AP Calculus BCAP Calculus AB

định lý Taylor với phần dưTaylor’s theorem with remainder

Taylor’s theorem with remainderVietnamese: định lý Taylor với phần dư

Còn gọi:Also called: Lagrange remainder

Định lý Taylor với phần dư (Taylor’s theorem with remainder) là định lý đánh giá sai số khi xấp xỉ hàm bằng đa thức Taylor qua đạo hàm cấp n cộng 1.Taylor's theorem with remainder is a theorem that bounds the error in approximating a function by its Taylor polynomial, using the $(n+1)$ st derivative.

Trực giác: Như đoán vị trí xe từ vị trí, vận tốc, gia tốc hiện tại. Phần sai lệch còn lại do gia tốc thay đổi, và ta chặn nó bằng mức thay đổi lớn nhất có thể.Intuition: It is similar to predicting a car's position from its current position, velocity, and acceleration. The remaining error comes from the acceleration changing, and we bound it by the largest change that could occur.

Công thức chínhKey formula

R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Định lý Taylor với phần dư (Taylor's theorem with remainder) cho biết sai số khi dùng đa thức Taylor $p_n$ bậc $n$ , tâm $a$ , thay cho $f(x)$ . Sai số đó là $R_n(x)=f(x)-p_n(x)$ .

Nếu $f$ có đạo hàm đến cấp $n+1$ trên đoạn nối $a$ với $x$ , thì $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ , với $c$ là một số nào đó nằm giữa $a$ và $x$ . Ta không biết $c$ . Vì vậy ta lấy số $M$ sao cho $|f^{(n+1)}|\le M$ trên đoạn đó, rồi viết $|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ . Với $n=0$ , ta được định lý giá trị trung bình.

Taylor's theorem with remainder gives the error that results from using the degree- $n$ Taylor polynomial $p_n$ centered at $a$ in place of $f(x)$ . This error is $R_n(x)=f(x)-p_n(x)$ .

If $f$ has derivatives up to order $n+1$ on the interval between $a$ and $x$ , then $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ , where $c$ is some number between $a$ and $x$ . The value of $c$ is unknown, so we choose a number $M$ such that $|f^{(n+1)}|\le M$ on that interval and write $|R_n(x)|\le\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ . For $n=0$ , the theorem reduces to the Mean Value Theorem.

Ký hiệuNotation

• $R_n(x)=f(x)-p_n(x)$ là phần dư
• $f^{(n+1)}(c)$ là đạo hàm bậc $n+1$ tại điểm $c$ nằm giữa $a$ và $x$
• $M$ là cận trên của $|f^{(n+1)}(x)|$ trên khoảng đang xét
• $|R_n(x)|\le \dfrac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ là chặn sai số Lagrange.

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

R_n(x)=\htmlClass{fp-2}{\frac{\htmlClass{fp-0}{f^{(n+1)}(c)}}{\htmlClass{fp-1}{(n+1)!}}}\htmlClass{fp-3}{(x-a)^{n+1}}

Dùng để viết sai số chính xác của xấp xỉ Taylor bậc $n$ ; $c$ là điểm chưa biết nằm giữa $a$ và $x$ .Use this to write the exact error of the degree- $n$ Taylor approximation; $c$ is an unknown point between $a$ and $x$ .

Trong đóWhere

R_n(x)

phần dư (sai số)

f(x)-p_n(x)

khi xấp xỉ bằng đa thức Taylor bậc

n

f^{(n+1)}

đạo hàm cấp

n+1

của

f

c

một số nào đó nằm giữa

a

và

x

, thường không xác định được giá trị cụ thể

n

bậc của đa thức Taylor

a

tâm của khai triển Taylor

|R_n(x)|\le \htmlClass{fp-0}{\frac{\htmlClass{fp-1}{M}}{\htmlClass{fp-2}{(n+1)!}}}\htmlClass{fp-3}{|x-a|^{n+1}}

Dùng khi đánh giá sai số hoặc tìm $n$ để sai số nhỏ hơn dung sai, với $|f^{(n+1)}|\le M$ trên khoảng chứa $a$ và $x$ .Use this to bound the error, or to find the $n$ that makes the error smaller than a given tolerance, where $|f^{(n+1)}|\le M$ on an interval containing $a$ and $x$ .

Trong đóWhere

M

cận trên của

|f^{(n+1)}(x)|

trên khoảng

I

I

khoảng chứa tâm

a

và điểm

x

đang xét

x-a

khoảng cách đại số từ

x

đến tâm

a

R_n(x)=f(x)-p_n(x)

Định nghĩa phần dư: hiệu giữa giá trị đúng $f(x)$ và giá trị xấp xỉ $p_n(x)$ .This defines the remainder: the difference between the true value $f(x)$ and the approximate value $p_n(x)$ .

Trong đóWhere

p_n(x)

đa thức Taylor bậc

n

của

f

tại

x=a

f(x)

giá trị đúng của hàm số

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Phần dư của đa thức Taylor bậc $n$ dùng đạo hàm cấp $n+1$ , không phải cấp $n$ .

Đa thức bậc $n$ đã khớp $f$ đến đạo hàm cấp $n$ tại $a$ . Sai số nằm ở số hạng kế tiếp, với $(x-a)^{n+1}$ và $(n+1)!$ .

Không cần tìm điểm $c$ trong phần dư Lagrange.

Định lý chỉ cho biết $c$ tồn tại giữa $a$ và $x$ . Ta chặn $|f^{(n+1)}|$ bằng một hằng số $M$ đúng trên cả đoạn đó.

Chặn sai số không phải là sai số thật.

Sai số thật có thể nhỏ hơn nhiều, nên không viết dấu bằng. Nếu chặn đã nhỏ hơn sai số cho phép của đề thì xấp xỉ đạt yêu cầu.

The remainder of a degree- $n$ Taylor polynomial uses the $(n+1)$ st derivative, not the $n$ th.

The degree- $n$ polynomial already matches $f$ through the $n$ th derivative at $a$ , so the error comes from the next term, which involves $(x-a)^{n+1}$ and $(n+1)!$ .

You do not need to find the point $c$ in the Lagrange remainder.

The theorem only guarantees that $c$ exists between $a$ and $x$ . Instead, bound $|f^{(n+1)}|$ by a constant $M$ that is valid on the entire interval.

The error bound is not the actual error.

The actual error may be much smaller, so you should never write an equal sign for the bound. If the bound is already smaller than the allowed error in the problem, the approximation is good enough.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết $f^{(n+1)}$ , $M$ và công thức chặn trước khi thay số.

AP chấm theo bước, nên đáp số đúng mà thiếu các dòng này vẫn có thể mất điểm. Cuối bài, so sánh chặn với sai số cho phép của đề.

Giải thích vì sao $M$ chặn $|f^{(n+1)}|$ trên cả đoạn từ $a$ đến $x$ , không chỉ tại một đầu mút.

Với $\sin x$ , $\cos x$ lấy $M=1$ . Với $e^{x}$ trên $[0;0{,}5]$ , đạo hàm các cấp đều là $e^x$ và tăng, nên lấy $M=e^{0{,}5}<2$ .

Write $f^{(n+1)}$ , $M$ , and the error bound formula before substituting numbers.

AP scoring is step-based, so a correct final answer without these lines can still lose points. At the end, compare the bound with the allowed error.

Explain why $M$ bounds $|f^{(n+1)}|$ on the whole interval from $a$ to $x$ , not just at one endpoint.

For $\sin x$ and $\cos x$ , use $M=1$ . For $e^{x}$ on $[0, 0.5]$ , every derivative is $e^x$ , which is increasing, so take $M=e^{0.5}<2$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1715Brook TaylorJames Gregory

Brook Taylor phát biểu một phiên bản của định lý năm 1715, sớm hơn là James Gregory năm 1671; định lý cho phép tính hàm phức tạp bằng phép số học đơn giản.

Brook Taylor stated a version of the theorem in 1715, and James Gregory had found earlier versions in 1671. The theorem makes it possible to compute complicated functions using simple arithmetic.

Vì sao mang đúng cái tên này? Phần "định lý Taylor" lấy tên Brook Taylor, người phát biểu một phiên bản của kết quả này vào năm 1715. Tuy nhiên, James Gregory đã nhắc đến một dạng sớm hơn từ năm 1671, nên tên gọi ghi nhận người phát biểu rõ ràng chứ không phải người đầu tiên chạm đến ý tưởng. Cụm "với phần dư" nói lên cấu trúc của chính công thức. Đa thức Taylor (Taylor polynomial) bậc $k$ là $P_k(x)=\sum_{i=0}^{k}\dfrac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i$ , và hàm $f(x)$ bằng đa thức này cộng thêm một số hạng còn lại. Số hạng còn lại ấy gọi là phần dư, tức phần sai lệch giữa hàm thật và đa thức xấp xỉ nó. Vì vậy, nói "định lý có phần dư" nghĩa là định lý không chỉ cho đa thức xấp xỉ mà còn cho biết cách mô tả sai số. Phần dư có thể được viết dưới nhiều dạng, và tên của mỗi dạng cũng là một cách gọi định lý. Ở dạng Peano (Peano form of the remainder), phần dư có dạng $h_k(x)(x-a)^k$ với $\lim_{x\to a}h_k(x)=0$ , tức là sai số nhỏ hơn hẳn $(x-a)^k$ khi $x$ tiến về $a$ . Bên cạnh đó còn có dạng Lagrange (Lagrange form), cũng thường được học trong các khóa giải tích nhập môn.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChặn sai số LagrangeDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ hàm bằng đa thức TaylorDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý giá trị trung bình (MVT)Ứng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firstđa thức TaylorTaylor polynomial đạo hàm cấp caohigher-order derivative định lý giá trị trung bìnhmean value theorem

Dẫn tớiLeads tocận sai số LagrangeLagrange error bound chuỗi TaylorTaylor series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

cận sai số LagrangeLagrange error bound

Khác nhau ở đâuHow they differĐịnh lý Taylor với phần dư cho một đẳng thức chính xác của sai số tại một điểm

c

chưa biết. Cận sai số Lagrange là bất đẳng thức dùng định lý đó để chặn sai số bằng một số cụ thể.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "tìm cận trên của sai số" thì dùng cận sai số Lagrange với giá trị lớn nhất của

|f^{(n+1)}|

; đừng đi tìm điểm

c

cụ thể, vì không thể xác định được.

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic