AP Calculus BC

cận sai số LagrangeLagrange error bound

Lagrange error boundVietnamese: cận sai số Lagrange

Cận sai số Lagrange (Lagrange error bound) là giá trị chặn trên của sai lệch giữa hàm số và đa thức Taylor, tính từ cận của đạo hàm bậc kế tiếp.The Lagrange error bound is an upper limit on the difference between a function and its Taylor polynomial, computed from a bound on the next higher derivative.

Trực giác: Giống nhãn 'sai số không quá 2 mm' trên thước: không biết thước lệch đúng bao nhiêu, nhưng chắc chắn không vượt mức đã ghi.Intuition: It works like a ruler labeled "accurate to within 2 mm": you don't know exactly how far off the ruler is, but you are certain it is no more than the stated amount.

Công thức chínhKey formula

|R_n(x)| \le \dfrac{M}{(n+1)!}\,|x-a|^{n+1}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cận sai số Lagrange (Lagrange error bound) cho biết đa thức Taylor xấp xỉ hàm số sai nhiều nhất là bao nhiêu. Gọi $P_n$ là đa thức Taylor bậc $n$ của $f$ tại $x=a$ , và $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ là sai số. Giả sử $f$ có đạo hàm đến bậc $n+1$ . Khi đó có một số $c$ nằm giữa $a$ và $x$ (chưa biết $c$ ) sao cho $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ .

Nếu $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ với mọi $t$ giữa $a$ và $x$ thì $|R_n(x)|\le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ . Ví dụ: $f(x)=\sin x$ , $a=0$ , $n=3$ , $x=0{,}5$ . Vì $|f^{(4)}(t)|=|\sin t|\le 1$ nên $M=1$ , và sai số không quá $\dfrac{0{,}5^4}{4!}\approx 0{,}0026$ .

The Lagrange error bound tells you the largest possible error when a Taylor polynomial approximates a function. Let $P_n$ be the degree- $n$ Taylor polynomial of $f$ at $x=a$ , and let $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ be the error (remainder). Suppose $f$ has derivatives up to order $n+1$ . Then there is a number $c$ between $a$ and $x$ (its location is unknown) such that $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ .

If $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ for all $t$ between $a$ and $x$ , then $|R_n(x)|\le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ . For example, let $f(x)=\sin x$ , $a=0$ , $n=3$ , and $x=0.5$ . Since $|f^{(4)}(t)|=|\sin t|\le 1$ , we can take $M=1$ , so the error is at most $\dfrac{0.5^4}{4!}\approx 0.0026$ .

Ký hiệuNotation

• $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ là phần dư
• $f^{(n+1)}$ là đạo hàm bậc $n+1$
• $M$ là cận trên của $|f^{(n+1)}(t)|$ với $t$ giữa $a$ và $x$
•cận sai số: $|R_n(x)|\le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-3}{|R_n(x)|} \le \htmlClass{fp-1}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{M}}{(n+1)!}}\,\htmlClass{fp-2}{|x-a|^{n+1}}

Dùng khi cần sai số tối đa của $P_n$ tại $x$ , hoặc tìm bậc $n$ nhỏ nhất để sai số nằm trong mức cho phép.Use this to find the maximum error of $P_n$ at $x$ , or to find the smallest degree $n$ that keeps the error within a given tolerance.

Trong đóWhere

R_n(x)

phần dư (sai số) giữa

f(x)

và đa thức Taylor bậc

n

, tức

R_n(x)=f(x)-P_n(x)

M

số thỏa

|f^{(n+1)}(t)|\le M

với mọi

t

nằm giữa

a

và

x

n

bậc của đa thức Taylor dùng để xấp xỉ

a

tâm của khai triển Taylor

x

điểm cần xấp xỉ giá trị của hàm

R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}

Dạng Lagrange của phần dư, nguồn gốc của cận trên. Vì $c$ không biết, thay $|f^{(n+1)}(c)|$ bằng $M$ để có số tính được.This is the Lagrange form of the remainder, the source of the error bound. Because $c$ is unknown, replace $|f^{(n+1)}(c)|$ with $M$ to get a computable number.

Trong đóWhere

c

một số nào đó nằm giữa

a

và

x

, tồn tại theo định lý nhưng thường không xác định được

f^{(n+1)}(c)

đạo hàm bậc

n+1

của

f

tính tại

c

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Cận dùng đạo hàm bậc $n+1$ , không phải bậc $n$ .

Với $n=3$ , cận là $\dfrac{M}{4!}|x-a|^4$ , trong đó $M$ chặn $|f^{(4)}|$ . Số mũ và số trong giai thừa cũng đều là $n+1$ .

$M$ phải chặn $|f^{(n+1)}(t)|$ tại mọi $t$ giữa $a$ và $x$ , không chỉ tại một điểm.

Ta không biết số $c$ trong công thức sai số nằm ở đâu, nên phải chặn cả đoạn. Lấy giá trị ở đầu mút chỉ đúng khi hàm lớn nhất ở đó.

Cận chỉ là mức sai số không vượt quá, không phải sai số thật.

Hãy viết $|f(x)-P_n(x)|\le$ cận, không dùng dấu bằng. Dấu bằng sai ý nghĩa và có thể bị trừ điểm.

The bound uses the $(n+1)$ st derivative, not the $n$ th.

For $n=3$ , the bound is $\dfrac{M}{4!}|x-a|^4$ , where $M$ bounds $|f^{(4)}|$ . The exponent and the factorial also both involve $n+1$ .

$M$ must bound $|f^{(n+1)}(t)|$ for every $t$ between $a$ and $x$ , not just at one point.

The value of $c$ in the error formula is unknown, so you have to bound the derivative over the whole interval. Using an endpoint value works only when the function is largest there.

The bound is only a limit the error cannot exceed, not the actual error.

Write $|f(x)-P_n(x)|\le$ bound, never an equals sign. An equals sign misstates the meaning and can cost you points.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết đầy đủ bất đẳng thức Lagrange trước khi thay số.

Nêu rõ $M$ và đoạn đang xét. Bài AP thường chấm riêng dạng công thức, giá trị $M$ và kết quả cuối.

Giải thích vì sao $M$ chặn được đạo hàm.

Chẳng hạn, nếu $f^{(4)}(t)=e^{\sin t}$ thì vì $\sin t\le 1$ nên $e^{\sin t}\le e$ , ta lấy $M=e$ . Chỉ viết $M=e$ mà không nêu lý do dễ bị trừ điểm.

Write out the full Lagrange error inequality before substituting numbers.

State $M$ and the interval you are using. AP graders typically award separate points for the form of the bound, the value of $M$ , and the final result.

Justify why $M$ is a valid bound on the derivative.

For example, if $f^{(4)}(t)=e^{\sin t}$ , then $\sin t\le 1$ gives $e^{\sin t}\le e$ , so take $M=e$ . Writing $M=e$ with no reason risks losing the point.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1772Joseph-Louis LagrangeBrook Taylor

Năm 1715 Brook Taylor công bố chuỗi Taylor nhưng chưa có cách chặn sai số; Joseph-Louis Lagrange sau đó xác định phần dư của đa thức Taylor để làm việc này.

In 1715 Brook Taylor published the Taylor series but had no method for bounding its error; Joseph-Louis Lagrange later described the remainder of a Taylor polynomial to make that possible.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi gắn với Lagrange vì chính ông là người thiết lập dạng phần dư của đa thức Taylor, tức đại lượng đo độ lệch giữa hàm số và đa thức xấp xỉ. Chữ "cận" (bound) chỉ việc ta không tính chính xác sai số mà chỉ chặn nó bởi một giá trị lớn nhất có thể xảy ra. Định lý này còn được gọi là định lý phần dư Taylor (Taylor remainder theorem), vì nó nói về phần dư của chính đa thức Taylor.

Nguồn đối chiếuSources

varsitytutors.comLagrange Error Bound | Varsity Tutors

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChặn sai số LagrangeDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ hàm bằng đa thức TaylorDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChặn sai số chuỗi đan dấuDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstđạo hàm cấp caohigher-order derivative

Dẫn tớiLeads tochuỗi TaylorTaylor series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

cận sai số chuỗi đan dấualternating series error bound

Khác nhau ở đâuHow they differCận sai số Lagrange dùng giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp

n+1

và áp dụng cho mọi đa thức Taylor. Cận chuỗi đan dấu chỉ lấy số hạng bỏ đi đầu tiên và chỉ dùng cho chuỗi đan dấu.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đa thức Taylor của

\sin x

hay

\ln(1+x)

rồi hỏi sai số: nếu chuỗi đan dấu có số hạng giảm dần về 0 thì dùng số hạng đầu tiên bị bỏ, còn đề yêu cầu "Lagrange" hoặc chuỗi không đan dấu (như

e^x

) thì phải dùng đạo hàm cấp

n+1

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic