AP Calculus BCAP Calculus AB

hàm số hợpcomposite function

composite functionVietnamese: hàm số hợp

Hàm số hợp (composite function) là hàm mới tạo ra khi lấy kết quả của một hàm làm đầu vào của hàm thứ hai.A composite function is a new function formed by using the output of one function as the input of a second function.

Trực giác: Giống dây chuyền rửa rồi sấy bát: bát ra khỏi máy rửa là đầu vào của máy sấy. Đổi thứ tự hai máy thì kết quả thường khác.Intuition: Think of a dish-washing line: the dishes that come out of the washer become the input for the dryer. Swap the order of the two machines and the result usually changes.

Công thức chínhKey formula

(f\circ g)(x)=f(g(x))

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm số hợp (composite function) $f\circ g$ là phép nối tiếp hai hàm: tính $g(x)$ trước, rồi đưa kết quả vào $f$ . Hàm đứng sát $x$ được tính đầu tiên.

Ví dụ: với $g(x)=x+1$ và $f(x)=x^2$ , ta có $(f\circ g)(2)=f(3)=9$ . Điều kiện: $x$ thuộc miền xác định của $g$ , và $g(x)$ thuộc miền xác định của $f$ . Nói chung $f\circ g\ne g\circ f$ . Ta có thể hợp ba hàm trở lên, và tách một hàm phức tạp thành các hàm đơn giản để tính đạo hàm.

A composite function $f\circ g$ chains two functions: first compute $g(x)$ , then feed that result into $f$ . The function closest to $x$ is applied first.

For example, if $g(x)=x+1$ and $f(x)=x^2$ , then $(f\circ g)(2)=f(3)=9$ . The composition is defined only when $x$ is in the domain of $g$ and $g(x)$ is in the domain of $f$ . In general, $f\circ g\ne g\circ f$ . You can compose three or more functions, and you can break a complicated function into simpler ones to find its derivative.

Ký hiệuNotation

• $f\circ g$ đọc là " $f$ tròn $g$ "
• $(f\circ g)(x)=f(g(x))$
• $(f\circ g\circ h)(x)=f(g(h(x)))$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{(f\circ g)(x)}=\htmlClass{fp-1}{f(\htmlClass{fp-0}{g(x)})}

Dùng khi đầu ra của $g$ làm đầu vào của $f$ ; cần $x$ thuộc miền của $g$ và $g(x)$ thuộc miền của $f$ .Use this when the output of $g$ becomes the input of $f$ ; it requires $x$ to be in the domain of $g$ and $g(x)$ to be in the domain of $f$ .

Trong đóWhere

g

hàm trong, được áp dụng trước lên

x

f

hàm ngoài, được áp dụng sau lên giá trị

g(x)

x

biến đầu vào, phải thuộc tập xác định của

g

f\circ g

hàm hợp của

f

và

g

\htmlClass{fp-3}{(f\circ g\circ h)(x)}=\htmlClass{fp-2}{f(\htmlClass{fp-1}{g(\htmlClass{fp-0}{h(x)})})}

Dùng khi hàm phức tạp được dựng từ ba phép tính nối tiếp, như $\cos^2(x+9)$ ; $h$ được áp dụng đầu tiên.Use this when a complicated function is built from three successive operations, such as $\cos^2(x+9)$ ; $h$ is applied first.

Trong đóWhere

h

hàm trong cùng, áp dụng đầu tiên

g

hàm ở giữa, áp dụng thứ hai

f

hàm ngoài cùng, áp dụng cuối

x

biến đầu vào của cả chuỗi

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Trong $(g\circ f)(x)$ , hàm $f$ được áp dụng trước, không phải $g$ .

Kí hiệu đọc từ phải sang trái: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . Với $f(x)=x+1$ và $g(x)=x^2$ , $g(f(2))=9$ chứ không phải $f(g(2))=5$ .

$f(g(x))$ không phải tích $f(x)\cdot g(x)$ .

Dấu ngoặc chỉ việc thay $g(x)$ vào chỗ biến của $f$ . Chẳng hạn $\sin(x^2)$ khác $(\sin x)^2$ , nên đổi thứ tự thường cho kết quả khác.

Đừng đọc miền xác định của hàm hợp từ biểu thức đã rút gọn.

Với $g(x)=\sqrt{x}$ và $f(x)=x^2$ , $f(g(x))$ rút gọn thành $x$ . Nhưng hàm hợp chỉ xác định khi $x\ge 0$ , vì $g$ đòi hỏi điều đó.

In $(g\circ f)(x)$ , $f$ is applied first, not $g$ .

The notation reads right to left: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . For $f(x)=x+1$ and $g(x)=x^2$ , $g(f(2))=9$ , not $f(g(2))=5$ .

$f(g(x))$ is not the product $f(x)\cdot g(x)$ .

The parentheses mean you substitute $g(x)$ in place of the variable of $f$ . For example, $\sin(x^2)$ differs from $(\sin x)^2$ , so reversing the order usually gives a different result.

Do not read the domain of a composite function from its simplified expression.

With $g(x)=\sqrt{x}$ and $f(x)=x^2$ , $f(g(x))$ simplifies to $x$ . But the composite is defined only for $x\ge 0$ , because $g$ requires it.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Tính hàm trong trước và viết rõ bước trung gian.

Với $h(x)=f(g(x))$ , ta có $h'(2)=f'(g(2))\cdot g'(2)$ . Hãy ghi $g(2)$ , rồi tra $f'$ tại $g(2)$ , không phải $f'(2)$ . Bước ghi rõ giúp giữ điểm phương pháp nếu tra nhầm số.

Thấy hàm hợp thì nghĩ ngay đến quy tắc chuỗi hoặc đổi biến.

Biểu thức nằm trong căn, lũy thừa, $\sin$ , $e^{(\cdot)}$ , $\ln$ báo hiệu quy tắc chuỗi. Dạng $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ thì đặt $u=g(x)$ . Với tích phân xác định, đổi cả hai cận sang $u$ .

Evaluate the inner function first and show the intermediate step.

For $h(x)=f(g(x))$ , $h'(2)=f'(g(2))\cdot g'(2)$ . Write down $g(2)$ , then evaluate $f'$ at $g(2)$ , not at $2$ . Showing this step can earn you method points even if you misread a value.

When you see a composite function, think chain rule or substitution.

An expression inside a root, a power, $\sin$ , $e^{(\cdot)}$ , or $\ln$ signals the chain rule. For an integral of the form $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx$ , let $u=g(x)$ . For a definite integral, change both limits to $u$ -values.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termQuy tắc dây chuyền (đạo hàm hàm hợp)Đạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChọn phương pháp tính đạo hàmĐạo hàm: hàm hợp, hàm ẩn & hàm ngược · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction tập xác địnhdomain

Dẫn tớiLeads toquy tắc dây chuyềnchain rule phương pháp đổi biến sốintegration by substitution

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

quy tắc dây chuyềnchain rule

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số hợp là đối tượng, tức hàm

f(g(x))

được tạo ra khi lồng hai hàm. Quy tắc dây chuyền là công thức dùng để tính đạo hàm của đối tượng đó.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi cấu trúc hay tập xác định của

f(g(x))

thì đó là hàm số hợp. Đề yêu cầu tìm

\dfrac{d}{dx}f(g(x))

thì phải dùng quy tắc dây chuyền.

quy tắc đạo hàm của tíchproduct rule

Khác nhau ở đâuHow they differHàm số hợp

f(g(x))

đặt

g(x)

vào trong biến của

f

. Tích

f(x)\cdot g(x)

nhân hai giá trị tại cùng một điểm

x

Hay nhầm khiMixed up whenKhi gặp

\sin(x^2)

và

x^2\sin x

, người học hay dùng nhầm quy tắc: dạng đầu là hợp nên dùng quy tắc dây chuyền, dạng sau là tích.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 73–74, 152.