DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BC

khoảng hội tụinterval of convergence

interval of convergenceVietnamese: khoảng hội tụ

Khoảng hội tụ (interval of convergence) của chuỗi lũy thừa là tập các giá trị x làm chuỗi hội tụ; tập này nằm quanh tâm và có thể có hoặc không có đầu mút.The interval of convergence of a power series is the set of x-values for which the series converges. It is centered at the series' center and may or may not include its endpoints.

Trực giác: Giống vùng phủ sóng của trạm phát: trong vùng thì có sóng, ngoài vùng thì không, còn đúng mép vùng thì phải thử mới biết.Intuition: Think of the coverage area of a radio tower: inside the area there is a signal, outside it there is none, and right at the edge you have to test it to find out.

Công thức chínhKey formula

lim⁡n→∞∣cn+1(x−a)n+1cn(x−a)n∣<1\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right|<1
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Khoảng hội tụ là tập các giá trị xx làm chuỗi lũy thừa hội tụ. Chuỗi có dạng ∑cn(x−a)n\sum c_n(x-a)^n, với aa là tâm, cnc_n là hệ số và n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots

Có một số RR, gọi là bán kính hội tụ. Chuỗi hội tụ khi ∣x−a∣<R|x-a|<R và phân kỳ khi ∣x−a∣>R|x-a|>R. Hai đầu mút x=a±Rx=a\pm R phải thử riêng. Ví dụ: chuỗi ∑n≥1xnn\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n} có a=0a=0, R=1R=1. Tại x=1x=1 chuỗi phân kỳ, tại x=−1x=-1 chuỗi hội tụ, nên khoảng hội tụ là [−1, 1)[-1,\,1). Nếu R=0R=0 thì tập chỉ có {a}\{a\}. Nếu R=∞R=\infty thì tập là (−∞,∞)(-\infty,\infty).

The interval of convergence is the set of xx-values for which a power series converges. The series has the form ∑cn(x−a)n\sum c_n(x-a)^n, where aa is the center, cnc_n are the coefficients, and n=0,1,2,…n=0,1,2,\dots

There is a number RR, called the radius of convergence, such that the series converges when ∣x−a∣<R|x-a|<R and diverges when ∣x−a∣>R|x-a|>R. The endpoints x=a±Rx=a\pm R must be tested separately. For example, the series ∑n≥1xnn\sum_{n\ge1}\frac{x^n}{n} has a=0a=0 and R=1R=1. It diverges at x=1x=1 and converges at x=−1x=-1, so its interval of convergence is [−1, 1)[-1,\,1). If R=0R=0, the set contains only {a}\{a\}. If R=∞R=\infty, the set is (−∞,∞)(-\infty,\infty).

Ký hiệuNotation
  • •Viết dưới dạng khoảng, ví dụ (a−R, a+R)(a-R,\,a+R), [a−R, a+R)[a-R,\,a+R), (a−R, a+R](a-R,\,a+R] hoặc [a−R, a+R][a-R,\,a+R]
  • •RR là bán kính hội tụ và aa là tâm của chuỗi.
Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas
lim⁡n→∞∣cn+1(x−a)n+1cn(x−a)n∣<1\htmlClass{fp-2}{\lim_{n\to\infty}\htmlClass{fp-1}{\left|\htmlClass{fp-0}{\frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}}\right|}}\htmlClass{fp-3}{<1}

Dùng bước đầu để tìm bán kính RR: giải bất đẳng thức theo xx để được ∣x−a∣<R|x-a|<R. Hai đầu mút phải xét riêng.Use this in the first step to find the radius RR: solve the inequality for xx to get ∣x−a∣<R|x-a|<R. The endpoints must be checked separately.

Trong đóWhere

cnc_nhệ số của số hạng thứ nn trong chuỗi lũy thừaxxbiến của chuỗi lũy thừa, cần tìm các giá trị làm chuỗi hội tụaatâm của chuỗi lũy thừannchỉ số của số hạng, chạy qua các số nguyên không âm
∣x−a∣<R  ⟺  a−R<x<a+R|x-a|<R \iff a-R<x<a+R

Dùng sau tiêu chuẩn tỉ số để viết khoảng mở (a−R, a+R)(a-R,\,a+R), rồi thêm đầu mút nào hội tụ. R=0R=0: chỉ x=ax=a; R=∞R=\infty: mọi xx.Use this after the ratio test to write the open interval (a−R, a+R)(a-R,\,a+R), then add whichever endpoints give convergence. If R=0R=0, only x=ax=a works; if R=∞R=\infty, every xx works.

Trong đóWhere

RRbán kính hội tụ, là nửa độ dài của khoảng hội tụaatâm của khoảng hội tụxxgiá trị của biến mà ta xét chuỗi có hội tụ hay không
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tiêu chuẩn tỉ số chỉ cho khoảng mở, chưa phải khoảng hội tụ.

Tại hai đầu mút, giới hạn của tỉ số bằng 1 nên tiêu chuẩn không kết luận được. Phải thay x=a±Rx=a\pm R vào chuỗi rồi xét bằng tiêu chuẩn khác.

Bán kính hội tụ không phải là khoảng hội tụ.

RR chỉ là một số, còn khoảng hội tụ là một tập giá trị xx, có thể mở, nửa mở hoặc đóng. Biết RR rồi vẫn phải xác định tâm aa và thử đầu mút.

Đầu mút mà chuỗi chỉ hội tụ có điều kiện vẫn thuộc khoảng hội tụ.

Khoảng hội tụ chỉ cần chuỗi hội tụ, không cần hội tụ tuyệt đối. Chuỗi ∑(−1)n/n\sum (-1)^n/n hội tụ nên giữ đầu mút. Chuỗi ∑1/n\sum 1/n phân kỳ nên loại đầu mút.

The ratio test gives only the open interval, not the full interval of convergence.

At the endpoints the limit of the ratio equals 1, so the test is inconclusive. You must substitute x=a±Rx=a\pm R into the series and use a different test.

The radius of convergence is not the interval of convergence.

RR is a single number, while the interval of convergence is a set of xx-values that can be open, half-open, or closed. Even after finding RR, you still need the center aa and an endpoint check.

An endpoint where the series converges only conditionally still belongs to the interval of convergence.

The interval requires only convergence, not absolute convergence. The series ∑(−1)n/n\sum (-1)^n/n converges, so that endpoint is included. The series ∑1/n\sum 1/n diverges, so that endpoint is excluded.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trong bài tự luận AP, viết rõ từng bước: tỉ số, khoảng mở, rồi từng đầu mút.

Ở mỗi đầu mút, ghi chuỗi số thu được, tên tiêu chuẩn (chuỗi điều hòa, chuỗi đan dấu…) và kết luận hội tụ hay phân kì. Chỉ viết đáp án cuối thì mất điểm.

Cuối bài, đối chiếu ngoặc của khoảng với kết quả ở từng đầu mút.

Ngoặc vuông: chuỗi hội tụ tại đầu mút; ngoặc tròn: phân kì. Trong trắc nghiệm, các phương án thường chỉ khác nhau ở dạng ngoặc, như [a−R, a+R)[a-R,\,a+R) và (a−R, a+R](a-R,\,a+R].

On AP free-response questions, show every step: the ratio, the open interval, then each endpoint.

At each endpoint, write the resulting numerical series, name the test used (harmonic series, alternating series test, etc.), and state whether it converges or diverges. Writing only the final answer loses points.

At the end, check each bracket of your interval against the result at the corresponding endpoint.

A square bracket means the series converges at that endpoint; a parenthesis means it diverges. On multiple-choice questions, the answer choices often differ only in the brackets, such as [a−R, a+R)[a-R,\,a+R) and (a−R, a+R](a-R,\,a+R].

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common
Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1821Brook TaylorAugustin-Louis CauchyNiels Henrik AbelJacques Hadamard

Năm 1821, Augustin-Louis Cauchy chứng minh mọi chuỗi lũy thừa đều có bán kính hội tụ, giải quyết chặt chẽ câu hỏi chuỗi hội tụ với những xx nào.
In 1821, Augustin-Louis Cauchy proved that every power series has a radius of convergence, rigorously settling the question of which xx-values make a series converge.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi này mô tả đúng bản chất của tập hợp mà nó chỉ. Các giá trị xx làm chuỗi lũy thừa hội tụ luôn tạo thành một khoảng, và tâm của khoảng ấy trùng với tâm của chuỗi. Vì vậy người ta nói "khoảng" (interval) và gắn thêm "hội tụ" để chỉ tập các điểm mà chuỗi có nghĩa. Nửa độ rộng của khoảng được gọi là bán kính hội tụ (radius of convergence), thường kí hiệu RR. Với chuỗi tâm tại gốc, khoảng này có thể là (−R,R)(-R,R), [−R,R)[-R,R), (−R,R](-R,R] hoặc [−R,R][-R,R], và hai trường hợp đặc biệt là {0}\{0\} khi R=0R=0 và (−∞,∞)(-\infty,\infty) khi R=∞R=\infty. Đầu mút có thể thuộc hoặc không thuộc khoảng, nên mỗi đầu mút phải được kiểm tra riêng. Các nguồn đã đọc không ghi ai là người đặt ra cụm từ này nên không thể nói gì thêm về xuất xứ của nó.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBán kính và khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừaDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn tỉ số cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn chuỗi đan dấu cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC
Cần trướcLearn firstbán kính hội tụradius of convergence
Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn tỉ sốratio testtiêu chuẩn chuỗi đan dấualternating series test
Liên quanRelatedchuỗi luỹ thừapower serieshội tụ tuyệt đốiabsolute convergencechuỗi TaylorTaylor series
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

bán kính hội tụradius of convergence
Khác nhau ở đâuHow they differBán kính hội tụ là một con số RR đo độ rộng nửa khoảng quanh tâm. Khoảng hội tụ là một tập hợp các giá trị xx và cho biết rõ mỗi đầu mút có được lấy hay không.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "tìm khoảng hội tụ" mà học sinh chỉ trả lời RR hoặc chỉ viết ∣x−a∣<R|x-a|<R rồi quên thử hai đầu mút bằng cách thay vào chuỗi.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 782, 789, 816.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .