit exists.

Ký hiệuNotation

• $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$ là chuỗi tâm $a$ với hệ số $c_n$
• $R$ là bán kính hội tụ
•khoảng hội tụ thường viết như $(a-R,\,a+R)$ kèm kết quả xét hai đầu mút.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\sum_{n=0}^{\infty} \htmlClass{fp-1}{c_n \htmlClass{fp-0}{(x-a)^n}}}

Dạng tổng quát của chuỗi luỹ thừa tâm $a$ ; dùng để biểu diễn hàm thành "đa thức vô hạn" và đạo hàm, tích phân từng số hạng.The general form of a power series centered at $a$ ; it is used to represent a function as an "infinite polynomial" and to differentiate and integrate term by term.

Trong đóWhere

c_n

hệ số của số hạng thứ

n

, là các hằng số không phụ thuộc

x

x

biến của chuỗi; mỗi giá trị

x

cho một chuỗi số riêng

a

tâm của chuỗi, là điểm mà tại đó mọi số hạng với

n\ge 1

đều bằng

0

n

chỉ số của số hạng, chạy từ

0

đến vô cực

R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|

Tìm bán kính hội tụ bằng tiêu chuẩn tỉ số khi giới hạn tồn tại; hai đầu mút $x=a\pm R$ phải xét riêng.Finds the radius of convergence with the ratio test when the limit exists; the endpoints $x=a\pm R$ must be tested separately.

Trong đóWhere

R

bán kính hội tụ, tức khoảng cách tối đa từ tâm

a

mà chuỗi còn hội tụ ở phía trong

c_n

hệ số của số hạng thứ

n

trong chuỗi

c_{n+1}

hệ số của số hạng liền sau

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Biết $R$ chưa đủ để biết chuỗi có hội tụ tại hai đầu mút hay không.

Ở $x=a\pm R$ , tiêu chuẩn tỉ số cho giới hạn bằng 1 nên không kết luận được. Phải thay từng đầu mút vào rồi xét riêng; hai đầu mút có thể cho kết quả khác nhau.

Hội tụ tại một điểm chỉ cho biết các điểm gần tâm hơn cũng hội tụ.

Nếu điểm đó cách tâm $d$ thì $R\ge d$ . Các điểm xa tâm hơn $d$ chưa kết luận được, vì $R$ có thể bằng $d$ hoặc lớn hơn.

Hội tụ có điều kiện chỉ xảy ra đúng ở đầu mút, không xảy ra bên trong khoảng.

Hội tụ có điều kiện nghĩa là chuỗi hội tụ nhưng chuỗi các giá trị tuyệt đối phân kì. Bên trong khoảng, chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nên điểm đó cách tâm đúng $R$ , và các điểm xa hơn thì phân kì.

Knowing $R$ does not tell you whether the series converges at the endpoints.

At $x=a\pm R$ the ratio test gives a limit of 1, so it is inconclusive. Substitute each endpoint and test it separately, since the two endpoints can behave differently.

Convergence at one point only guarantees convergence at points closer to the center.

If that point is a distance $d$ from the center, then $R\ge d$ . Points farther than $d$ from the center are undetermined, because $R$ could equal $d$ or be larger.

Conditional convergence can occur only at an endpoint, never inside the interval.

A series converges conditionally when it converges but the series of absolute values diverges. Inside the interval the series converges absolutely, so a conditionally convergent point must lie exactly $R$ from the center, and points farther out diverge.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Tìm khoảng hội tụ cần đủ ba bước: tiêu chuẩn tỉ số, từng đầu mút, kết luận.

Giải $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|<1$ , với $u_n$ là số hạng thứ $n$ của chuỗi. Mỗi đầu mút ghi chuỗi số và tiêu chuẩn dùng. Bỏ đầu mút là thiếu đáp án.

Thay đầu mút vào rồi mới chọn tiêu chuẩn; đừng mặc định dùng đan dấu.

Với $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-5)^n}{2^n n}$ , $R=2$ . Tại $x=3$ được $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ : đan dấu, hội tụ. Tại $x=7$ được $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ : dương, phân kì. Khoảng hội tụ là $[3;7)$ .

Finding the interval of convergence takes three steps: the ratio test, each endpoint, then a conclusion.

Solve $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|<1$ , where $u_n$ is the $n$ th term of the series. For each endpoint, write the numerical series and name the test you use. Omitting an endpoint leaves the answer incomplete.

Substitute the endpoint first, then choose the test; do not default to the alternating series test.

For $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-5)^n}{2^n n}$ , $R=2$ . At $x=3$ you get $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ , which is alternating and converges. At $x=7$ you get $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$ , which has positive terms and diverges. The interval of convergence is $[3,7)$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1668 (chuỗi của Mercator); 1715 (Taylor); 1742 (Maclaurin); 1821 (Cauchy)Nicolaus MercatorBrook TaylorColin MaclaurinAugustin-Louis Cauchy

Năm 1668, Nicolaus Mercator công bố chuỗi

\ln(1+x)

bằng tích phân từng số hạng chuỗi hình học, một trong những lần dùng chuỗi luỹ thừa có hệ thống sớm nhất.

In 1668, Nicolaus Mercator published the series for

\ln(1+x)

by integrating the geometric series term by term, one of the earliest systematic uses of power series.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi gồm hai phần. Chữ "chuỗi" (series) bắt nguồn từ tiếng Latinh "serere", nghĩa là nối lại hoặc sắp xếp. Nghĩa gốc này khớp với bản chất của khái niệm: các số hạng được nối nhau theo một quy luật nhất định rồi cộng lại thành một tổng. Chữ "luỹ thừa" (power) mô tả dạng của từng số hạng. Một chuỗi luỹ thừa có dạng $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$ , trong đó mỗi số hạng là một hệ số $a_n$ nhân với luỹ thừa của $(x-c)$ , còn $c$ được gọi là tâm của chuỗi (center). Vì vậy, các tài liệu mà tôi đọc không ghi lại lịch sử riêng của chữ "power", nhưng cái tên này mô tả đúng cấu trúc của chuỗi. Nhờ cấu trúc ấy, khi một hàm khai triển được thành chuỗi luỹ thừa thì ta gọi đó là chuỗi Taylor (Taylor series), và miền giá trị $x$ cho phép chuỗi hội tụ được đo bằng bán kính hội tụ (radius of convergence), một khái niệm do Cauchy làm rõ.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBán kính và khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừaDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBiểu diễn hàm số bằng chuỗi lũy thừaDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi Taylor và Maclaurin của một hàm sốDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstchuỗi vô hạninfinite series chuỗi hình họcgeometric series

Dẫn tớiLeads tochuỗi TaylorTaylor series tiêu chuẩn tỉ sốratio test

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

chuỗi TaylorTaylor series

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi luỹ thừa là dạng tổng quát

\sum c_n(x-a)^n

với hệ số

c_n

tuỳ ý. Chuỗi Taylor là trường hợp có

c_n=f^{(n)}(a)/n!

lấy từ một hàm

f

cho trước.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho sẵn một chuỗi với hệ số bất kỳ thì chỉ cần tìm miền hội tụ; đề cho hàm

f

và yêu cầu viết chuỗi thì phải tính đạo hàm để lập hệ số Taylor.

chuỗi hình họcgeometric series

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi hình học có tỉ số công bội không đổi giữa hai số hạng liên tiếp. Chuỗi luỹ thừa có hệ số

c_n

thay đổi theo

n

nên tỉ số này phụ thuộc cả

n

lẫn

x

Hay nhầm khiMixed up whenChuỗi

\sum x^n

vừa là chuỗi hình học vừa là chuỗi luỹ thừa, nên dễ dùng nhầm công thức tổng

\dfrac{a}{1-r}

cho chuỗi có hệ số

c_n

không hằng.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 9, 782, 789.