AP Calculus BCAP Calculus AB

dãy số hội tụconvergent sequence

convergent sequenceVietnamese: dãy số hội tụ

Dãy số hội tụ (convergent sequence) là dãy số mà các số hạng tiến sát một số thực L cố định khi chỉ số n tăng đủ lớn, và L được gọi là giới hạn của dãy.A convergent sequence is a sequence whose terms get arbitrarily close to a fixed real number $L$ as the index $n$ becomes large enough; $L$ is called the limit of the sequence.

Trực giác: Như người đi về một cột mốc: dù vẽ vòng tròn nhỏ đến đâu quanh cột mốc, đi đủ lâu thì người đó ở trong vòng và không ra nữa.Intuition: Picture a walker heading toward a landmark: no matter how small a circle you draw around the landmark, after walking long enough the walker is inside the circle and never leaves it.

Công thức chínhKey formula

\lim_{n\to\infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists N:\ n>N \Rightarrow |a_n-L|<\varepsilon

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Dãy số hội tụ là dãy mà số hạng thứ $n$ , ký hiệu $a_n$ , gần một số thực $L$ cố định bao nhiêu cũng được, miễn là $n$ đủ lớn. Với $a_n=1/n$ , $n$ càng lớn thì $a_n$ càng gần $0$ , nên dãy hội tụ về $0$ .

Dãy $a_n=(-1)^n$ cứ nhảy giữa $-1$ và $1$ nên không hội tụ, ta gọi là phân kỳ. Giới hạn $L$ phải là số thực.

A convergent sequence is a sequence whose $n$ th term, $a_n$ , can be made as close as desired to a fixed real number $L$ by taking $n$ large enough. For $a_n=1/n$ , the larger $n$ gets, the closer $a_n$ is to $0$ , so the sequence converges to $0$ .

The sequence $a_n=(-1)^n$ keeps jumping between $-1$ and $1$ , so it does not converge; we say it diverges. The limit $L$ must be a real number.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ hoặc $a_n \to L$ khi $n \to \infty$
• $\{a_n\}$ là kí hiệu của cả dãy.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\lim_{n\to\infty} a_n = L} \iff \htmlClass{fp-1}{\forall \varepsilon>0},\ \htmlClass{fp-2}{\exists N}:\ \htmlClass{fp-3}{n>N} \Rightarrow \htmlClass{fp-5}{\htmlClass{fp-4}{|a_n-L|}<\varepsilon}

Dùng để chứng minh chặt chẽ dãy hội tụ về $L$ : với mọi $\varepsilon>0$ phải tìm được $N$ tương ứng.Use this to prove rigorously that a sequence converges to $L$ : for every $\varepsilon>0$ , you must find a corresponding $N$ .

Trong đóWhere

a_n

số hạng thứ

n

của dãy

L

giới hạn của dãy, là một số thực hữu hạn

\varepsilon

sai số dương cho trước, nhỏ tuỳ ý

N

chỉ số mà từ đó trở đi mọi số hạng đều nằm trong khoảng sai số

\lim_{n\to\infty} f(a_n) = f(L)

Dùng khi $a_n\to L$ và $f$ liên tục tại $L$ : đưa giới hạn vào trong hàm, ví dụ $\lim \sin(\pi/n)=0$ .Use this when $a_n\to L$ and $f$ is continuous at $L$ : the limit can be moved inside the function, for example $\lim \sin(\pi/n)=0$ .

Trong đóWhere

f

hàm số liên tục tại

L

a_n

dãy hội tụ về

L

L

giới hạn của dãy

\{a_n\}

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Dãy bị chặn chưa chắc hội tụ.

Dãy $a_n=(-1)^n$ nằm trong $[-1,1]$ nhưng nhảy qua lại giữa $-1$ và $1$ nên phân kỳ. Chiều đúng là: dãy hội tụ thì bị chặn, tức mọi số hạng nằm trong một đoạn cố định.

Dãy tiến ra vô cực không phải dãy hội tụ.

Viết $\lim a_n=\infty$ chỉ để nói $a_n$ tăng không giới hạn. Vì $\infty$ không phải số thực, nên $a_n=n^2$ phân kỳ.

Dãy có số hạng trùng giới hạn vẫn hội tụ.

Dãy hằng $3,3,3,\dots$ hội tụ về $3$ . Định nghĩa chỉ đòi $a_n$ gần $L$ khi $n$ đủ lớn, không cấm $a_n=L$ .

A bounded sequence does not have to converge.

The sequence $a_n=(-1)^n$ lies in $[-1,1]$ but keeps alternating between $-1$ and $1$ , so it diverges. The true statement goes the other way: every convergent sequence is bounded, meaning all its terms lie in some fixed interval.

A sequence that goes to infinity is not a convergent sequence.

Writing $\lim a_n=\infty$ only says that $a_n$ increases without bound. Since $\infty$ is not a real number, $a_n=n^2$ diverges.

A sequence whose terms equal the limit still converges.

The constant sequence $3,3,3,\dots$ converges to $3$ . The definition only requires $a_n$ to be close to $L$ for large $n$ ; it does not forbid $a_n=L$ .

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Muốn dùng L'Hôpital cho dãy, hãy chuyển sang hàm $f(x)$ với $a_n=f(n)$ .

Dãy chỉ có giá trị tại số nguyên dương nên không đạo hàm theo $n$ được. Kiểm tra dạng $0/0$ hoặc $\infty/\infty$ , tính $\lim_{x\to\infty}f(x)$ . Nếu bằng $L$ thì $\lim a_n=L$ .

Với $p>0$ và $a>1$ , tốc độ tăng theo thứ tự: $\ln n$ , $n^p$ , $a^n$ , $n!$ .

Hàm đứng sau tăng nhanh hơn, nên tỉ số hàm chậm trên hàm nhanh tiến về $0$ . Chẳng hạn $n^5/2^n\to 0$ . Cuối bài, kết luận dãy hội tụ về giá trị nào hoặc phân kỳ.

Chỉ đổi $\lim f(a_n)$ thành $f(L)$ khi $f$ liên tục tại $L$ .

Cần thêm $a_n\to L$ và $f$ xác định tại mọi $a_n$ . Ví dụ: $a_n=1/n\to 0$ , $f(x)=1$ với $x\ne 0$ và $f(0)=0$ . Khi đó $f(a_n)=1$ nhưng $f(0)=0$ .

To apply L'Hôpital's Rule to a sequence, switch to a function $f(x)$ with $a_n=f(n)$ .

A sequence is defined only at positive integers, so you cannot differentiate with respect to $n$ . Check for the form $0/0$ or $\infty/\infty$ and compute $\lim_{x\to\infty}f(x)$ ; if it equals $L$ , then $\lim a_n=L$ .

For $p>0$ and $a>1$ , growth rates rank in this order: $\ln n$ , $n^p$ , $a^n$ , $n!$ .

Each function grows faster than the ones before it, so a ratio of a slower function to a faster one tends to $0$ . For example, $n^5/2^n\to 0$ . At the end, state the value the sequence converges to, or that it diverges.

Replace $\lim f(a_n)$ with $f(L)$ only when $f$ is continuous at $L$ .

You also need $a_n\to L$ and $f$ defined at every $a_n$ . For example, let $a_n=1/n\to 0$ , with $f(x)=1$ for $x\ne 0$ and $f(0)=0$ . Then $f(a_n)=1$ for every $n$ , but $f(0)=0$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCÍt gặpUncommon

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABÍt gặpUncommon

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa giới hạn & ký hiệu giới hạnGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa limit và cách đọc limit notationGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDãy số & chuỗi vô hạnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstgiới hạn tại vô cựclimit at infinity

Dẫn tớiLeads totổng riêngpartial sum

So vớiComparedãy số phân kỳdivergent sequence

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

dãy số phân kỳdivergent sequence

Khác nhau ở đâuHow they differDãy hội tụ có số hạng tiến về một số thực

L

duy nhất khi

n\to\infty

. Dãy phân kỳ thì không tiến về số thực nào, vì tăng vô hạn hoặc dao động mãi.

Hay nhầm khiMixed up whenDãy

a_n=(-1)^n

bị chặn nhưng vẫn phân kỳ vì dao động giữa

-1

và

1

; bị chặn chưa đủ để kết luận hội tụ.

chuỗi vô hạninfinite series

Khác nhau ở đâuHow they differDãy hội tụ xét giới hạn của chính các số hạng

a_n

. Chuỗi hội tụ xét giới hạn của các tổng riêng

S_n=a_1+\dots+a_n

Hay nhầm khiMixed up whenDãy

a_n=1/n

hội tụ về

0

, nhưng chuỗi

\sum 1/n

(chuỗi điều hoà) vẫn phân kỳ.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 729, 731, 736.