AP Calculus BC

vectơ vận tốcvelocity vector

velocity vectorVietnamese: vectơ vận tốc

Vectơ vận tốc (velocity vector) là đạo hàm của vectơ vị trí theo thời gian, cho biết hướng và độ nhanh chậm của chuyển động của một vật tại từng thời điểm.The velocity vector is the derivative of the position vector with respect to time; it gives the direction and speed of an object's motion at each instant.

Trực giác: Hãy tưởng tượng một mũi tên gắn trên xe đang chạy: mũi tên chỉ hướng xe đi, còn độ dài mũi tên cho biết xe chạy nhanh cỡ nào.Intuition: Picture an arrow attached to a moving car: the arrow points in the direction the car is heading, and its length shows how fast the car is going.

Công thức chínhKey formula

\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}{h}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Vectơ vận tốc $\mathbf{v}(t)$ cho biết vật đi hướng nào và nhanh cỡ nào tại thời điểm $t$ . Nó là đạo hàm của vectơ vị trí $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ , tức là đạo hàm từng thành phần. Ví dụ: với $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,3t\rangle$ thì $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$ , nên $\mathbf{v}(1)=\langle 2,3\rangle$ .

Khi $\mathbf{v}(t)\neq\mathbf{0}$ , vectơ này nằm theo tiếp tuyến của quỹ đạo và chỉ chiều chuyển động. Độ lớn $|\mathbf{v}(t)|$ là tốc độ (speed), một số không âm. Hai vật cùng tốc độ vẫn có vectơ vận tốc khác nhau nếu đi khác hướng.

The velocity vector $\mathbf{v}(t)$ tells you which way an object is moving and how fast at time $t$ . It is the derivative of the position vector $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ , found by differentiating each component. For example, if $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,3t\rangle$ , then $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$ , so $\mathbf{v}(1)=\langle 2,3\rangle$ .

When $\mathbf{v}(t)\neq\mathbf{0}$ , the velocity vector is tangent to the path and points in the direction of motion. Its magnitude $|\mathbf{v}(t)|$ is the speed, a nonnegative number. Two objects with the same speed have different velocity vectors if they move in different directions.

Ký hiệuNotation

• $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\left\langle \dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\right\rangle$
•tốc độ là $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}$

Đơn vịUnitsĐơn vị độ dài trên đơn vị thời gian, ví dụ m/s hoặc km/h

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\htmlClass{fp-2}{\lim_{h\to 0}\htmlClass{fp-1}{\frac{\htmlClass{fp-0}{\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)}}{h}}}

Dùng khi đề cho vectơ vị trí $\mathbf{r}(t)$ và hỏi vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ .Use this when you are given the position vector $\mathbf{r}(t)$ and asked for the instantaneous velocity at time $t$ .

Trong đóWhere

\mathbf{r}(t)

vectơ vị trí của chất điểm tại thời điểm

t

— đơn vị độ dài

\mathbf{v}(t)

vectơ vận tốc tại thời điểm

t

— đơn vị độ dài trên đơn vị thời gian

h

khoảng thời gian rất nhỏ sau thời điểm

t

— đơn vị thời gian

\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle

Dùng khi vị trí cho dạng tham số: đạo hàm từng thành phần theo $t$ ; trong không gian thêm $z'(t)$ .Use this when position is given in parametric form: differentiate each component with respect to $t$ ; in three dimensions, include $z'(t)$ as well.

Trong đóWhere

x(t),\,y(t)

toạ độ của chất điểm tại thời điểm

t

(chuyển động tham số) — đơn vị độ dài

x'(t),\,y'(t)

tốc độ biến thiên tức thời của từng toạ độ, cũng là hai thành phần của vectơ vận tốc — đơn vị độ dài trên đơn vị thời gian

\text{speed}=\left|\mathbf{v}(t)\right|=\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}

Dùng khi cần tốc độ: độ dài của vectơ vận tốc, một đại lượng vô hướng không âm.Use this when you need speed: it is the magnitude of the velocity vector, a nonnegative scalar.

Trong đóWhere

\left|\mathbf{v}(t)\right|

độ dài của vectơ vận tốc, tức tốc độ tại thời điểm

t

— đơn vị độ dài trên đơn vị thời gian

Hay hiểu saiCommon misconceptions4 ý · 1 phút đọc4 points · 1 min read

Vectơ vận tốc là một cặp thứ tự, không phải một con số.

Con số là tốc độ $\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ , luôn không âm. Đề hỏi vectơ mà trả lời một số thì sai dạng.

Đạo hàm từng thành phần của vị trí theo $t$ , rồi ghép lại thành cặp.

Hai thành phần $x(t)$ và $y(t)$ được đạo hàm riêng rẽ. Hay sai ở hàm hợp: đạo hàm của $e^{3-t}$ là $-e^{3-t}$ , đừng quên dấu trừ.

Tích phân của vectơ vận tốc cho độ dời, không cho vị trí.

Với $a,b$ là hai thời điểm, $\int_a^b\mathbf{v}(t)\,dt=\langle x(b)-x(a),\,y(b)-y(a)\rangle$ . Muốn có vị trí tại $b$ , phải cộng thêm vị trí tại $a$ .

Quãng đường trên $[a,b]$ là $\int_a^b|\mathbf{v}(t)|\,dt$ , không phải độ lớn của độ dời.

Vật có thể đổi hướng giữa chừng. Khi đó quãng đường dài hơn khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối.

The velocity vector is an ordered pair, not a single number.

The number is the speed, $\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$ , which is always nonnegative. If a question asks for the vector, a single number is the wrong form of answer.

Differentiate each component of position with respect to $t$ , then recombine them as an ordered pair.

The components $x(t)$ and $y(t)$ are differentiated separately. A common error comes from the chain rule: the derivative of $e^{3-t}$ is $-e^{3-t}$ , so do not drop the negative sign.

The integral of the velocity vector gives displacement, not position.

For times $a$ and $b$ , $\int_a^b\mathbf{v}(t)\,dt=\langle x(b)-x(a),\,y(b)-y(a)\rangle$ . To find the position at $b$ , you must add the position at $a$ .

The distance traveled on $[a,b]$ is $\int_a^b|\mathbf{v}(t)|\,dt$ , not the magnitude of the displacement.

The object may change direction along the way. In that case, the distance traveled is greater than the straight-line distance between the starting and ending points.

Mẹo phòng thiExam tips3 mẹo3 tips

Tìm vị trí từ vận tốc thì viết $x(t)=x(0)+\int_0^t x'(s)\,ds$ trước khi thay số.

Ở đây $s$ là biến chạy từ $0$ đến $t$ . Làm tương tự cho $y(t)$ . Thiếu dòng này có thể mất điểm thiết lập dù kết quả đúng.

Đề hỏi vectơ thì trả lời bằng cặp $\langle\cdot,\cdot\rangle$ với đủ hai thành phần.

Đề chỉ hỏi một tọa độ hay một độ dài thì chỉ trả lời đúng đại lượng ấy.

Giữ ít nhất ba chữ số thập phân ở kết quả cuối khi dùng máy tính.

Không làm tròn sớm ở bước giữa, vì sai số sẽ cộng dồn.

To find position from velocity, write $x(t)=x(0)+\int_0^t x'(s)\,ds$ before substituting values.

Here $s$ is the variable of integration running from $0$ to $t$ . Do the same for $y(t)$ . Omitting this line can cost you the setup point even if your final answer is correct.

If a question asks for a vector, answer with an ordered pair $\langle\cdot,\cdot\rangle$ that includes both components.

If it asks only for one coordinate or one length, give just that quantity.

Keep at least three decimal places in your final answer when using a calculator.

Do not round early in intermediate steps, because rounding errors accumulate.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

cuối thế kỷ 19; sách Vector Analysis xuất bản năm 1901J. Willard GibbsOliver HeavisideEdwin Bidwell WilsonIsaac NewtonGalileoAristotle

Vectơ xuất phát từ nhu cầu mô tả đại lượng có độ lớn và hướng như lực; cuối thế kỷ 19, Gibbs và Heaviside lập giải tích vectơ.

Vectors arose from the need to describe quantities with both magnitude and direction, such as force. In the late 19th century, Gibbs and Heaviside developed vector analysis.

Vì sao mang đúng cái tên này? Từ "vector" bắt nguồn từ vectus, một từ Latin có nghĩa là "mang đi, chở đi". Tên gọi này về sau được dùng cho các đại lượng có độ lớn và hướng, và vectơ vận tốc là một ví dụ quen thuộc. Các nguồn đã đọc không nói riêng về nguồn gốc cách gọi "vận tốc" trong thuật ngữ này.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa & đạo hàm hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBài toán chuyển động với hàm tham số và hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstvectơ vị tríposition vector đạo hàmderivative

Dẫn tớiLeads tovectơ gia tốcacceleration vector

Liên quanRelatedvận tốcvelocity tốc độspeed

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

tốc độspeed

Khác nhau ở đâuHow they differVectơ vận tốc có cả hướng lẫn độ lớn, nên viết được dưới dạng

\langle x'(t), y'(t)\rangle

. Tốc độ chỉ là độ lớn của vectơ ấy, một số không âm.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho

x'(t)

và

y'(t)

rồi hỏi "vận tốc" hay "tốc độ": vận tốc là cặp thành phần, còn tốc độ phải lấy căn của tổng bình phương hai thành phần.

vectơ gia tốcacceleration vector

Khác nhau ở đâuHow they differVectơ vận tốc là đạo hàm cấp một của vectơ vị trí và cho biết vật đi hướng nào. Vectơ gia tốc là đạo hàm cấp hai và cho biết vận tốc đổi ra sao.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề cho

x''(t)

y''(t)

mà học sinh lại dùng chúng làm thành phần vận tốc, hoặc quên đạo hàm thêm một lần để ra gia tốc.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 15, 837, 908.