AP Calculus BC

bán kính hội tụradius of convergence

radius of convergenceVietnamese: bán kính hội tụ

Bán kính hội tụ (radius of convergence) là số R sao cho chuỗi lũy thừa tâm a hội tụ khi x cách a nhỏ hơn R và phân kỳ khi x cách a lớn hơn R.The radius of convergence is the number R such that a power series centered at a converges when x is within R of a and diverges when x is more than R from a.

Trực giác: Bán kính hội tụ giống tầm phủ sóng của một cột phát wifi đặt tại tâm: trong vòng bán kính ấy tín hiệu ổn định, ra xa hơn thì mất hẳn, còn đúng ranh giới thì phải ra tận nơi mới biết.Intuition: Think of the radius of convergence as the coverage range of a wifi transmitter placed at the center: within that radius the signal is reliable, farther out it disappears completely, and right at the boundary you have to go there to find out.

Công thức chínhKey formula

R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Bán kính hội tụ $R$ là nửa độ rộng của vùng quanh tâm $a$ mà chuỗi lũy thừa còn hội tụ. Chuỗi hội tụ khi $|x-a|<R$ và phân kỳ khi $|x-a|>R$ . Nếu chuỗi chỉ hội tụ tại $x=a$ thì $R=0$ . Nếu hội tụ với mọi $x$ thì $R=\infty$ .

Gọi $u_n$ là số hạng thứ $n$ của chuỗi. Thường giải $\lim_{n\to\infty}|u_{n+1}/u_n|<1$ để ra $|x-a|<R$ . Với chuỗi $\sum c_n(x-a)^n$ , $c_n$ là hệ số của $(x-a)^n$ . Công thức bên dưới dùng được khi giới hạn tồn tại (hoặc bằng $\infty$ ). Tại $x=a\pm R$ phải xét riêng. Đạo hàm hay nguyên hàm từng số hạng giữ nguyên $R$ ; đầu mút có thể khác.

The radius of convergence $R$ is half the width of the interval around the center $a$ on which a power series converges. The series converges when $|x-a|<R$ and diverges when $|x-a|>R$ . If the series converges only at $x=a$ , then $R=0$ . If it converges for every $x$ , then $R=\infty$ .

Let $u_n$ be the $n$ th term of the series. To find $R$ , you typically solve $\lim_{n\to\infty}|u_{n+1}/u_n|<1$ for $|x-a|<R$ . For a series $\sum c_n(x-a)^n$ , $c_n$ is the coefficient of $(x-a)^n$ . The formula below works when the limit exists (or equals $\infty$ ). The endpoints $x=a\pm R$ must be checked separately. Differentiating or integrating term by term leaves $R$ unchanged, although the behavior at the endpoints may change.

Ký hiệuNotation

• $R$ là bán kính hội tụ
•chuỗi lũy thừa $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$ hội tụ khi $|x-a|<R$
• $R=0$ hoặc $R=\infty$ là hai trường hợp đặc biệt.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

R=\htmlClass{fp-2}{\lim_{n\to\infty}\htmlClass{fp-1}{\left|\htmlClass{fp-0}{\frac{c_n}{c_{n+1}}}\right|}}

Dùng để tìm $R$ của chuỗi $\sum c_n(x-a)^n$ khi giới hạn tồn tại; không cho biết hai đầu mút.Use this to find $R$ for a series $\sum c_n(x-a)^n$ when the limit exists; it says nothing about the endpoints.

Trong đóWhere

R

bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

c_n

hệ số của số hạng thứ

n

trong chuỗi

\sum c_n(x-a)^n

c_{n+1}

hệ số của số hạng liền sau

c_n

a

tâm của chuỗi lũy thừa

|x-a|<R \Rightarrow \text{converges},\qquad |x-a|>R \Rightarrow \text{diverges}

Dùng khi cần phát biểu ý nghĩa của $R$ : hội tụ bên trong, phân kỳ bên ngoài, đầu mút xét riêng.Use this when you need to state what $R$ means: convergence inside, divergence outside, and the endpoints checked separately.

Trong đóWhere

|x-a|

khoảng cách từ điểm

x

đến tâm

a

R

bán kính hội tụ

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Bán kính hội tụ không cho biết chuỗi có hội tụ tại hai đầu mút hay không.

Tại đó tỉ số có giới hạn bằng 1, nên phải thay từng đầu mút vào. Ví dụ $\sum \frac{(x-3)^{2n}}{n}$ có $R=1$ ; cả hai đầu mút cho $\sum\frac1n$ phân kỳ, nên khoảng hội tụ là $(2,4)$ .

Vùng hội tụ nằm quanh tâm $a$ , không phải lúc nào cũng quanh 0.

Khoảng $(a-R,\,a+R)$ chắc chắn hội tụ, còn đầu mút xét riêng. Chuỗi $\sum \frac{(x-5)^n}{2^n n^2}$ có $R=2$ nên vùng hội tụ nằm giữa 3 và 7. Đừng viết $|x|<R$ thay cho $|x-a|<R$ .

Nếu giới hạn tỉ số là $k|x-a|$ (với $k>0$ ) thì $R=1/k$ , không phải $k$ .

Chẳng hạn $\frac{|x|}{4}<1$ cho $|x|<4$ , nên $R=4$ chứ không phải $\frac14$ . Phải giải bất đẳng thức theo $x$ , không đọc thẳng hệ số làm bán kính.

The radius of convergence does not tell you whether the series converges at the endpoints.

At the endpoints the ratio limit equals 1, so you must substitute each endpoint into the series and test it. For example, $\sum \frac{(x-3)^{2n}}{n}$ has $R=1$ ; both endpoints give the divergent series $\sum\frac1n$ , so the interval of convergence is $(2,4)$ .

The region of convergence is centered at $a$ , not always at 0.

The interval $(a-R,\,a+R)$ is guaranteed to converge, while the endpoints must be checked separately. The series $\sum \frac{(x-5)^n}{2^n n^2}$ has $R=2$ , so its region of convergence lies between 3 and 7. Do not write $|x|<R$ in place of $|x-a|<R$ .

If the limit of the ratio is $k|x-a|$ (with $k>0$ ), then $R=1/k$ , not $k$ .

For instance, $\frac{|x|}{4}<1$ gives $|x|<4$ , so $R=4$ , not $\frac14$ . Solve the inequality for $x$ rather than reading the coefficient directly as the radius.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trong bài tự luận AP, hãy viết đủ các bước, không chỉ đáp số.

Lập $\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|$ với $u_n$ là số hạng thứ $n$ , tính giới hạn, cho nhỏ hơn 1, rồi giải ra $|x-a|<R$ . Đừng bỏ dấu giá trị tuyệt đối quanh $x-a$ .

Ở đầu mút, hãy nhìn dấu các số hạng trước khi chọn kiểm định.

Với $\sum \frac{(x-5)^n}{2^n n^2}$ và $R=2$ : $x=3$ cho $\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ đan dấu (dùng kiểm định chuỗi đan dấu), $x=7$ cho $\sum\frac1{n^2}$ toàn số dương (dùng chuỗi $p$ ). Cả hai hội tụ nên khoảng hội tụ là $[3,7]$ .

On AP free-response questions, show every step, not just the final answer.

Set up $\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|$ with $u_n$ as the $n$ th term, take the limit, set it less than 1, and solve for $|x-a|<R$ . Do not drop the absolute value bars around $x-a$ .

At an endpoint, look at the signs of the terms before choosing a test.

For $\sum \frac{(x-5)^n}{2^n n^2}$ with $R=2$ : $x=3$ gives the alternating series $\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ (use the Alternating Series Test), and $x=7$ gives the all-positive series $\sum\frac1{n^2}$ (use the $p$ -series test). Both converge, so the interval of convergence is $[3,7]$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1821Augustin-Louis CauchyJacques Hadamard

Năm 1821, Cauchy chứng minh mọi chuỗi lũy thừa đều có bán kính hội tụ xác định; năm 1892, Hadamard đưa ra công thức tổng quát tính bán kính ấy.

In 1821, Cauchy proved that every power series has a well-defined radius of convergence; in 1892, Hadamard gave a general formula for computing it.

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi này xuất phát từ hình học của mặt phẳng phức. Khi các hệ số của chuỗi lũy thừa là số phức, những giá trị $x$ thỏa $|x|<R$ tạo thành một hình tròn mở (đĩa) quanh tâm của chuỗi, và $R$ chính là bán kính của hình tròn ấy. Chuỗi hội tụ bên trong đĩa này, nên $R$ được gọi là "bán kính hội tụ". Cách đặt tên còn mang một ý nghĩa sâu hơn: trong giải tích phức, bán kính đó bằng khoảng cách từ tâm đến điểm kỳ dị (singularity) gần nhất của hàm. Nhờ đó, những bán kính tưởng như khó hiểu trên trục số thực có thể giải thích bằng hình học trên mặt phẳng phức.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBán kính và khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừaDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn tỉ số cho hội tụDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Dẫn tớiLeads tochuỗi TaylorTaylor series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

khoảng hội tụinterval of convergence

Khác nhau ở đâuHow they differBán kính hội tụ là một con số

R\ge 0

đo nửa độ rộng của vùng hội tụ. Khoảng hội tụ là tập các giá trị

x

cụ thể, có thể gồm hoặc không gồm hai đầu mút.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "tìm bán kính" thì chỉ cần

R

, không xét đầu mút; đề hỏi "tìm khoảng" thì phải thử riêng

x=a\pm R

bằng các tiêu chuẩn khác, rồi mới kết luận.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 782, 789, 799.