DucklingStudyDucklingStudy
Đăng nhậpSign in

AP Calculus BC

chuỗi đan dấualternating series

alternating seriesVietnamese: chuỗi đan dấu

Chuỗi đan dấu (alternating series) là chuỗi vô hạn mà các số hạng cộng và trừ xen kẽ nhau, tức dấu đổi liên tục từ số hạng này sang số hạng kế.An alternating series is an infinite series whose terms alternate in sign, so the sign changes from each term to the next.

Trực giác: Như đi một bước tới rồi một bước lùi, cứ xen kẽ mãi. Nếu bước ngắn dần về 0, ta chỉ quanh quẩn rồi dừng gần một điểm.Intuition: Picture taking one step forward, then one step back, again and again. If the steps shrink toward 0, you just wobble back and forth and settle near a single point.

Công thức chínhKey formula

∑n=1∞(−1)n+1bn=b1−b2+b3−b4+⋯ ,bn≥0\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots, \quad b_n \ge 0
Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Chuỗi đan dấu là chuỗi có các số hạng cộng rồi trừ xen kẽ. Dạng chung là ∑(−1)nbn\sum (-1)^{n}b_n hoặc ∑(−1)n+1bn\sum (-1)^{n+1}b_n, với bn≥0b_n \ge 0. Hai dạng chỉ khác dấu của số hạng đầu.

Gọi ss là tổng của chuỗi, sns_n là tổng nn số hạng đầu, Rn=s−snR_n=s-s_n. Nếu bnb_n giảm dần và bn→0b_n\to 0 thì chuỗi hội tụ và ∣Rn∣≤bn+1|R_n|\le b_{n+1}. Ví dụ 1−12+13−⋯1-\frac12+\frac13-\cdots hội tụ. Chuỗi này hội tụ có điều kiện, vì chuỗi giá trị tuyệt đối 1+12+13+⋯1+\frac12+\frac13+\cdots phân kỳ. Không phải chuỗi đan dấu hội tụ nào cũng vậy.

An alternating series is a series whose terms are alternately added and subtracted. Its general form is ∑(−1)nbn\sum (-1)^{n}b_n or ∑(−1)n+1bn\sum (-1)^{n+1}b_n, with bn≥0b_n \ge 0; the two forms differ only in the sign of the first term.

Let ss be the sum of the series, sns_n the sum of the first nn terms, and Rn=s−snR_n=s-s_n the remainder. If bnb_n is decreasing and bn→0b_n\to 0, then the series converges and ∣Rn∣≤bn+1|R_n|\le b_{n+1}. For example, 1−12+13−⋯1-\frac12+\frac13-\cdots converges. It converges conditionally, because the series of absolute values, 1+12+13+⋯1+\frac12+\frac13+\cdots, diverges. Not every convergent alternating series is conditionally convergent.

Ký hiệuNotation
  • •∑n=1∞(−1)n+1bn\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n hoặc ∑n=1∞(−1)nbn\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_n với bn≥0b_n \ge 0
  • •sns_n là tổng riêng thứ nn.
Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas
∑n=1∞(−1)n+1bn=b1−b2+b3−b4+⋯,bn≥0\htmlClass{fp-2}{\sum_{n=1}^{\infty} \htmlClass{fp-0}{(-1)^{n+1}} \htmlClass{fp-1}{b_n}} = \htmlClass{fp-3}{b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \cdots}, \quad \htmlClass{fp-4}{b_n \ge 0}

Dùng để nhận ra chuỗi đan dấu trước khi áp dụng kiểm định; viết (−1)n(-1)^n thì số hạng đầu mang dấu âm.Use this to recognize an alternating series before applying the test; with (−1)n(-1)^n, the first term is negative.

Trong đóWhere

nnchỉ số của số hạng, chạy từ 1 đến vô cùngbnb_nđộ lớn không âm của số hạng thứ nn, tức bn=∣an∣b_n = |a_n|(−1)n+1(-1)^{n+1}thừa số đổi dấu, bằng +1+1 khi nn lẻ và −1-1 khi nn chẵn
∣Rn∣=∣s−sn∣≤bn+1|R_n| = \htmlClass{fp-0}{|s - s_n|} \le \htmlClass{fp-1}{b_{n+1}}

Dùng khi chuỗi đan dấu hội tụ theo kiểm định (bn+1≤bnb_{n+1}\le b_n, bn→0b_n\to 0) để chặn sai số của xấp xỉ s≈sns\approx s_n.Use this when an alternating series converges by the test (bn+1≤bnb_{n+1}\le b_n, bn→0b_n\to 0) to bound the error of the approximation s≈sns\approx s_n.

Trong đóWhere

sstổng của cả chuỗisns_ntổng riêng của nn số hạng đầuRnR_nphần dư Rn=s−snR_n = s - s_nbn+1b_{n+1}độ lớn của số hạng thứ n+1n+1, số hạng đầu tiên bị bỏ đi
Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Chỉ có bn→0b_n\to 0 thì chưa kết luận được chuỗi hội tụ.

Kiểm định cần cả ba điều: bn≥0b_n\ge 0, bnb_n giảm dần và bn→0b_n\to 0. Thiếu điều kiện giảm thì kiểm định không dùng được, và chuỗi vẫn có thể phân kỳ.

bnb_n không cần giảm ngay từ n=1n=1.

Chỉ cần giảm từ một chỉ số NN trở đi. Bỏ vài số hạng đầu không làm đổi việc chuỗi hội tụ hay phân kỳ. Ví dụ bn=nn2+100b_n=\dfrac{n}{n^2+100} tăng đến n=10n=10, rồi giảm từ n=10n=10 trở đi.

Cận sai số là số hạng bị bỏ đầu tiên, không phải số hạng cuối được giữ.

Nếu chuỗi thỏa kiểm định và ta cộng sáu số hạng đầu, sai số không vượt quá độ lớn của số hạng thứ 7. Học sinh hay lệch một đơn vị.

bn→0b_n\to 0 alone does not guarantee that the series converges.

The test requires all three conditions: bn≥0b_n\ge 0, bnb_n decreasing, and bn→0b_n\to 0. Without the decreasing condition the test does not apply, and the series can still diverge.

bnb_n does not need to be decreasing from n=1n=1.

It only needs to decrease from some index NN onward. Dropping a few initial terms does not change whether the series converges or diverges. For example, bn=nn2+100b_n=\dfrac{n}{n^2+100} increases up to n=10n=10 and then decreases for n≥10n\ge 10.

The error bound is the first omitted term, not the last term kept.

If the series satisfies the test and you add the first six terms, the error is at most the magnitude of the 7th term. Students often make an off-by-one mistake here.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Bài tự luận phải nêu đủ điều kiện kiểm định: bn≥0b_n\ge 0, lim⁡n→∞bn=0\lim_{n\to\infty} b_n=0 và bn+1≤bnb_{n+1}\le b_n.

Nếu bnb_n không giảm từ đầu, viết "giảm khi n>Nn>N" với NN cụ thể. Đặt bn=f(n)b_n=f(n) và chứng minh f′(x)<0f'(x)<0 với x>Nx>N.

Đếm đúng số số hạng, đừng chỉ nhìn chỉ số cuối.

Gọi kk là số số hạng đã cộng. Sai số không vượt quá số hạng thứ k+1k+1, nên giải số hạng đó << sai số cho phép. Chuỗi bắt đầu từ n=0n=0 thì số hạng thứ k+1k+1 là bkb_k.

On free-response questions, state every condition of the test: bn≥0b_n\ge 0, lim⁡n→∞bn=0\lim_{n\to\infty} b_n=0, and bn+1≤bnb_{n+1}\le b_n.

If bnb_n is not decreasing from the start, write "decreasing for n>Nn>N" with a specific NN. Let bn=f(n)b_n=f(n) and show that f′(x)<0f'(x)<0 for x>Nx>N.

Count the number of terms carefully instead of just reading the last index.

Let kk be the number of terms added. The error is at most the (k+1)(k+1)th term, so solve for that term << the allowed error. If the series starts at n=0n=0, the (k+1)(k+1)th term is bkb_k.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon
Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1676Gottfried Wilhelm LeibnizJakob HermannJohann Bernoulli

Leibniz bàn về tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi đan dấu trong bản thảo năm 1676, để trả lời khi nào một tổng vô hạn xen dấu hội tụ.
Leibniz discussed the convergence criterion for alternating series in a 1676 manuscript, addressing the question of when an infinite sum with alternating signs converges.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn chuỗi đan dấu cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChặn sai số chuỗi đan dấuDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC
Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termHội tụ tuyệt đối & hội tụ có điều kiệnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC
Cần trướcLearn firstchuỗi vô hạninfinite seriestổng riêngpartial sum
Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn chuỗi đan dấualternating series testcận sai số chuỗi đan dấualternating series error bound
Liên quanRelatedhội tụ tuyệt đốiabsolute convergencehội tụ có điều kiệnconditional convergence
Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

hội tụ có điều kiệnconditional convergence
Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi đan dấu là chuỗi có các số hạng đổi dấu liên tiếp, nói về hình dạng của chuỗi. Hội tụ có điều kiện là một kết luận về cách chuỗi hội tụ, nên áp dụng được cho chuỗi đan dấu.
Hay nhầm khiMixed up whenThí sinh thấy chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn chuỗi đan dấu thì vội kết luận hội tụ tuyệt đối, trong khi còn phải kiểm tra chuỗi giá trị tuyệt đối.
hội tụ tuyệt đốiabsolute convergence
Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi đan dấu chỉ cần các số hạng đổi dấu xen kẽ, còn hội tụ tuyệt đối đòi hỏi chuỗi giá trị tuyệt đối hội tụ. Vì vậy một chuỗi đan dấu hội tụ chưa chắc hội tụ tuyệt đối.
Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho chuỗi có (−1)n(-1)^n rồi hỏi hội tụ tuyệt đối hay có điều kiện, nên học sinh nhầm rằng dấu đan xen luôn dẫn đến hội tụ tuyệt đối.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

  1. [1]Stewart. tr. 9, 765, 782.

Biên soạn bởi DucklingStudy, bản quyền thuộc DucklingStudy.Written by DucklingStudy. © DucklingStudy. Xuất bảnPublished .