AP Calculus BC

phương trình tham sốparametric equations

parametric equationsVietnamese: phương trình tham số

Phương trình tham số (parametric equations) cho tọa độ x và y cùng là hàm của một biến t, để mô tả điểm chạy dọc theo một đường cong.Parametric equations express the x- and y-coordinates as functions of a single variable t, describing a point as it moves along a curve.

Trực giác: Như nhật ký hành trình của một chiếc xe: lúc $t$ giờ xe ở đâu thì ghi tọa độ đó, nối các vị trí lại ta được đường đi.Intuition: Think of a log of a car's trip: at each time $t$ hours, you record where the car is, and connecting those positions gives the path it followed.

Công thức chínhKey formula

x=x(t),\quad y=y(t),\quad a\le t\le b

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Phương trình tham số (parametric equations) cho $x$ và $y$ cùng là hàm của một biến $t$ , gọi là tham số, thay vì viết $y$ theo $x$ . Mỗi giá trị $t$ cho một điểm $(x,y)$ trên đường cong. Chẳng hạn, với $r>0$ , $x=r\cos t$ , $y=r\sin t$ , $0\le t\le 2\pi$ là đường tròn bán kính $r$ . Đường tròn không phải đồ thị của hàm số $y$ theo $x$ . Cách viết này còn cho biết chiều đi và tốc độ vạch đường cong.

Độ dốc tiếp tuyến tính được mà không cần khử $t$ : $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ khi $\dfrac{dx}{dt}\ne 0$ . Tiếp tuyến nằm ngang khi $\dfrac{dy}{dt}=0$ và $\dfrac{dx}{dt}\ne 0$ . Tiếp tuyến thẳng đứng khi $\dfrac{dx}{dt}=0$ và $\dfrac{dy}{dt}\ne 0$ .

Parametric equations give $x$ and $y$ as functions of a single variable $t$ , called the parameter, instead of writing $y$ in terms of $x$ . Each value of $t$ produces one point $(x,y)$ on the curve. For example, for $r>0$ , $x=r\cos t$ , $y=r\sin t$ , $0\le t\le 2\pi$ describes a circle of radius $r$ , which is not the graph of $y$ as a function of $x$ . This form also shows the direction and speed with which the curve is traced.

The slope of the tangent line can be found without eliminating $t$ : $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ when $\dfrac{dx}{dt}\ne 0$ . The tangent line is horizontal when $\dfrac{dy}{dt}=0$ and $\dfrac{dx}{dt}\ne 0$ . It is vertical when $\dfrac{dx}{dt}=0$ and $\dfrac{dy}{dt}\ne 0$ .

Ký hiệuNotation

x = x(t)

y = y(t)

\dfrac{dx}{dt}

\dfrac{dy}{dt}

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}

Công thức chi tiếtFormula details3 công thức3 formulas

x=x(t),\quad y=y(t),\quad a\le t\le b

Dùng khi tọa độ điểm chuyển động là hai hàm của $t$ , kể cả đường như đường tròn mà một $x$ ứng với nhiều $y$ .Use this when the coordinates of a moving point are two functions of $t$ , including curves such as the circle where a single $x$ corresponds to several $y$ values.

Trong đóWhere

t

tham số, thường được hiểu là thời gian

x(t)

hoành độ của điểm tại thời điểm

t

y(t)

tung độ của điểm tại thời điểm

t

[a,\,b]

khoảng giá trị của tham số

t

\dfrac{dy}{dx}=\htmlClass{fp-2}{\dfrac{\htmlClass{fp-0}{dy/dt}}{\htmlClass{fp-1}{dx/dt}}},\quad \htmlClass{fp-3}{\dfrac{dx}{dt}\ne 0}

Dùng để tìm độ dốc tiếp tuyến của đường tham số mà không cần khử $t$ (quy tắc dây chuyền).Use this to find the slope of the tangent line to a parametric curve without eliminating $t$ (the chain rule).

Trong đóWhere

\dfrac{dy}{dx}

độ dốc của tiếp tuyến với đường cong

\dfrac{dy}{dt}

tốc độ thay đổi của

y

theo tham số

t

\dfrac{dx}{dt}

tốc độ thay đổi của

x

theo tham số

t

L=\htmlClass{fp-3}{\int_a^b \htmlClass{fp-2}{\sqrt{\htmlClass{fp-0}{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2}+\htmlClass{fp-1}{\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}}}\,dt}

Dùng để tính độ dài cung của đường cong tham số khi $t$ chạy từ $a$ đến $b$ , nếu đường không bị vẽ lặp.Use this to compute the arc length of a parametric curve as $t$ runs from $a$ to $b$ , provided the curve is not traced more than once.

Trong đóWhere

L

độ dài cung của đường cong

a,\,b

giá trị đầu và cuối của tham số

t

\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}

đạo hàm của

x(t)

và

y(t)

theo

t

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Độ dốc là $\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$ , không phải $\dfrac{x'(t)}{y'(t)}$ hay hiệu hai đạo hàm.

Quy tắc dây chuyền cho $y'(t)=\dfrac{dy}{dx}\cdot x'(t)$ , nên phải chia $y'(t)$ cho $x'(t)$ . Nhiều em dừng ở $y'(t)$ mà quên bước chia.

$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ không bằng $\dfrac{y''(t)}{x''(t)}$ .

Phải lấy đạo hàm của $\dfrac{dy}{dx}$ theo $t$ rồi chia cho $x'(t)$ . Dễ nhầm vì vectơ gia tốc đúng là $\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ .

Độ dài cung phải có dấu căn bao ngoài tổng hai bình phương.

Nếu $x'(t)=a$ và $y'(t)=b$ là hằng số, tích phân trên $[0,1]$ cho $\sqrt{a^2+b^2}$ , đúng độ dài đoạn thẳng, không phải $a^2+b^2$ .

The slope is $\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$ , not $\dfrac{x'(t)}{y'(t)}$ and not the difference of the two derivatives.

The chain rule gives $y'(t)=\dfrac{dy}{dx}\cdot x'(t)$ , so $y'(t)$ must be divided by $x'(t)$ . Many students stop at $y'(t)$ and forget the division.

The second derivative $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ does not equal $\dfrac{y''(t)}{x''(t)}$ .

You must differentiate $\dfrac{dy}{dx}$ with respect to $t$ and then divide by $x'(t)$ . The mistake is tempting because the acceleration vector really is $\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ .

The arc length integrand needs a square root around the sum of the two squares.

If $x'(t)=a$ and $y'(t)=b$ are constants, the integral over $[0,1]$ gives $\sqrt{a^2+b^2}$ , the correct length of a line segment, not $a^2+b^2$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Phương trình tiếp tuyến phải viết theo $x$ , $y$ , không còn $t$ .

Tại $t=t_0$ , tìm điểm $(x(t_0),\,y(t_0))$ và độ dốc $m=\dfrac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$ . Rồi viết $y-y(t_0)=m\,(x-x(t_0))$ . Lỗi hay gặp là đúng độ dốc nhưng quên tính $y(t_0)$ .

Đọc kỹ đề hỏi đại lượng nào: vị trí, vận tốc, gia tốc hay độ dốc.

"Tốc độ biến thiên của $y$ theo $x$ " là $\dfrac{dy}{dx}$ , không phải $y'(t)$ . Gạch chân từ khóa để khỏi trả lời đúng một câu hỏi khác.

Write the tangent line equation in terms of $x$ and $y$ , with no $t$ remaining.

At $t=t_0$ , find the point $(x(t_0),\,y(t_0))$ and the slope $m=\dfrac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$ , then write $y-y(t_0)=m\,(x-x(t_0))$ . A common error is finding the correct slope but forgetting to compute $y(t_0)$ .

Read the question carefully to see which quantity it asks for: position, velocity, acceleration, or slope.

"The rate of change of $y$ with respect to $x$ " means $\dfrac{dy}{dx}$ , not $y'(t)$ . Underline the key words so you do not correctly answer a different question.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCHay gặpCommon

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

ArchimedesApollonius xứ PergaRené DescartesLeonhard Euler

Năm 1637, Descartes công bố La Géométrie gắn đại số với hình học, nhờ đó viết x, y như hai hàm của biến thứ ba trở nên tự nhiên.

In 1637, Descartes published La Géométrie, which joined algebra with geometry and made it natural to write x and y as two functions of a third variable.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "tham số" trong tên gọi chỉ các đại lượng trung gian dùng để biểu diễn những đại lượng khác. Theo định nghĩa toán học kỹ thuật, một hệ phương trình là phương trình tham số khi nó biểu diễn một tập đại lượng (ở đây là x và y) qua một hay nhiều tham số bằng những hàm tường minh, tức là không có chỗ nào mơ hồ trong mối quan hệ giữa các biến. Chẳng hạn, với hai công thức của x và y, tham số a quyết định hình dạng của đường cong, còn tham số t quyết định điểm đang xét nằm ở vị trí nào trên đường cong đó. Vì vậy, tên "phương trình tham số" không chỉ một người đặt tên cụ thể mà phản ánh đúng cách các phương trình này được xây dựng: mọi đại lượng đều được diễn đạt qua tham số. Các nguồn không cho biết ai là người đầu tiên đặt ra thuật ngữ này.

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa và đạo hàm phương trình tham sốPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm bậc hai của phương trình tham sốPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads tođộ dài cungarc length vectơ vận tốcvelocity vector

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương trình trong toạ độ cựcpolar equation

Khác nhau ở đâuHow they differPhương trình tham số cho

x

và

y

cùng phụ thuộc một tham số

t

. Phương trình cực viết

r

theo góc

\theta

trong hệ toạ độ cực.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề cho đường cong dạng

r=f(\theta)

rồi hỏi

\dfrac{dy}{dx}

hoặc độ dài cung: cần đổi sang tham số

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

với

\theta

là tham số, không dùng thẳng công thức tham số theo

t

hàm vectơvector-valued function

Khác nhau ở đâuHow they differPhương trình tham số viết riêng từng toạ độ

x(t)

y(t)

. Hàm vectơ gộp các toạ độ đó thành một vectơ

\langle x(t),y(t)\rangle

Hay nhầm khiMixed up whenĐề về chuyển động trên mặt phẳng có thể cho dưới dạng hai phương trình hoặc dưới dạng vectơ vị trí; hai cách này mô tả cùng một đường đi.

Cùng chủ đềSame topic

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 8, 14, 18.