AP Calculus BC

vectơ vị tríposition vector

position vectorVietnamese: vectơ vị trí

Vectơ vị trí (position vector) là vectơ đi từ gốc tọa độ tới một điểm trong mặt phẳng hoặc không gian, có các thành phần chính là tọa độ của điểm đó.A position vector is the vector from the origin to a point in the plane or in space; its components are the coordinates of that point.

Trực giác: Như mũi tên nối cột mốc gốc tới chỗ bạn đứng. Bạn đi đâu, đầu mũi tên bám theo đó, nên độ dài và hướng của nó đổi theo.Intuition: Picture an arrow running from a fixed marker (the origin) to where you are standing. As you move, the tip of the arrow follows you, so its length and direction change.

Công thức chínhKey formula

\mathbf{r}=\overrightarrow{OP}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Vectơ vị trí (position vector) của điểm $P$ là vectơ $\overrightarrow{OP}$ từ gốc tọa độ $O$ tới $P$ . Thành phần của nó chính là tọa độ của $P$ . Ví dụ, $P(3;4)$ có $\overrightarrow{OP}=\langle 3,4\rangle$ . Trong không gian, $P(a_1;a_2;a_3)$ có $\overrightarrow{OP}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}$ , với $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ là các vectơ đơn vị theo trục $x,y,z$ .

Khi điểm chuyển động, gọi $t$ là thời gian: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ (trong không gian thêm $z(t)$ ). Đạo hàm từng thành phần cho vận tốc $\mathbf{r}'(t)$ . Đạo hàm lần nữa cho gia tốc $\mathbf{r}''(t)$ . Ngược lại, lấy nguyên hàm của vận tốc rồi dùng vị trí ban đầu để tìm lại $\mathbf{r}(t)$ .

The position vector of a point $P$ is the vector $\overrightarrow{OP}$ from the origin $O$ to $P$ . Its components are exactly the coordinates of $P$ . For example, $P(3;4)$ has $\overrightarrow{OP}=\langle 3,4\rangle$ . In space, $P(a_1;a_2;a_3)$ has $\overrightarrow{OP}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}$ , where $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ are the unit vectors along the $x$ -, $y$ -, and $z$ -axes.

When a point moves, let $t$ be time: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ (in space, add $z(t)$ ). Differentiating each component gives the velocity $\mathbf{r}'(t)$ . Differentiating again gives the acceleration $\mathbf{r}''(t)$ . Conversely, to recover $\mathbf{r}(t)$ , integrate the velocity and then use the initial position.

Ký hiệuNotation

• $\mathbf{r}=\langle a_1,a_2\rangle$ hoặc $\vec{OP}$ trong mặt phẳng
• $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ cho chuyển động
• $\mathbf{r}'(t)=\mathbf{v}(t)$ là vận tốc, $\mathbf{r}''(t)=\mathbf{a}(t)$ là gia tốc.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\mathbf{r}=\htmlClass{fp-0}{\overrightarrow{OP}}=\htmlClass{fp-1}{\langle a_1,a_2,a_3\rangle}=\htmlClass{fp-2}{a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}}

Dùng khi cần mô tả vị trí điểm $P$ bằng vectơ xuất phát từ gốc $O$ ; trong mặt phẳng thì bỏ thành phần thứ ba.Use this to describe the position of a point $P$ with a vector starting at the origin $O$ ; in the plane, drop the third component.

Trong đóWhere

\mathbf{r}

vectơ vị trí của điểm

P

O

gốc tọa độ, điểm đầu của vectơ

P(a_1,a_2,a_3)

điểm cần xác định vị trí, cũng là điểm cuối của vectơ

a_1,a_2,a_3

các thành phần của vectơ, bằng hoành độ, tung độ, cao độ của

P

\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}

các vectơ đơn vị theo chiều dương của trục

x

y

z

\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle

Dùng khi vật chuyển động theo thời gian: $\mathbf{r}(t)$ cho vị trí tại mỗi $t$ ; đạo hàm một lần cho vận tốc, hai lần cho gia tốc.Use this when an object moves over time: $\mathbf{r}(t)$ gives the position at each $t$ ; one derivative gives velocity and two give acceleration.

Trong đóWhere

\mathbf{r}(t)

vectơ vị trí của vật tại thời điểm

t

x(t),y(t),z(t)

các hàm tọa độ theo thời gian, đóng vai trò hàm tham số của quỹ đạo

t

thời gian — giây (s)

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Vectơ gia tốc là đạo hàm cấp hai của vectơ vị trí, không phải cấp một.

Đạo hàm một lần chỉ cho vectơ vận tốc. Hãy đạo hàm đủ hai lần rồi mới thay giá trị $t$ .

Khi lấy nguyên hàm của vận tốc, mỗi thành phần cần một hằng số riêng.

Hai thành phần $x(t)$ và $y(t)$ là hai hàm khác nhau, nên cần $C_1$ cho $x$ và $C_2$ cho $y$ . Dùng một hằng số $C$ chung, hoặc quên hằng số, đều sai.

Vectơ vận tốc là $\mathbf{r}'(t)$ , còn tốc độ chỉ là độ dài của nó.

Đề hỏi vectơ vận tốc thì trả lời cặp thành phần của $\mathbf{r}'(t)$ . Chỉ tính độ dài khi đề hỏi tốc độ.

The acceleration vector is the second derivative of the position vector, not the first.

One derivative gives only the velocity vector. Differentiate twice before substituting a value of $t$ .

Integrating velocity requires a separate constant for each component.

Since $x(t)$ and $y(t)$ are different functions, you need $C_1$ for $x$ and $C_2$ for $y$ . Using one shared constant $C$ , or omitting the constants, is wrong.

The velocity vector is $\mathbf{r}'(t)$ , while speed is only its magnitude.

If the question asks for the velocity vector, give the component pair of $\mathbf{r}'(t)$ . Compute the magnitude only when the question asks for speed.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Đề hỏi vectơ thì ghi đáp án dạng $\langle a,b\rangle$ ; đề hỏi một thành phần thì ghi một số.

Thiếu hoặc thừa thành phần có thể mất điểm dù tính đúng.

Tìm $\mathbf{r}(t)$ từ vận tốc thì viết điều kiện đầu riêng cho từng thành phần.

Đề cho $\mathbf{r}(0)=\langle 2,5\rangle$ thì $x(0)=2$ và $y(0)=5$ . Mỗi số giúp tìm một hằng số.

Write a vector answer in the form $\langle a,b\rangle$ , and write a single number when the question asks for one component.

Leaving out or adding a component can cost points even if your computation is correct.

When finding $\mathbf{r}(t)$ from velocity, apply the initial condition to each component separately.

If $\mathbf{r}(0)=\langle 2,5\rangle$ , then $x(0)=2$ and $y(0)=5$ . Each value determines one constant.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

những năm 1840 (lần đầu dùng từ "vectơ")René DescartesWilliam Rowan HamiltonJ. Willard GibbsOliver HeavisideEdwin Bidwell Wilson

William Rowan Hamilton lần đầu dùng từ "vectơ" vào những năm 1840; các nguồn không nói rõ ai đặt riêng tên "vectơ vị trí".

William Rowan Hamilton first used the word "vector" in the 1840s; sources do not say who specifically coined the term "position vector."

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "vectơ" bắt nguồn từ chữ Latin vectus, nghĩa là "mang, chở". Còn "vị trí" trong "vectơ vị trí" cho biết vectơ này dùng để chỉ vị trí của một điểm P, đúng như cách nguồn gọi: "vectơ vị trí của điểm P". Các nguồn không cho biết ai đã đặt riêng cụm từ này, nên không thể nói gì thêm về lịch sử của nó.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa & đạo hàm hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBài toán chuyển động với hàm tham số và hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstcác hàm số thành phầncomponent functions

Dẫn tớiLeads tovectơ vận tốcvelocity vector đường cong tham sốparametric curve

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

hàm vị tríposition function

Khác nhau ở đâuHow they differVectơ vị trí cho toạ độ của điểm trong mặt phẳng nên có hai thành phần. Hàm vị trí

s(t)

chỉ cho vị trí trên một đường thẳng nên là một số thực.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho chuyển động trên trục số thì dùng

s(t)

với đạo hàm là số. Đề cho

\langle x(t), y(t)\rangle

thì đạo hàm là vectơ và phải lấy đạo hàm từng thành phần.

vectơ vận tốcvelocity vector

Khác nhau ở đâuHow they differVectơ vị trí cho biết điểm đang ở đâu tại thời điểm

t

. Vectơ vận tốc là đạo hàm của nó và cho biết điểm đang chuyển động theo hướng nào, nhanh bao nhiêu.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "vị trí tại

t=2

" thì thay

t=2

vào

\vec r(t)

. Đề hỏi "vận tốc tại

t=2

" thì phải lấy đạo hàm

\vec r'(t)

trước rồi mới thay.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 832, 893, 917.