AP Calculus BC

các hàm số thành phầncomponent functions

component functionsVietnamese: các hàm số thành phần

Các hàm số thành phần (component functions) là những hàm số thực của một biến, mỗi hàm cho đúng một tọa độ của hàm vectơ.Component functions are the real-valued functions of a single variable that each give exactly one coordinate of a vector-valued function.

Trực giác: Giống tọa độ GPS: kinh độ, vĩ độ và độ cao đều đổi theo thời gian. Ghép ba số lại ta được vị trí tại mỗi thời điểm.Intuition: Think of GPS coordinates: longitude, latitude, and altitude all change with time. Putting the three numbers together gives the position at each moment.

Công thức chínhKey formula

\mathbf{r}(t)=\langle f(t),\,g(t),\,h(t)\rangle=f(t)\,\mathbf{i}+g(t)\,\mathbf{j}+h(t)\,\mathbf{k}

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Hàm vectơ $\mathbf{r}(t)$ cho ra một vectơ ứng với mỗi giá trị $t$ . Mỗi tọa độ của vectơ đó là một hàm số thực của $t$ , gọi là hàm số thành phần. Ví dụ, với $\mathbf{r}(t)=\langle t,\,t^2\rangle$ , hai hàm thành phần là $f(t)=t$ và $g(t)=t^2$ , nên $\mathbf{r}(3)=\langle 3,\,9\rangle$ . Đường cong phẳng cần hai hàm, đường cong trong không gian cần ba.

Giới hạn, đạo hàm và tích phân của $\mathbf{r}$ được tính riêng từng thành phần. Ở ví dụ trên, $\mathbf{r}'(t)=\langle 1,\,2t\rangle$ . $\mathbf{r}$ liên tục tại $t_0$ khi mọi hàm thành phần liên tục tại $t_0$ . Miền xác định của $\mathbf{r}$ là phần chung của các miền xác định của các hàm thành phần.

A vector-valued function $\mathbf{r}(t)$ produces one vector for each value of $t$ . Each coordinate of that vector is a real-valued function of $t$ , called a component function. For example, if $\mathbf{r}(t)=\langle t,\,t^2\rangle$ , the component functions are $f(t)=t$ and $g(t)=t^2$ , so $\mathbf{r}(3)=\langle 3,\,9\rangle$ . A plane curve needs two component functions, and a space curve needs three.

Limits, derivatives, and integrals of $\mathbf{r}$ are computed one component at a time. In the example above, $\mathbf{r}'(t)=\langle 1,\,2t\rangle$ . The function $\mathbf{r}$ is continuous at $t_0$ when every component function is continuous at $t_0$ . The domain of $\mathbf{r}$ is the intersection of the domains of its component functions.

Ký hiệuNotation

• $\mathbf{r}(t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle$
•trong bài chuyển động trên mặt phẳng thường viết $\langle x(t),y(t)\rangle$ với $x(t)$ , $y(t)$ là hai hàm thành phần.

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{\mathbf{r}(t)}=\htmlClass{fp-1}{\langle f(t),\,g(t),\,h(t)\rangle}=\htmlClass{fp-2}{f(t)\,\mathbf{i}+g(t)\,\mathbf{j}+h(t)\,\mathbf{k}}

Dùng khi tìm miền xác định, giới hạn, đạo hàm hay tích phân của hàm vectơ: tách thành $f$ , $g$ , $h$ rồi xử lý riêng.Use this when finding the domain, limit, derivative, or integral of a vector-valued function: split it into $f$ , $g$ , and $h$ , then handle each one separately.

Trong đóWhere

\mathbf{r}(t)

hàm vectơ của biến thực

t

(thường là thời gian)

f(t),\ g(t),\ h(t)

các hàm số thành phần: hàm số thực cho thành phần theo trục

x

y

z

của

\mathbf{r}(t)

\mathbf{i},\ \mathbf{j},\ \mathbf{k}

các vectơ đơn vị theo chiều dương của trục

x

y

z

\htmlClass{fp-0}{\int_a^b \mathbf{r}(t)\,dt}=\htmlClass{fp-1}{\left(\int_a^b f(t)\,dt\right)}\mathbf{i}+\htmlClass{fp-2}{\left(\int_a^b g(t)\,dt\right)}\mathbf{j}+\htmlClass{fp-3}{\left(\int_a^b h(t)\,dt\right)}\mathbf{k}

Dùng khi tích phân hàm vectơ liên tục: tích phân từng hàm thành phần rồi ghép kết quả thành một vectơ.Use this when integrating a continuous vector-valued function: integrate each component function, then combine the results into a single vector.

Trong đóWhere

a,\ b

cận dưới và cận trên của tích phân

f(t),\ g(t),\ h(t)

các hàm số thành phần của

\mathbf{r}(t)

Hay hiểu saiCommon misconceptions2 ý · 1 phút đọc2 points · 1 min read

Hàm thành phần cho ra một số, không phải một vectơ.

Với $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ , mỗi $x(t)$ hay $y(t)$ chỉ là một số. Đề hỏi tọa độ $x$ thì trả lời một số; đề hỏi vị trí thì viết đủ các thành phần.

Tốc độ không phải là $x'(t)$ , cũng không phải $x'(t)+y'(t)$ .

Tốc độ là độ lớn của vận tốc: $\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}$ . Chỉ dùng $x'(t)$ thì bỏ sót chuyển động theo phương $y$ . Trong không gian, thêm $(z'(t))^2$ dưới dấu căn.

A component function outputs a number, not a vector.

For $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ , each of $x(t)$ and $y(t)$ is just a number. If a question asks for the $x$ -coordinate, give a single number; if it asks for the position, write all the components.

Speed is not $x'(t)$ , and it is not $x'(t)+y'(t)$ .

Speed is the magnitude of the velocity vector: $\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}$ . Using only $x'(t)$ ignores motion in the $y$ -direction. In three dimensions, add $(z'(t))^2$ under the square root.

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Viết riêng $x'(t)$ và $y'(t)$ trước khi thay vào công thức.

Bài tự luận AP chấm theo từng bước, nên các bước đúng thường vẫn được điểm dù bước sau sai.

Khi tích phân vận tốc để tìm vị trí, cộng vị trí đầu cho từng thành phần.

Viết $x(t)=x(0)+\int_0^t x'(s)\,ds$ với $s$ là biến tích phân, tương tự cho $y(t)$ , để khỏi quên hằng số.

Write $x'(t)$ and $y'(t)$ separately before substituting them into a formula.

AP free-response questions are scored step by step, so correct early steps can earn credit even if a later step is wrong.

When integrating velocity to find position, add the initial position to each component.

Write $x(t)=x(0)+\int_0^t x'(s)\,ds$ , with $s$ as the variable of integration, and do the same for $y(t)$ , so you don't forget the constant.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa & đạo hàm hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termTích phân hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termBài toán chuyển động với hàm tham số và hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Dẫn tớiLeads tovectơ vận tốcvelocity vector độ dài cungarc length

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

thành phần của vectơcomponent

Khác nhau ở đâuHow they differThành phần của vectơ là một số cố định trên một trục toạ độ. Hàm số thành phần là hàm của

t

cho ra thành phần ấy tại từng thời điểm.

Hay nhầm khiMixed up whenKhi đề viết

\vec{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle

x(t)

là hàm số thành phần, còn giá trị

x(2)

mới là một thành phần cụ thể của vectơ tại

t=2

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 880, 891, 1101.