AP Calculus BCAP Calculus AB

giá trị nhỏ nhất của hàm sốabsolute minimum

absolute minimumVietnamese: giá trị nhỏ nhất của hàm số

Còn gọi:Also called: global minimum

Giá trị nhỏ nhất của hàm số (absolute minimum) là số thấp nhất mà hàm nhận được trên cả tập xác định.The absolute minimum of a function is the lowest value the function takes on its entire domain.

Trực giác: Giống như đi dọc cả dãy đồi để tìm chỗ trũng sâu nhất, chứ không chỉ dừng ở cái hố đầu tiên gặp được.Intuition: It is like walking along an entire range of hills to find the deepest valley, rather than stopping at the first dip you come across.

Công thức chínhKey formula

f(c)\le f(x)\quad \forall x\in D

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Giá trị nhỏ nhất (absolute minimum) là độ cao thấp nhất mà đồ thị chạm tới trên cả tập xác định. Ta viết số đó là $f(c)$ , với $c$ là điểm đạt giá trị ấy. Ví dụ: $f(x)=x^2$ trên $[-1,2]$ luôn có $f(x)\ge 0$ và $f(0)=0$ , nên giá trị nhỏ nhất là $0$ .

Cực tiểu địa phương chưa chắc là giá trị nhỏ nhất, vì phép so sánh diễn ra trên toàn miền. Với hàm liên tục trên $[a,b]$ , giá trị nhỏ nhất luôn tồn tại. Nó nằm ở đầu mút, hoặc ở điểm tới hạn trong $(a,b)$ , tức nơi đạo hàm bằng $0$ hoặc không tồn tại. Hãy so sánh $f$ tại các điểm đó.

The absolute minimum is the lowest height the graph reaches over the entire domain. We write this value as $f(c)$ , where $c$ is the point at which it occurs. For example, $f(x)=x^2$ on $[-1,2]$ satisfies $f(x)\ge 0$ and $f(0)=0$ , so the absolute minimum is $0$ .

A local minimum is not necessarily the absolute minimum, because the absolute minimum is a comparison over the whole domain. If $f$ is continuous on $[a,b]$ , an absolute minimum always exists. It occurs either at an endpoint or at a critical point in $(a,b)$ , that is, where the derivative equals $0$ or does not exist. Compare the values of $f$ at all of these points.

Ký hiệuNotation

• $f(c)\le f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định
•trên đoạn đóng viết $\min_{[a,b]} f$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-2}{\htmlClass{fp-0}{f(c)}\le \htmlClass{fp-1}{f(x)}}\quad \htmlClass{fp-3}{\forall x\in D}

Dùng để kết luận $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $c$ : so sánh trên toàn tập xác định, không chỉ gần $c$ .Use this to conclude that $f$ attains its absolute minimum at $c$ : the comparison is made over the entire domain, not just near $c$ .

Trong đóWhere

c

điểm mà tại đó hàm đạt giá trị nhỏ nhất

f(c)

giá trị nhỏ nhất của hàm số

x

điểm bất kì trong tập xác định

D

tập xác định (hoặc khoảng đang xét) của hàm

f

m=\htmlClass{fp-2}{\min\{\htmlClass{fp-0}{f(a),\,f(b)},\ \htmlClass{fp-1}{f(c_1),\dots,f(c_k)}\}}

Dùng khi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên $[a,b]$ : so sánh $f$ tại các điểm tới hạn $c_i$ trong $(a,b)$ và hai đầu mút.Use this to find the absolute minimum of a continuous function on $[a,b]$ : compare $f$ at the critical points $c_i$ in $(a,b)$ and at both endpoints.

Trong đóWhere

m

giá trị nhỏ nhất của

f

trên

[a,b]

a,\ b

hai đầu mút của khoảng đóng

c_1,\dots,c_k

các số tới hạn của

f

nằm trong

(a,b)

Hay hiểu saiCommon misconceptions4 ý · 1 phút đọc4 points · 1 min read

Giá trị nhỏ nhất là số $f(c)$ , không phải vị trí $c$ .

Đề hỏi "giá trị" thì trả lời $f(c)$ . Đề hỏi "tại $x$ nào" thì trả lời $c$ . Tìm đúng $c$ mà quên thay vào $f$ vẫn mất điểm.

Chỉ giải $f'(x)=0$ là chưa đủ để tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[a,b]$ .

Giá trị nhỏ nhất có thể nằm ở đầu mút, hoặc ở điểm mà $f'$ không tồn tại. Hãy loại nghiệm ngoài $[a,b]$ , rồi so sánh $f$ tại mọi điểm còn lại và hai đầu mút.

Cực tiểu địa phương chưa chắc là giá trị nhỏ nhất.

Nó chỉ thấp nhất so với các điểm quanh nó. Nơi khác trên đồ thị vẫn có thể thấp hơn.

Trên khoảng như $(0,1)$ , giá trị nhỏ nhất có thể không tồn tại.

Với $f(x)=x$ , khi $x$ càng gần $0$ thì $f(x)$ càng nhỏ, nhưng $x=0$ không thuộc khoảng nên không có điểm thấp nhất.

The absolute minimum is the value $f(c)$ , not the location $c$ .

If a question asks for the minimum value, answer with $f(c)$ ; if it asks at which $x$ the minimum occurs, answer with $c$ . Finding $c$ correctly but forgetting to substitute it into $f$ still costs points.

Solving $f'(x)=0$ alone is not enough to find the absolute minimum on $[a,b]$ .

The minimum can occur at an endpoint or at a point where $f'$ does not exist. Discard solutions outside $[a,b]$ , then compare $f$ at all remaining critical points and at both endpoints.

A local minimum is not necessarily the absolute minimum.

It is only the lowest point compared with the points near it, and the graph can still be lower elsewhere.

On an interval such as $(0,1)$ , an absolute minimum may not exist.

For $f(x)=x$ , the value of $f(x)$ gets smaller as $x$ approaches $0$ , but $x=0$ is not in the interval, so there is no lowest point.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Trước khi kết luận, hãy viết rõ " $f$ liên tục trên đoạn đóng $[a,b]$ ".

Thiếu câu này có thể mất điểm lập luận dù tính đúng. Với hàm hữu tỉ, nêu thêm rằng đoạn không chứa $x$ làm mẫu bằng $0$ .

Đề cho đồ thị của $f'$ thì hãy xét dấu $f'$ .

Nếu $f'$ đổi dấu từ âm sang dương tại $c$ , $f$ có cực tiểu ở đó. Vẫn phải so với hai đầu mút. Nếu $f'\ge 0$ trên cả đoạn, giá trị nhỏ nhất nằm ở đầu mút trái.

State that $f$ is continuous on the closed interval $[a,b]$ before you conclude.

Leaving this out can cost reasoning points even if your computation is correct. For a rational function, also state that the interval does not contain any $x$ that makes the denominator $0$ .

If you are given the graph of $f'$ , analyze the sign of $f'$ .

If $f'$ changes from negative to positive at $c$ , then $f$ has a local minimum there. You must still compare it with the endpoints. If $f'\ge 0$ on the whole interval, the absolute minimum occurs at the left endpoint.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn bài toán tối ưuỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termNhập môn bài toán tối ưuỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction tập xác địnhdomain

Dẫn tớiLeads tophương pháp xét điểm ứng viêncandidates test bài toán tối ưuoptimization problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

cực tiểulocal minimum

Khác nhau ở đâuHow they differGiá trị nhỏ nhất là giá trị bé nhất của hàm trên toàn tập đang xét. Cực tiểu chỉ bé nhất trong một lân cận nhỏ quanh điểm đó.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đồ thị có nhiều "đáy" và hỏi giá trị nhỏ nhất trên

[a,b]

: phải so cả các cực tiểu lẫn hai đầu mút, vì đầu mút cũng có thể cho giá trị nhỏ nhất.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 313, 365, 367.