AP Calculus BC

hàm vectơvector-valued function

vector-valued functionVietnamese: hàm vectơ

Còn gọi:Also called: vector function

Hàm vectơ (vector-valued function) là hàm gán mỗi số thực trong miền xác định với một vectơ, dùng để mô tả đường cong và chuyển động.A vector-valued function assigns a vector to each real number in its domain, and it is used to describe curves and motion.

Trực giác: Giống GPS của một chiếc xe: mỗi thời điểm cho một vị trí, và các vị trí nối lại thành hành trình.Intuition: Think of a car's GPS: each moment in time gives one position, and the positions together form the car's route.

Công thức chínhKey formula

\mathbf{r}(t)=f(t)\,\mathbf{i}+g(t)\,\mathbf{j}+h(t)\,\mathbf{k}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm vectơ là hàm nhận một số thực $t$ và trả về một vectơ, thay vì trả về một số. Ví dụ $\mathbf{r}(t)=\langle \cos t,\sin t\rangle$ cho $\mathbf{r}(0)=\langle 1,0\rangle$ và $\mathbf{r}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\langle 0,1\rangle$ . Đặt điểm đầu vectơ ở gốc tọa độ, khi $t$ thay đổi thì điểm cuối vạch ra đường tròn đơn vị.

Mỗi thành phần của vectơ là một hàm của $t$ . Miền xác định gồm các giá trị $t$ làm mọi thành phần cùng có nghĩa. Giới hạn, đạo hàm và tích phân đều tính riêng từng thành phần. Nếu $\mathbf{r}(t)$ là vị trí lúc $t$ thì $\mathbf{r}'(t)$ là vận tốc và $\mathbf{r}''(t)$ là gia tốc.

A vector-valued function takes a real number $t$ as input and returns a vector rather than a number. For example, $\mathbf{r}(t)=\langle \cos t,\sin t\rangle$ gives $\mathbf{r}(0)=\langle 1,0\rangle$ and $\mathbf{r}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\langle 0,1\rangle$ . If the initial point of each vector is placed at the origin, the terminal point traces out the unit circle as $t$ varies.

Each component of the vector is a function of $t$ . The domain consists of all values of $t$ for which every component is defined. Limits, derivatives, and integrals are all computed component by component. If $\mathbf{r}(t)$ is the position at time $t$ , then $\mathbf{r}'(t)$ is the velocity and $\mathbf{r}''(t)$ is the acceleration.

Ký hiệuNotation

• $\mathbf{r}(t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$ hoặc $\mathbf{r}(t)=f(t)\,\mathbf{i}+g(t)\,\mathbf{j}+h(t)\,\mathbf{k}$
•trong mặt phẳng dùng $\langle x(t),y(t)\rangle$
•đạo hàm $\mathbf{r}'(t)$ hoặc $\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}$ .

Giải nghĩa công thứcFormula breakdown1 công thức1 formula

\htmlClass{fp-4}{\mathbf{r}(t)}=\htmlClass{fp-3}{\htmlClass{fp-0}{f(t)\,\mathbf{i}}+\htmlClass{fp-1}{g(t)\,\mathbf{j}}+\htmlClass{fp-2}{h(t)\,\mathbf{k}}}

Dùng để mô tả đường cong hoặc chuyển động bằng tham số $t$ ; miền xác định là giao các miền xác định của $f$ , $g$ , $h$ .This form describes a curve or motion using the parameter $t$ ; the domain is the intersection of the domains of $f$ , $g$ , and $h$ .

Trong đóWhere

\mathbf{r}(t)

hàm vectơ, cho vectơ vị trí ứng với giá trị

t

t

tham số, biến độc lập là số thực, thường biểu diễn thời gian

f(t),\ g(t),\ h(t)

các hàm thành phần, mỗi hàm là hàm số thực của

t

\mathbf{i},\ \mathbf{j},\ \mathbf{k}

các vectơ đơn vị theo hướng trục

x

y

z

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Đạo hàm của hàm vectơ là một vectơ, không phải một số.

Ta đạo hàm từng thành phần theo $t$ . Với $h(t)=\langle te^t, t^2e^t\rangle$ thì $h'(t)=\langle e^t+te^t,\ 2te^t+t^2e^t\rangle$ , nên $h'(1)=\langle 2e, 3e\rangle$ .

Đạo hàm từng thành phần vẫn phải dùng đủ quy tắc tích và đạo hàm hàm hợp.

Mỗi thành phần chỉ là một hàm một biến bình thường. Đạo hàm của $te^t$ là $e^t+te^t$ , không phải $e^t$ . Đạo hàm của $\cos(3t)$ là $-3\sin(3t)$ .

The derivative of a vector-valued function is a vector, not a number.

You differentiate each component with respect to $t$ . For $h(t)=\langle te^t, t^2e^t\rangle$ , $h'(t)=\langle e^t+te^t,\ 2te^t+t^2e^t\rangle$ , so $h'(1)=\langle 2e, 3e\rangle$ .

Differentiating component by component still requires the full product rule and chain rule.

Each component is just an ordinary single-variable function. The derivative of $te^t$ is $e^t+te^t$ , not $e^t$ , and the derivative of $\cos(3t)$ is $-3\sin(3t)$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết đáp số của đạo hàm dưới dạng vectơ $\langle a,b\rangle$ .

Đạo hàm từng thành phần trên một dòng riêng để dễ soát lỗi.

Đạo hàm trước, rồi mới thay giá trị $t$ .

Nếu thay trước, mỗi thành phần thành một hằng số và đạo hàm ra $0$ , đáp số sai.

Write the derivative as a vector $\langle a,b\rangle$ .

Differentiate each component on its own line so errors are easier to catch.

Differentiate first, then substitute the value of $t$ .

If you substitute first, each component becomes a constant and its derivative is $0$ , which gives a wrong answer.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

René DescartesIsaac NewtonHermann GrassmannJ. Willard GibbsEdwin Bidwell Wilson

Ý tưởng hình thành dần từ thế kỷ 17, khi Descartes (1637) dùng trục tọa độ biến đường cong thành phương trình theo

x

y

The idea developed gradually during the 17th century, when Descartes (1637) used coordinate axes to turn curves into equations in

x

and

y

Vì sao mang đúng cái tên này? Tên gọi này mô tả đúng điều hàm làm. Chữ "vector-valued" nghĩa là "nhận giá trị là vectơ": với mỗi giá trị đầu vào, kết quả trả về là một vectơ, thường nằm trong $\mathbb{R}^2$ hoặc $\mathbb{R}^3$ , chứ không phải một con số đơn lẻ. Cách đặt tên này đối lập với hàm vô hướng (scalar-valued function), tức hàm mà đầu ra chỉ là một số. Nhờ đó, chỉ cần nhìn tên, ta đã biết loại giá trị mà hàm trả về. Trong chương trình AP Calculus BC, đường cong thường được viết dưới dạng $\vec{r}(t)$ , một hàm vectơ liên tục của một biến. Các tài liệu đã đọc không cho biết ai là người đầu tiên đặt ra cụm từ này.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa & đạo hàm hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBài toán chuyển động với hàm tham số và hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firstvectơvector hàm sốfunction

Dẫn tớiLeads tovectơ vị tríposition vector vectơ vận tốcvelocity vector

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương trình tham sốparametric equations

Khác nhau ở đâuHow they differHàm vectơ gộp các thành phần thành một vectơ duy nhất

\vec r(t)

. Phương trình tham số viết riêng từng tọa độ

x(t)

y(t)

như các hàm số rời nhau.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho chuyển động dưới dạng

\langle x(t), y(t)\rangle

hay

x=x(t),\ y=y(t)

thì cùng một đối tượng, chỉ khác cách viết; cần nhận ra để tính đạo hàm theo từng thành phần.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 19, 879–880.