AP Calculus BCAP Calculus AB

phương pháp xét điểm ứng viêncandidates test

candidates testVietnamese: phương pháp xét điểm ứng viên

Còn gọi:Also called: closed interval test

Phương pháp xét điểm ứng viên (candidates test) là cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm liên tục trên đoạn đóng từ các điểm tới hạn và hai đầu mút.The candidates test is a method for finding the absolute maximum and minimum of a continuous function on a closed interval by comparing its values at the critical points and the two endpoints.

Trực giác: Như tìm chỗ cao nhất, thấp nhất trên một đoạn đường đèo: chỉ cần đo độ cao ở hai đầu đường, các đỉnh và đáy dốc rồi so sánh.Intuition: Think of finding the highest and lowest points along a mountain pass: you only need to measure the elevation at both ends of the road and at each peak and valley floor, then compare them.

Công thức chínhKey formula

M=\max\{f(a),\,f(b),\,f(c_1),\,\dots,\,f(c_k)\}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Cho hàm $f$ liên tục trên đoạn $[a,b]$ . Khi đó $f$ chắc chắn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Hai giá trị này chỉ có thể đạt tại hai đầu mút $a$ , $b$ hoặc tại điểm tới hạn trong $(a,b)$ . Điểm tới hạn là điểm có $f'=0$ hoặc $f'$ không tồn tại.

Ví dụ: $f(x)=x^3-3x$ trên $[0,2]$ . Có $f'(x)=3x^2-3=0$ tại $x=1$ (nhận) và $x=-1$ (loại vì ngoài đoạn). Ta có $f(0)=0$ , $f(1)=-2$ , $f(2)=2$ . Vậy giá trị lớn nhất là $2$ , nhỏ nhất là $-2$ . Không cần biết điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu.

Let $f$ be continuous on the closed interval $[a,b]$ . By the Extreme Value Theorem, $f$ must attain both an absolute maximum and an absolute minimum on $[a,b]$ . These values can occur only at the endpoints $a$ and $b$ or at a critical point in $(a,b)$ , that is, a point where $f'=0$ or $f'$ does not exist.

Example: Let $f(x)=x^3-3x$ on $[0,2]$ . Setting $f'(x)=3x^2-3=0$ gives $x=1$ (in the interval) and $x=-1$ (rejected because it lies outside the interval). Then $f(0)=0$ , $f(1)=-2$ , and $f(2)=2$ . So the absolute maximum is $2$ and the absolute minimum is $-2$ . There is no need to determine whether the critical point is a local maximum or a local minimum.

Ký hiệuNotation

• $f'(c)=0$ hoặc $f'(c)$ không tồn tại (điểm tới hạn $c$ )
•so sánh $f(a)$ , $f(b)$ và $f(c)$ trên $[a,b]$

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

M=\htmlClass{fp-2}{\max\{\htmlClass{fp-0}{f(a),\,f(b)},\,\htmlClass{fp-1}{f(c_1),\,\dots,\,f(c_k)}\}}

Dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm liên tục trên $[a,b]$ : so sánh $f$ tại hai đầu mút và các điểm tới hạn.Used to find the absolute maximum and minimum of a continuous function on $[a,b]$ by comparing $f$ at the two endpoints and at the critical points.

Trong đóWhere

M

giá trị lớn nhất của

f

trên

[a,b]

(thay

\max

bằng

\min

để được giá trị nhỏ nhất)

[a,b]

đoạn đóng đang xét, trên đó

f

phải liên tục

c_1,\dots,c_k

các điểm tới hạn của

f

nằm trong khoảng

(a,b)

f'(c)=0\quad\text{or}\quad f'(c)\ \text{does not exist}

Dùng để nhận ra điểm tới hạn $c\in(a,b)$ cần đưa vào danh sách; điểm ngoài đoạn hoặc có $f(c)$ không xác định thì bỏ.Used to identify which critical points $c\in(a,b)$ belong on the candidate list; discard points outside the interval or points where $f(c)$ is undefined.

Trong đóWhere

c

một điểm trong

(a,b)

mà tại đó đạo hàm bằng

0

hoặc không tồn tại

f'(c)

đạo hàm của

f

tại

c

Hay hiểu saiCommon misconceptions4 ý · 1 phút đọc4 points · 1 min read

Phải đưa cả hai đầu mút vào danh sách ứng viên.

Chỉ giải $f'(x)=0$ rồi so sánh các nghiệm là thiếu. Khi hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nằm ở đầu mút.

Điểm mà $f'$ không tồn tại cũng có thể là ứng viên.

Với $f(x)=x^{2/3}$ trên $[-1,1]$ , $f'(0)$ không tồn tại nhưng $f(0)=0$ là giá trị nhỏ nhất. Điểm đó phải thuộc tập xác định của $f$ . Hãy xét cả điểm nhọn như $|x|$ tại $0$ .

Miền xét phải là đoạn đóng, không phải khoảng mở.

Trên $(0,1)$ , hàm $f(x)=x$ liên tục nhưng không có giá trị lớn nhất. Giá trị $f(x)$ gần $1$ mãi mà không bao giờ bằng $1$ .

Hàm phải liên tục trên cả đoạn.

Xét $f(x)=1/x$ với $x\neq0$ và $f(0)=0$ trên $[0,1]$ . Hàm gián đoạn tại $0$ . Khi $x$ càng gần $0$ thì $f(x)$ càng lớn, nên không có giá trị lớn nhất.

Both endpoints must be included in the list of candidates.

Solving $f'(x)=0$ and comparing only those solutions is incomplete. When the function is increasing or decreasing on the interval, the absolute maximum and minimum occur at the endpoints.

A point where $f'$ does not exist can also be a candidate.

For $f(x)=x^{2/3}$ on $[-1,1]$ , $f'(0)$ does not exist, yet $f(0)=0$ is the absolute minimum. The point must be in the domain of $f$ . Check corner points such as $|x|$ at $0$ as well.

The domain must be a closed interval, not an open one.

On $(0,1)$ , the function $f(x)=x$ is continuous but has no absolute maximum. Its values get arbitrarily close to $1$ without ever reaching $1$ .

The function must be continuous on the entire interval.

Consider $f(x)=1/x$ for $x\neq0$ with $f(0)=0$ on $[0,1]$ . The function is discontinuous at $0$ . As $x$ approaches $0$ , $f(x)$ grows without bound, so there is no absolute maximum.

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Lập bảng $x$ và $f(x)$ cho mọi ứng viên, rồi kết luận bằng một câu.

Viết "giá trị lớn nhất là … đạt tại $x=…$ " cho thấy bạn đã so sánh đủ ứng viên.

Loại nghiệm của $f'(x)=0$ nằm ngoài đoạn $[a,b]$ .

Chỉ tính $f$ tại các điểm thuộc đoạn. Tính cả điểm lạc ra ngoài sẽ cho kết quả sai.

Đọc kỹ đề hỏi hoành độ $x$ hay giá trị của $f$ .

"Tìm $x$ để $f$ lớn nhất" cần $x$ ; "tìm giá trị lớn nhất của $f$ " cần $f(x)$ . Gạch chân từ khoá rồi viết đúng loại đáp án.

Make a table of $x$ and $f(x)$ for every candidate, then state your conclusion in one sentence.

Writing "the absolute maximum is … at $x=…$ " shows you compared all the candidates.

Discard any solution of $f'(x)=0$ that lies outside $[a,b]$ .

Evaluate $f$ only at points in the interval. Including a stray point outside the interval produces a wrong result.

Read the question carefully to see whether it asks for the $x$ -value or the value of $f$ .

"Find $x$ that maximizes $f$ " requires $x$ , while "find the maximum value of $f$ " requires $f(x)$ . Underline the key words and give the correct type of answer.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Tần suất trong đề AP Calculus ABHow often it shows up on AP Calculus ABThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhép thử ứng viên tìm cực trị tuyệt đốiỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh lý cực trị, cực trị toàn cục và địa phương, điểm tới hạnỨng dụng giải tích của đạo hàm · khoácourse AP Calculus AB

Dẫn tớiLeads tobài toán tối ưuoptimization problem

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tiêu chuẩn đạo hàm cấp mộtfirst derivative test

Khác nhau ở đâuHow they differPhương pháp xét điểm ứng viên so sánh giá trị hàm tại điểm tới hạn và đầu mút để tìm cực trị toàn cục trên đoạn đóng. Tiêu chuẩn đạo hàm cấp một xét dấu

f'

để phân loại cực trị địa phương.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên

[a,b]

thì dùng phương pháp ứng viên và nhớ tính cả đầu mút. Đề hỏi hàm đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm nào thì xét dấu

f'

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Học tiếp từ đâyKeep learning

Hay nhầm vớiOften confused with

Cùng chủ đềSame topic