AP Calculus BC

chuỗi TaylorTaylor series

Taylor seriesVietnamese: chuỗi Taylor

Chuỗi Taylor (Taylor series) là chuỗi lũy thừa của x − a, có hệ số lấy từ các đạo hàm của hàm số tại a, dùng để biểu diễn hoặc xấp xỉ hàm số gần a.A Taylor series is a power series in $x-a$ whose coefficients come from the derivatives of a function at $a$ ; it represents or approximates the function near $a$ .

Trực giác: Biết vị trí, vận tốc, gia tốc... của xe tại đúng một giây, ta đoán được xe ở đâu vài giây kế bên. Dùng thêm số liệu, đoán thường sát hơn.Intuition: If you know a car's position, velocity, acceleration, and so on at a single second, you can predict where it will be a few seconds before or after. The more of these values you use, the closer the prediction tends to be.

Công thức chínhKey formula

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Chuỗi Taylor của $f$ tại $a$ là chuỗi lũy thừa của $(x-a)$ , với hệ số của $(x-a)^n$ bằng $f^{(n)}(a)/n!$ . Cắt chuỗi ở bậc $n$ ta được đa thức Taylor bậc $n$ , xấp xỉ $f(x)$ khi $x$ gần $a$ . Khi $a=0$ , chuỗi gọi là chuỗi Maclaurin.

Chuỗi Taylor không tự động bằng $f$ . Gọi $R_n(x)$ là $f(x)$ trừ đa thức Taylor bậc $n$ . Chuỗi hội tụ về $f(x)$ đúng khi $R_n(x)\to 0$ lúc $n\to\infty$ . Chuỗi của $e^x$ làm được với mọi $x$ . Chuỗi Maclaurin của $\ln(1+x)$ chỉ làm được khi $-1<x\le 1$ . Nếu $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ với mọi $t$ giữa $a$ và $x$ , công thức bên dưới chặn được $|R_n(x)|$ .

The Taylor series of $f$ at $a$ is the power series in $(x-a)$ in which the coefficient of $(x-a)^n$ is $f^{(n)}(a)/n!$ . Truncating the series at degree $n$ gives the Taylor polynomial of degree $n$ , which approximates $f(x)$ when $x$ is near $a$ . When $a=0$ , the series is called a Maclaurin series.

A Taylor series does not automatically equal $f$ . Let $R_n(x)$ be $f(x)$ minus the Taylor polynomial of degree $n$ . The series converges to $f(x)$ exactly when $R_n(x)\to 0$ as $n\to\infty$ . The series for $e^x$ works for every $x$ , but the Maclaurin series for $\ln(1+x)$ works only for $-1<x\le 1$ . If $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ for all $t$ between $a$ and $x$ , the formula below bounds $|R_n(x)|$ .

Ký hiệuNotation

• $\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ là chuỗi Taylor của $f$ tại $a$
• $f^{(n)}(a)$ là đạo hàm cấp $n$ tại $a$ (với $f^{(0)}=f$ )
•khi $a=0$ chuỗi có dạng $\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
• $T_n(x)$ là đa thức Taylor bậc $n$ và $R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ là phần dư.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

f(x)=\htmlClass{fp-3}{\sum_{n=0}^{\infty}\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}\htmlClass{fp-1}{(x-a)^n}}}

Dùng để viết hàm khả vi vô hạn lần tại $a$ thành chuỗi lũy thừa của $(x-a)$ , với những $x$ mà $R_n(x)\to 0$ .Use this to write a function that is infinitely differentiable at $a$ as a power series in $(x-a)$ , for those $x$ where $R_n(x)\to 0$ .

Trong đóWhere

f^{(n)}(a)

đạo hàm cấp

n

của

f

tính tại

x=a

, với

f^{(0)}=f

a

tâm của chuỗi, điểm mà quanh đó ta khai triển hàm

n!

giai thừa của

n

, quy ước

0!=1

x

biến của hàm, phải nằm trong khoảng hội tụ của chuỗi

\htmlClass{fp-3}{\left|R_n(x)\right|\le \htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{\frac{M}{(n+1)!}}\htmlClass{fp-1}{\left|x-a\right|^{n+1}}}}

Dùng để ước lượng sai số của đa thức Taylor bậc $n$ khi $|f^{(n+1)}(x)|\le M$ với $|x-a|\le d$ , và để chứng minh $R_n(x)\to 0$ .Use this to bound the error of the Taylor polynomial of degree $n$ when $|f^{(n+1)}(x)|\le M$ for $|x-a|\le d$ , and to prove that $R_n(x)\to 0$ .

Trong đóWhere

R_n(x)

phần dư, bằng

f(x)

trừ đa thức Taylor bậc

n

của

f

tại

a

M

một số thỏa

\left|f^{(n+1)}(x)\right|\le M

trên khoảng đang xét

n

bậc của đa thức Taylor dùng để xấp xỉ

a

tâm khai triển

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Bậc $n$ nghĩa là bậc cao nhất, không phải số lượng số hạng.

Với $\cos x$ , đa thức bậc 4 là $1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$ , chỉ có 3 số hạng vì hệ số của $x$ và $x^3$ bằng 0.

Hệ số của $x^n$ trong chuỗi Taylor tại $0$ là $f^{(n)}(0)/n!$ , không phải $f^{(n)}(0)$ .

Với $f(x)=\sin^2 x$ , $f''(0)=2$ nên hệ số của $x^2$ là $\frac{2}{2!}=1$ , không phải 2. Quên chia giai thừa là sai ngay từ hệ số.

$\sin(x^2)$ khác $\sin^2 x$ .

Với $\sin(x^2)$ , hãy thế $x^2$ vào chuỗi của $\sin x$ , đừng bình phương chuỗi. Ta được $x^2-\frac{x^6}{3!}+\cdots$ .

The degree $n$ means the highest power, not the number of terms.

For $\cos x$ , the degree-4 polynomial is $1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$ , which has only 3 terms because the coefficients of $x$ and $x^3$ are 0.

The coefficient of $x^n$ in the Taylor series at $0$ is $f^{(n)}(0)/n!$ , not $f^{(n)}(0)$ .

For $f(x)=\sin^2 x$ , $f''(0)=2$ , so the coefficient of $x^2$ is $\frac{2}{2!}=1$ , not 2. Forgetting to divide by the factorial makes the coefficient wrong from the start.

$\sin(x^2)$ is not the same as $\sin^2 x$ .

For $\sin(x^2)$ , substitute $x^2$ into the series for $\sin x$ rather than squaring the series. This gives $x^2-\frac{x^6}{3!}+\cdots$ .

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Viết vài số hạng đầu, dấu "⋯" và số hạng tổng quát trước khi thay số.

Giám khảo chấm theo các số hạng em viết ra. Đáp số đúng mà thiếu bước này vẫn có thể mất điểm.

Với $\sin(x^2)$ , hãy thế vào chuỗi quen thuộc, đừng tính đạo hàm cấp cao của hàm hợp.

Đọc ngay hệ số từng số hạng. Nếu cần $f^{(n)}(0)$ thì nhân hệ số của $x^n$ với $n!$ . Cách này nhanh hơn và ít sai hơn.

Khi thay số vào chuỗi, hãy ghi rõ chuỗi hội tụ về $f(x)$ tại điểm đó.

Chuỗi hội tụ tại $x$ chưa chắc bằng $f(x)$ . Hãy dùng $R_n(x)\to 0$ , hoặc dùng khoảng giá trị $x$ đã biết của các chuỗi quen thuộc như $e^x$ , $\sin x$ , $\ln(1+x)$ .

Write the first few terms, an ellipsis, and the general term before you substitute any values.

Graders award points for the terms you write out. A correct final answer without this step can still lose credit.

For $\sin(x^2)$ , substitute into a familiar series instead of computing high-order derivatives of the composite function.

You can read off each coefficient directly. If you need $f^{(n)}(0)$ , multiply the coefficient of $x^n$ by $n!$ . This is faster and less error-prone.

When you substitute a value into a series, state that the series converges to $f(x)$ at that point.

Convergence at $x$ does not guarantee that the sum equals $f(x)$ . Show that $R_n(x)\to 0$ , or use the known interval of validity for standard series such as $e^x$ , $\sin x$ , and $\ln(1+x)$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1715Brook TaylorJames GregoryColin Maclaurin

Brook Taylor công bố phương pháp tổng quát năm 1715 để biểu diễn hàm bằng tổng vô hạn từ đạo hàm; James Gregory đã có ý tưởng này trước.

Brook Taylor published the general method in 1715 for representing a function as an infinite sum built from its derivatives; James Gregory had the idea earlier.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên "chuỗi Taylor" ghi nhận Brook Taylor, người đã công bố phương pháp tổng quát để dựng chuỗi này vào năm 1715. Tuy nhiên, tên gọi không hoàn toàn phản ánh người đến đầu tiên. Khái niệm này đã được nhà toán học Scotland James Gregory xây dựng trước, nên một số tài liệu nhận xét rằng định lý Taylor (Taylor's theorem) thật ra do Gregory phát hiện đầu tiên. Vì vậy, cái tên gắn với người công bố dạng tổng quát hơn là người nghĩ ra đầu tiên. Trường hợp đặc biệt khi chuỗi được khai triển tại điểm 0 gọi là chuỗi Maclaurin (Maclaurin series), theo tên nhà toán học Scotland Colin Maclaurin. Ông đã sử dụng rộng rãi trường hợp riêng này trong thế kỷ 18, nên tên ông được gắn vào nó. Cũng theo cách đặt tên ấy, đa thức tạo bởi vài số hạng đầu của chuỗi được gọi là đa thức Taylor (Taylor polynomial).

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuỗi Taylor và Maclaurin của một hàm sốDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termXấp xỉ hàm bằng đa thức TaylorDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChặn sai số LagrangeDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstđạo hàm cấp caohigher-order derivative

Dẫn tớiLeads tocận sai số LagrangeLagrange error bound khoảng hội tụinterval of convergence

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

chuỗi MaclaurinMaclaurin series

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi Taylor khai triển quanh tâm

a

bất kỳ, với các luỹ thừa của

(x-a)

. Chuỗi Maclaurin chỉ khai triển quanh

a=0

, với các luỹ thừa của

x

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho khai triển quanh

x=2

hay

x=1

thì phải dùng chuỗi Taylor với

(x-2)

hoặc

(x-1)

, đừng chép nhầm công thức Maclaurin của

e^x

\sin x

hay

\ln(1+x)

đa thức TaylorTaylor polynomial

Khác nhau ở đâuHow they differChuỗi Taylor có vô hạn số hạng và cần xét hội tụ. Đa thức Taylor chỉ giữ hữu hạn số hạng đầu nên luôn tính được giá trị cụ thể.

Hay nhầm khiMixed up whenCâu hỏi xấp xỉ giá trị hay yêu cầu sai số thì dùng đa thức Taylor kèm cận sai số. Câu hỏi về tổng, bán kính hay khoảng hội tụ thì làm việc với cả chuỗi.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 17, 19, 794.