AP Calculus BC

đường cong tham sốparametric curve

parametric curveVietnamese: đường cong tham số

Còn gọi:Also called: parametrically defined curve

Đường cong tham số (parametric curve) là đường mà hoành độ và tung độ của mỗi điểm đều được cho bởi một biến thứ ba, gọi là tham số, chạy trong một đoạn.A parametric curve is a curve in which the x- and y-coordinates of each point are both given by a third variable, called the parameter, that runs over an interval.

Trực giác: Hãy hình dung một con kiến bò trên mặt bàn: tại mỗi giây $t$ nó đứng ở một chỗ, và vết đường nó để lại chính là đường cong.Intuition: Picture an ant crawling across a tabletop: at each second $t$ it is at one particular spot, and the trail it leaves behind is the curve.

Công thức chínhKey formula

x=f(t),\ y=g(t),\ a\le t\le b

Định nghĩa đầy đủFull definition1 phút đọc1 min read

Đường cong tham số mô tả một điểm chuyển động. Hoành độ và tung độ đều phụ thuộc tham số $t$ : $x=f(t)$ , $y=g(t)$ với $a\le t\le b$ . Ví dụ, $x=\cos t$ , $y=\sin t$ với $0\le t\le 2\pi$ : $t=0$ cho điểm $(1;0)$ , $t=\frac{\pi}{2}$ cho điểm $(0;1)$ , cả đường là đường tròn bán kính $1$ .

Khi $t$ tăng, điểm đi từ $(f(a),g(a))$ đến $(f(b),g(b))$ . Cách này mô tả được đường tự cắt hoặc quay ngược, những đường không là đồ thị của $y$ theo $x$ . Cùng một hình có nhiều cách tham số hoá, tốc độ và chiều đi khác nhau. Để tính $\frac{dy}{dx}$ , cần $f$ , $g$ có đạo hàm và $\frac{dx}{dt}\neq 0$ . Để tính $\frac{d^2y}{dx^2}$ , cần thêm đạo hàm cấp hai.

A parametric curve describes the path of a moving point. Both coordinates depend on a parameter $t$ : $x=f(t)$ , $y=g(t)$ for $a\le t\le b$ . For example, $x=\cos t$ , $y=\sin t$ for $0\le t\le 2\pi$ gives the point $(1,0)$ at $t=0$ and the point $(0,1)$ at $t=\frac{\pi}{2}$ , and the whole curve is the circle of radius $1$ .

As $t$ increases, the point moves from $(f(a),g(a))$ to $(f(b),g(b))$ . This approach can describe curves that cross themselves or double back, which are not graphs of $y$ as a function of $x$ . The same shape can be parameterized in many ways, with different speeds and directions of travel. To compute $\frac{dy}{dx}$ , both $f$ and $g$ must be differentiable and $\frac{dx}{dt}\neq 0$ . To compute $\frac{d^2y}{dx^2}$ , the second derivatives must also exist.

Ký hiệuNotation

• $x=f(t),\; y=g(t),\; a\le t\le b$
•điểm đầu $(f(a),g(a))$ , điểm cuối $(f(b),g(b))$
• $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ .

Công thức chi tiếtFormula details2 công thức2 formulas

\htmlClass{fp-0}{x=f(t)},\ \htmlClass{fp-1}{y=g(t)},\ \htmlClass{fp-2}{a\le t\le b}

Dùng khi tọa độ $x$ , $y$ cùng được cho qua $t$ : mô tả cả đường không phải đồ thị hàm số và cho biết chiều đi khi $t$ tăng.Use this when the coordinates $x$ and $y$ are both given in terms of $t$ . It describes an entire curve, even one that is not the graph of a function, and shows the direction of travel as $t$ increases.

Trong đóWhere

t

tham số (parameter), thường được hiểu là thời gian hoặc góc quay

x=f(t)

hoành độ của điểm tại giá trị tham số

t

y=g(t)

tung độ của điểm tại giá trị tham số

t

a,\ b

hai đầu mút của khoảng giá trị của

t

\htmlClass{fp-0}{\dfrac{dy}{dx}}=\dfrac{\htmlClass{fp-1}{dy/dt}}{\htmlClass{fp-2}{dx/dt}},\quad \htmlClass{fp-3}{\dfrac{dx}{dt}\neq 0}

Dùng để tìm hệ số góc tiếp tuyến: lấy $dy/dt$ chia $dx/dt$ rồi thay giá trị $t$ của điểm đang xét.Use this to find the slope of a tangent line: divide $dy/dt$ by $dx/dt$ , then substitute the value of $t$ at the point in question.

Trong đóWhere

\dfrac{dy}{dx}

hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong

\dfrac{dy}{dt}

đạo hàm của

y=g(t)

theo tham số

t

\dfrac{dx}{dt}

đạo hàm của

x=f(t)

theo tham số

t

Hay hiểu saiCommon misconceptions3 ý · 1 phút đọc3 points · 1 min read

Tiếp tuyến thẳng đứng cần $\dfrac{dx}{dt}=0$ và $\dfrac{dy}{dt}\neq 0$ , không phải $\dfrac{dy}{dt}=0$ .

Hệ số góc là $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ : mẫu bằng 0, tử khác 0 thì tiếp tuyến thẳng đứng; tử bằng 0, mẫu khác 0 thì nằm ngang. Cả hai cùng bằng 0 thì chưa kết luận được.

Với đường cong tham số, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ không bằng $\dfrac{y''(t)}{x''(t)}$ .

Vì $\dfrac{dy}{dx}$ vẫn là hàm của $t$ , phải đạo hàm nó theo $t$ rồi chia cho $\dfrac{dx}{dt}$ : $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$ . Cần $\dfrac{dx}{dt}\neq 0$ .

Khử tham số có thể làm mất miền giá trị và chiều chuyển động.

Ví dụ $x=\sqrt t$ , $y=t$ : khử $t$ cho $y=x^2$ , nhưng đường cong chỉ là nửa $x\ge 0$ . Khi đề hỏi về chuyển động, hãy làm việc với $x(t)$ và $y(t)$ .

A vertical tangent requires $\dfrac{dx}{dt}=0$ and $\dfrac{dy}{dt}\neq 0$ , not $\dfrac{dy}{dt}=0$ .

The slope is $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ : if the denominator is 0 and the numerator is not, the tangent is vertical; if the numerator is 0 and the denominator is not, it is horizontal. If both are 0, no conclusion can be drawn yet.

For a parametric curve, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ does not equal $\dfrac{y''(t)}{x''(t)}$ .

Because $\dfrac{dy}{dx}$ is still a function of $t$ , you must differentiate it with respect to $t$ and then divide by $\dfrac{dx}{dt}$ : $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$ . This requires $\dfrac{dx}{dt}\neq 0$ .

Eliminating the parameter can lose information about the range of values and the direction of motion.

For example, with $x=\sqrt t$ , $y=t$ , eliminating $t$ gives $y=x^2$ , but the actual curve is only the half with $x\ge 0$ . When a question is about motion, work with $x(t)$ and $y(t)$ .

Mẹo phòng thiExam tips2 mẹo2 tips

Khi tìm tiếp tuyến thẳng đứng, viết rõ $x'(t)=0$ và kiểm tra $y'(t)\neq 0$ trước khi kết luận.

Thiếu bước kiểm tra này thì lập luận chưa chặt, dễ mất điểm dù đáp số đúng.

Đối chiếu nghiệm với miền của $t$ trước khi viết đáp án.

Nghiệm nằm ngoài miền đề cho phải bị loại. Với tiếp tuyến thẳng đứng, nếu $x'(t)=0$ có nhiều nghiệm, hãy kiểm tra $y'(t)\neq 0$ tại từng nghiệm.

When finding a vertical tangent, state $x'(t)=0$ and verify $y'(t)\neq 0$ before concluding.

Skipping this check leaves the argument incomplete, and you can lose points even when the answer is correct.

Check each solution against the domain of $t$ before writing your answer.

Any solution outside the given interval must be rejected. For vertical tangents, if $x'(t)=0$ has several solutions, check that $y'(t)\neq 0$ at each one.

Tần suất trong đề AP Calculus BCHow often it shows up on AP Calculus BCThường xuyênVery common

Khái niệm này sinh ra từ đâuWhere the concept comes from1 phút đọc1 min read

1637–1696René DescartesJohann BernoulliEuclidArchimedes

Năm 1696, Johann Bernoulli nêu bài toán đường đoản thời; lời giải là đường xycloit, vốn biểu diễn tự nhiên bằng tham số, nên cách mô tả này lan rộng.

In 1696, Johann Bernoulli posed the brachistochrone problem. Its solution is the cycloid, which is naturally expressed with a parameter, and this helped parametric description spread widely.

Vì sao mang đúng cái tên này? Chữ "tham số" trong tên gọi đến từ chính định nghĩa toán học: một bộ đại lượng được biểu diễn như hàm tường minh (explicit function) của một hay nhiều tham số (parameter). Chẳng hạn, hai đại lượng $x$ và $y$ có thể cùng được viết theo hai tham số $a$ và $t$ , trong đó $a$ điều khiển hình dạng đường cong còn $t$ xác định vị trí của điểm trên đường cong. Hàm tường minh nghĩa là mối quan hệ giữa $x$ , $y$ và tham số không có chỗ nào mơ hồ. Vì vậy, đường cong tham số là đường cong mà tọa độ mỗi điểm do tham số quyết định, thay vì do một phương trình nối trực tiếp $x$ với $y$ .

Nguồn đối chiếuSources

Bạn nắm chắc chưa?Check your understanding

Quiz câu thật từ ngân hàng đềReal exam questions from our question bank

Vài câu thật gắn đúng khái niệm này, chấm ngay kèm giải thích từng đáp án — hệ thống ghi nhớ bạn nắm tới đâu.A few real questions on exactly this concept, graded instantly with an explanation for every choice — the system remembers how well you know it.

Tạo tài khoảnCreate an account

Học tiếp từ đâyKeep learning

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐịnh nghĩa và đạo hàm phương trình tham sốPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐạo hàm bậc hai của phương trình tham sốPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Bài học chứa thuật ngữ nàyLesson that uses this termĐộ dài cung của đường cong tham sốPhương trình tham số, tọa độ cực & hàm vectơ · khoácourse AP Calculus BC

Cần trướcLearn firsthàm sốfunction

Dẫn tớiLeads tođộ dài cungarc length vectơ vận tốcvelocity vector

Mục tiêu và lộ trình unit ai cũng xem được — làm bài tập và lưu tiến độ thì cần đăng nhập.Anyone can view a unit's goals and roadmap — sign in to do the exercises and save your progress.

Hay nhầm vớiOften confused with

Thuật ngữTermKhác nhau ở đâuHow they differHay nhầm khiMixed up when

phương trình tham sốparametric equations

Khác nhau ở đâuHow they differĐường cong tham số là hình ảnh hình học mà điểm

(x(t),y(t))

vạch ra. Phương trình tham số là cặp công thức

x=f(t)

y=g(t)

dùng để mô tả hình đó.

Hay nhầm khiMixed up whenĐề hỏi "viết phương trình" thì cần cặp công thức theo

t

; đề hỏi "vẽ" hay "chiều chuyển động" thì cần xét hình dạng và hướng của đường cong.

đường cong phẳngplane curve

Khác nhau ở đâuHow they differĐường cong phẳng là tập điểm trên mặt phẳng, không phụ thuộc cách mô tả. Đường cong tham số là đường cong kèm theo tham số

t

, nên có thêm hướng và tốc độ vạch.

Hay nhầm khiMixed up whenCùng một đường tròn có thể được tham số hoá theo nhiều cách, với chiều và tốc độ khác nhau, nên hai đường cong tham số khác nhau vẫn có thể cho cùng một đường cong phẳng.

Cùng chủ đềSame topic

độ lớnmagnitude

Nguồn tham khảoReferences

[1]Stewart. tr. 8, 18, 673.