AP Calculus BC

vectơ gia tốcacceleration vector

acceleration vectorVietnamese: vectơ gia tốc

Vectơ gia tốc (acceleration vector) là đạo hàm bậc hai của vectơ vị trí theo thời gian, cho biết vận tốc đổi nhanh thế nào về hướng và độ lớn.The acceleration vector is the second derivative of the position vector with respect to time; it shows how quickly velocity changes in both direction and magnitude.

Trực giác: Đạp ga thì mũi tên vận tốc của xe dài ra, phanh thì co lại, bẻ lái thì quay đi. Sự đổi ấy của mũi tên chính là vectơ gia tốc.Intuition: Pressing the gas pedal lengthens a car's velocity arrow, braking shortens it, and steering turns it. This change in the arrow is exactly the acceleration vector.

Công thức chínhKey formula

\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t)

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Vectơ gia tốc (acceleration vector) cho biết vận tốc của vật đổi nhanh đến đâu, cả về hướng lẫn độ lớn. Nó là đạo hàm bậc hai của vectơ vị trí $\mathbf{r}(t)$ theo thời gian $t$ . Với $\mathbf{r}(t)=\langle t,\,t^2\rangle$ , đạo hàm lần một cho vận tốc $\mathbf{v}(t)=\langle 1,\,2t\rangle$ , đạo hàm lần hai cho $\mathbf{a}(t)=\langle 0,\,2\rangle$ .

Gia tốc không nhất thiết cùng phương với vận tốc, nên nó có thể làm đổi hướng chuyển động. Vật chạy vòng với tốc độ không đổi vẫn có gia tốc khác $\mathbf{0}$ . Độ lớn gia tốc $|\mathbf{a}|$ không phải là tốc độ $|\mathbf{v}|$ .

The acceleration vector shows how quickly an object's velocity changes, in both direction and magnitude. It is the second derivative of the position vector $\mathbf{r}(t)$ with respect to time $t$ . For $\mathbf{r}(t)=\langle t,\,t^2\rangle$ , the first derivative gives the velocity $\mathbf{v}(t)=\langle 1,\,2t\rangle$ , and the second derivative gives $\mathbf{a}(t)=\langle 0,\,2\rangle$ .

Acceleration need not be parallel to velocity, so it can change the direction of motion. An object moving in a circle at constant speed still has an acceleration that is not $\mathbf{0}$ . The magnitude of acceleration $|\mathbf{a}|$ is not the speed $|\mathbf{v}|$ .

Ký hiệuNotation

• $\mathbf{a}(t)$ , $\mathbf{r}''(t)$ , $\mathbf{v}'(t)$ , hoặc dạng thành phần $\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$
•độ lớn $|\mathbf{a}(t)|=\sqrt{x''(t)^2+y''(t)^2}$ .

Đơn vịUnitsĐơn vị độ dài chia cho bình phương đơn vị thời gian, chẳng hạn m/s².

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\mathbf{a}(t)}=\htmlClass{fp-1}{\mathbf{v}'(t)}=\htmlClass{fp-2}{\mathbf{r}''(t)}

Dùng khi đề cho vectơ vị trí và hỏi gia tốc tại một thời điểm: đạo hàm từng thành phần hai lần rồi thay $t$ .Use this when the problem gives the position vector and asks for the acceleration at a particular time: differentiate each component twice, then substitute $t$ .

Trong đóWhere

\mathbf{r}(t)

vectơ vị trí của vật tại thời điểm

t

\mathbf{v}(t)

vectơ vận tốc, bằng

\mathbf{r}'(t)

\mathbf{a}(t)

vectơ gia tốc, bằng

\mathbf{v}'(t)

và

\mathbf{r}''(t)

t

thời gian — giây (s)

\mathbf{a}(t)=\htmlClass{fp-0}{\left\langle x''(t),\,y''(t)\right\rangle}=\htmlClass{fp-1}{\left\langle \dfrac{d^2x}{dt^2},\,\dfrac{d^2y}{dt^2}\right\rangle}

Dùng khi chuyển động cho bằng các hàm tham số $x(t)$ , $y(t)$ : đạo hàm hai lần từng hàm rồi ghép lại; trong không gian thêm $z''(t)$ .Use this when the motion is given by parametric functions $x(t)$ and $y(t)$ : differentiate each function twice, then combine the results; in three dimensions, add $z''(t)$ .

Trong đóWhere

x(t),\ y(t)

tọa độ ngang và tọa độ dọc của vật tại thời điểm

t

x''(t),\ y''(t)

các thành phần của vectơ gia tốc theo phương

x

và phương

y

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Gia tốc là đạo hàm của vectơ vận tốc, không phải đạo hàm của tốc độ.

Tốc độ $|\mathbf{v}|$ là một số thực, nên đạo hàm của nó chỉ là một số và không cho biết hướng của gia tốc. Khi đề hỏi vectơ, hãy đạo hàm từng thành phần của $\mathbf{v}$ .

Phải đạo hàm xong rồi mới thay giá trị $t$ .

Thay $t$ trước thì mỗi thành phần thành hằng số và đạo hàm bằng $0$ . Đề cho vị trí thì đạo hàm hai lần. Đề cho sẵn vận tốc thì đạo hàm một lần.

Với hàm hợp, quy tắc dây chuyền áp dụng ở cả hai lần đạo hàm.

Nếu $y$ là hàm của $t$ thì $\dfrac{d^2}{dt^2}y(2t)=4y''(2t)$ , không phải $2y''(2t)$ . Tương tự, đạo hàm bậc hai của $\dfrac{1}{3t+1}$ là $\dfrac{18}{(3t+1)^3}$ , vì mỗi lần đạo hàm sinh thêm một thừa số $3$ .

Acceleration is the derivative of the velocity vector, not the derivative of speed.

Speed $|\mathbf{v}|$ is a scalar, so its derivative is just a number and gives no direction for the acceleration. When a problem asks for a vector, differentiate each component of $\mathbf{v}$ .

Differentiate first, then substitute the value of $t$ .

If you substitute $t$ first, each component becomes a constant and its derivative is $0$ . If the problem gives position, differentiate twice; if it gives velocity, differentiate once.

For composite functions, the chain rule applies in both differentiations.

If $y$ is a function of $t$ , then $\dfrac{d^2}{dt^2}y(2t)=4y''(2t)$ , not $2y''(2t)$ . Similarly, the second derivative of $\dfrac{1}{3t+1}$ is $\dfrac{18}{(3t+1)^3}$ , because each differentiation produces an extra factor of $3$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết công thức $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),y''(t)\rangle$ trước khi thay số.

Người chấm thấy cách làm đúng nên có thể cho điểm từng phần dù bạn sai một chỗ nhỏ. Với phần dùng máy tính, ghi biểu thức rồi mới ghi giá trị, giữ ít nhất ba chữ số thập phân.

Khi đề hỏi vectơ gia tốc, đáp án phải là vectơ đủ các thành phần, không phải một số.

Viết cả thành phần bằng $0$ . Nếu chỉ ghi độ lớn $|\mathbf{a}|$ hoặc gộp thành một số thì mất điểm.

Write the formula $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),y''(t)\rangle$ before substituting values.

Graders can then see a correct method and may award partial credit even if you make a small error. On calculator-based parts, write the expression before the value and keep at least three decimal places.

When a problem asks for the acceleration vector, give a full vector with all components, not a single number.

Include any component equal to $0$ . Giving only the magnitude $|\mathbf{a}|$ or combining the components into one number loses credit.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBài toán chuyển động với hàm tham số và hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa & đạo hàm hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termChuyển động thẳng: vị trí, vận tốc & gia tốcỨng dụng đạo hàm theo ngữ cảnh · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstvectơ vận tốcvelocity vector hàm vectơvector-valued function

Dẫn tớiLeads tođường cong tham sốparametric curve

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

gia tốcacceleration

Khác nhau ở đâuHow they differVectơ gia tốc có cả độ lớn lẫn hướng và gồm hai thành phần

x''(t),\,y''(t)

. Gia tốc theo nghĩa số là một đại lượng vô hướng, chỉ là đạo hàm cấp hai của hàm vị trí trên một trục.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho chuyển động trong mặt phẳng nhưng học sinh chỉ tính một số

a(t)

thay vì cả cặp thành phần; hoặc nhầm độ lớn của vectơ gia tốc với đạo hàm của tốc độ.

vectơ vận tốcvelocity vector

Khác nhau ở đâuHow they differVectơ vận tốc là đạo hàm bậc nhất của vectơ vị trí và tiếp xúc với quỹ đạo. Vectơ gia tốc là đạo hàm bậc hai và cho biết vận tốc đang đổi như thế nào.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "tìm

\vec a(t)

" mà học sinh dừng ở

\vec v(t)=\langle x'(t),y'(t)\rangle

, hoặc quên đạo hàm thêm một lần nữa.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 903, 908, 914.