AP Calculus BCAP Calculus AB

dãy số phân kỳdivergent sequence

divergent sequenceVietnamese: dãy số phân kỳ

Dãy số phân kỳ (divergent sequence) là dãy không tiến về một số thực cố định nào, vì số hạng hoặc ra xa vô hạn, hoặc dao động mãi.A divergent sequence is a sequence that does not approach any fixed real number, because its terms either grow without bound or oscillate forever.

Trực giác: Như người đi bộ không bao giờ đến sát một điểm cố định: hoặc đi xa mãi, hoặc cứ đi qua đi lại giữa những chỗ cách xa nhau.Intuition: Picture a walker who never settles near any fixed point: either they keep walking farther and farther away, or they keep going back and forth between places that are far apart.

Công thức chínhKey formula

\lim_{n\to\infty} a_n=\infty \iff \forall M>0,\ \exists N,\ n>N \Rightarrow a_n>M

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Dãy số phân kỳ là dãy $a_n$ (số hạng thứ $n$ ) không hội tụ, tức là không có số thực $L$ nào để $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ . Ví dụ $a_n=n^2$ lớn mãi, còn $a_n=(-1)^n$ cứ nhảy giữa $-1$ và $1$ .

Với $a_n=n^2$ ta viết $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ , nhưng $\infty$ không phải số thực, nên dãy vẫn phân kỳ. Dãy dao động cũng có thể không bị chặn, như $(-1)^n n$ . Dãy luôn tăng (hoặc luôn giảm) mà phân kỳ thì chắc chắn không bị chặn.

A divergent sequence is a sequence $a_n$ (where $a_n$ is the $n$ th term) that does not converge, meaning there is no real number $L$ such that $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ . For example, $a_n=n^2$ grows without bound, while $a_n=(-1)^n$ keeps jumping between $-1$ and $1$ .

For $a_n=n^2$ we write $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ , but $\infty$ is not a real number, so the sequence still diverges. An oscillating sequence can also be unbounded, such as $(-1)^n n$ . A sequence that is always increasing (or always decreasing) and diverges must be unbounded.

Ký hiệuNotation

• $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ hoặc $-\infty$ (phân kỳ ra vô cực)
• $\lim_{n\to\infty} a_n$ không tồn tại (dao động)
• $\{a_n\}$ hoặc $a_n$ là ký hiệu dãy số.

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-0}{\lim_{n\to\infty} a_n=\infty} \iff \htmlClass{fp-1}{\forall M>0,}\ \htmlClass{fp-2}{\exists N,}\ \htmlClass{fp-3}{n>N \Rightarrow a_n>M}

Dùng để chứng minh chặt chẽ một dãy phân kỳ ra vô cực, như $a_n=n^2$ . Không bao quát dãy dao động như $(-1)^n$ .This is used to prove rigorously that a sequence diverges to infinity, such as $a_n=n^2$ . It does not cover oscillating sequences such as $(-1)^n$ .

Trong đóWhere

a_n

số hạng thứ

n

của dãy

M

mốc dương lớn tùy ý mà số hạng của dãy phải vượt qua

N

chỉ số sao cho mọi số hạng đứng sau vị trí

N

đều lớn hơn

M

n

chỉ số của số hạng, là số nguyên dương

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Phân kỳ không có nghĩa là số hạng chỉ tăng mãi.

Dãy chỉ cần không tiến về một số thực. $(-1)^n$ nhảy giữa $-1$ và $1$ nên phân kỳ, còn $a_n=n$ phân kỳ vì lớn lên không giới hạn.

Dãy bị chặn mà không đơn điệu vẫn có thể phân kỳ.

$(-1)^n$ luôn nằm trong đoạn từ $-1$ đến $1$ nhưng phân kỳ. Nếu dãy vừa bị chặn vừa luôn tăng (hoặc luôn giảm) thì chắc chắn hội tụ.

Dãy có giới hạn bằng $\infty$ vẫn là dãy phân kỳ.

$\infty$ không phải số thực. Với $a_n$ là số hạng thứ $n$ , viết $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ chỉ cho biết $a_n$ lớn vượt mọi mức cho trước.

Divergence does not mean the terms only keep increasing.

A sequence only has to fail to approach a real number. $(-1)^n$ jumps between $-1$ and $1$ , so it diverges, while $a_n=n$ diverges because it grows without bound.

A bounded sequence that is not monotonic can still diverge.

$(-1)^n$ always stays between $-1$ and $1$ but diverges. If a sequence is both bounded and always increasing (or always decreasing), it must converge.

A sequence whose limit is $\infty$ is still a divergent sequence.

$\infty$ is not a real number. With $a_n$ the $n$ th term, writing $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ only says that $a_n$ eventually exceeds any given value.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Muốn kết luận phân kỳ, hãy tính giới hạn trước.

Ví dụ viết $\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{3n+1}=\infty$ rồi mới ghi "phân kỳ". Dùng L'Hôpital thì đổi $n$ thành biến thực $x$ trước, vì đạo hàm chỉ có với hàm của biến thực.

Chứng minh dãy dao động bằng hai dãy con có giới hạn khác nhau.

Dãy con là một phần số hạng của dãy gốc, giữ nguyên thứ tự, như các số hạng vị trí chẵn hoặc lẻ. Với $a_n=\cos(n\pi)$ , vị trí chẵn cho $1$ , vị trí lẻ cho $-1$ .

To conclude that a sequence diverges, evaluate the limit first.

For example, write $\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{3n+1}=\infty$ and only then state "diverges." To use L'Hôpital's Rule, first replace $n$ with a real variable $x$ , because derivatives exist only for functions of a real variable.

Prove that a sequence oscillates by finding two subsequences with different limits.

A subsequence consists of some of the original terms, kept in their original order, such as the even-indexed or odd-indexed terms. For $a_n=\cos(n\pi)$ , the even-indexed terms equal $1$ and the odd-indexed terms equal $-1$ .

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1821Leonhard EulerAugustin-Louis CauchyHenri PoincaréErnesto Cesàro

Năm 1821, Cauchy định nghĩa chặt chẽ sự hội tụ qua dãy tổng riêng, nhờ đó "phân kỳ" mới có nghĩa rõ ràng.

In 1821, Cauchy gave a rigorous definition of convergence using the sequence of partial sums, which gave "divergence" a clear meaning.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTiêu chuẩn số hạng thứ n cho phân kỳDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn tại vô cực và tiệm cận ngangGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termGiới hạn tại vô cực và tiệm cận ngangGiới hạn & tính liên tục · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termDãy số & chuỗi vô hạnDãy số & chuỗi vô hạn · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstgiới hạnlimit

Dẫn tớiLeads totiêu chuẩn phân kỳdivergence test sự phân kỳ của chuỗidivergence of a series

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

dãy số hội tụconvergent sequence

Khác nhau ở đâuHow they differDãy số hội tụ có giới hạn là một số thực hữu hạn. Dãy số phân kỳ thì giới hạn không tồn tại hoặc bằng

\pm\infty

Hay nhầm khiMixed up whenDãy

a_n=(-1)^n

bị chặn nhưng vẫn phân kỳ vì dao động giữa hai giá trị, nên không thể kết luận hội tụ chỉ vì dãy bị chặn.

sự phân kỳ của chuỗidivergence of a series

Khác nhau ở đâuHow they differDãy số phân kỳ nói về giới hạn của chính các số hạng

a_n

. Chuỗi phân kỳ nói về giới hạn của dãy tổng riêng

S_n

Hay nhầm khiMixed up whenDãy

a_n=1/n

hội tụ về 0 nhưng chuỗi

\sum 1/n

vẫn phân kỳ; đề hay đánh lừa bằng cách trộn lẫn hai đối tượng này.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 736, 1356.